Comportement asymptotique

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1 Comportemet asymptotique NB: Les phrases écrites etre guillemets e italique sot écessaires à la compréhesio de la otio de ite, mais sot peu utilisées das la pratique où l o fait plutôt appel au propriétés des ites des foctios usuelles aisi qu au théorèmes cocerat les ites et les opératios. I) Limite e + Cela écessite que la foctio soit défiie sur u itervalle du type : [ a ; + [. ) Limite ifiie e + f () = + sigifie que : «f() deviet plus grad que importe quel ombre fié à l avace, à coditio de choisir suffisammet grad..» Ce que l o peut aussi éocer sous la forme : «Pour tout réel b (aussi grad que l o veut), l itervalle [ b ; + [ cotiet toutes les images f() lorsque est suffisammet grad.» Eemples : Les foctios usuelles,, d eposat etier strictemet positif, aisi que les foctios lorsque ted vers +. et toutes les foctios puissaces, ot pour ite + f () = Eemples : Les foctios lorsque ted vers +. sigifie que: [ f ()] = +,,,, ot pour ite ) Limite fiie e + f () = l où l r sigifie que : «f() deviet aussi proche que l o veut du ombre l, à ue distace fiée à l avace aussi petite que l o veut, à coditio de choisir suffisammet grad.» Ce que l o peut aussi éocer sous la forme : «Tout itervalle ouvert coteat l cotiet toutes les images f() lorsque est suffisammet grad..» Eemples : Les foctios suivates ot pour ite e + :,,. Il e est de même pour toutes les foctios iverses des foctios puissaces d eposat etier strictemet positif et pour les foctios:,. NB : Les résultats cocerat les ites des foctios usuelles doées das les eemples ci-dessus sot à coaître par cœur. Ceu pour lesquels la ite est peuvet être utilisés pour ue ite l r grâce au théorème (évidet) éocé page suivate : B.Sicard - E:\math\Cours\S\ites\comportemet_asymptotique.doc - -

2 Théorème : f () =l équivaut à : [ f () l ] = Qui peut aussi s eprimer : f () =l équivaut à : f () =l + ϕ() où ϕ est ue foctio telle que : ϕ() = Eemple : + = car : =. Das cet eemple : f () = +, ϕ ( ) = et l =. ) Pas de ite e +. Ue foctio a pas écessairemet de ite e +. Eemple : si a pas de ite e + car : La foctio sius est borée (majoré par et mioré par ) : elle e peut avoir i +, i comme ite e +. De plus, sur tout itervalle d amplitude π, si pred toutes les valeurs réelles etre et, doc, même pour aussi grad que l o veut, si e peut de rapprocher d aucue valeur fiie à cause de so oscillatio perpétuelle etre et. II) Limite e Cela écessite que la foctio soit défiie sur u itervalle du type : ] ; a ] O peut éocer des défiitios aalogues au I), mais aussi s y rameer, grâce à la propriété : f () = [ f ( ) ] Remarque : Si la foctio f est paire ou impaire, la coclusio est immédiate! Eemples : Les foctios usuelles, et toutes les foctios puissaces d eposat impair strictemet positif, ot pour ite lorsque ted vers. 4 Les foctios usuelles, et toutes les foctios puissaces d eposat pair strictemet positif, aisi que la foctio ot pour ite + lorsque ted vers. Les foctios,, et toutes les foctios iverses des foctios puissaces d eposat etier strictemet positif, aisi que la foctio ot pour ite lorsque ted vers. B.Sicard - E:\math\Cours\S\ites\comportemet_asymptotique.doc - -

3 III) Asymptote horizotale Das u repère (O, i, j ), si (C) est la courbe d équatio y = f(), et (D) la droite d équatio y =l, la distace MN etre u poit M de (C) et u poit N de (D) de même abscisse est : MN = f () l. Si f( ) =l, alors cette distace MN a pour ite e +. Vocabulaire : Si f () = a, la droite d équatio y = a est asymptote horizotale à(c) e +. Si f () = a, la droite d équatio y = a est asymptote horizotale à(c) e. Eemple : E et e +, o a: = =. Doc, l ae des abscisses d équatio y = est asymptote à l hyperbole d équatio : y = IV) Asymptote oblique Das u repère (O, i, j ), si (C) est la courbe d équatio y = f(), et (D) la droite d équatio y = a + b, la distace MN etre u poit M de (C) et u poit N de (D) de même abscisse est : MN= f() (a +b). Si [f () (a + b)] =, alors cette distace MN a pour ite e Vocabulaire : Si [f () (a + b)] =, la droite d équatio y = a + b est asymptote oblique à(c) e +. Si [f () (a + b)] =, la droite d équatio y = a + b est asymptote oblique à(c) e. Eemple: f est la foctio défiie sur r * par : f () = Sa représetatio graphique est la courbe (C) ci-cotre. E poitillés est tracée la droite (D) d équatio y =. O sait que : = = + Doc, la droite (D) d'équatio y = est asymptote oblique à la courbe (C) représetative de f e + et e. B.Sicard - E:\math\Cours\S\ites\comportemet_asymptotique.doc - -

4 V) Limite e u poit (ite e u réel a) Cela écessite que la foctio soit défiie pour = a, ou, sio, que le ombre a soit l ue des bores d u itervalle où la foctio est défiie. ) Limite ifiie e u poit a r : f() = + sigifie que: a «f() deviet plus grad que importe quel ombre réel fié à l avace, à coditio de choisir suffisammet proche de a.» Ce que l o peut aussi éocer sous la forme : «Pour tout réel b (aussi grad que l o veut), l itervalle [ b ; + [ cotiet toutes les images f() lorsque est suffisammet proche de a.» Das ce cas, la foctio est pas défiie e = a ( car + est pas u ombre ), et l o est souvet obligé d étudier séparémet les ites à gauche ou à droite de a. Propriétés (admises) : = + > > = + et plus gééralemet : = + où *. > > = +. = + et plus gééralemet, lorsque N* avec pair : = +. < < = + = +, car la ite est la même à gauche et à droite. De même, lorsque * avec pair : = + et = +. = +, car le problème de la ite à gauche e se pose pas das ce cas-là!.. < f() = sigifie que: a «f() deviet iférieur à importe quel ombre réel fié à l avace, à coditio de choisir suffisammet proche de a.» Ce que l o peut aussi éocer sous la forme : «Pour tout réel b (aussi petit que l o veut), l itervalle ] ; b [ cotiet toutes les images f() lorsque est suffisammet proche de a.» Propriété : [ f()] = a Doc : = < équivaut à : [ f() ] = + car a = < > = B.Sicard - E:\math\Cours\S\ites\comportemet_asymptotique.doc De même, lorsque * avec impair : =. <.

5 ) Limite fiie e u poit a r: f( ) =l où l r sigifie que : a «f() deviet aussi proche que l o veut du ombre l, à ue distace fiée à l avace aussi petite que l o veut, à coditio de choisir suffisammet proche de a.» Ce que l o peut aussi éocer sous la forme : «Tout itervalle ouvert coteat l cotiet toutes les images f() lorsque est suffisammet proche de a..» a) Si f est défiie e a r. Propriété (admise): Si ue foctio f est défiie sur u itervalle coteat a R, Si f est ue foctio polyôme, ratioelle, irratioelle, valeur absolue, trigoométrique.. (catégorie des foctios cotiues : programme de TS), Alors : f() = f(a) a Eemple: f() = défiie sur r (foctio polyôme) avec f() = 9. Doc : ( ) = 9 b) Si f est pas défiie e a r. Propriété (admise): Si f est ue foctio qui est pas défiie e = a, mais telle que, pour tout réel de so esemble de défiitio o ait f() = g() où g est ue foctio défiie e = a et du même type de celles de la propriété ci-dessus, Alors : f() g() = g(a) a = a Eemple: Si f est défiie sur r {} par : f () = et g() = +. Pour tout r {}, o a f() = g() et g est défiie sur r, doc e =. Doc : f() = g() = g() = Remarque : cette propriété ituitive a été implicitemet utilisée lors de l étude des ombres dérivés. ) Pas de ite e u poit : O peut avoir: Ue ite à gauche et ue ite à droite différetes. Pas de ite du tout ( Ni à gauche, i à droite). Notatios: Lorsque ces ites eistet, o écrit: Limite à gauche de a: f() a < a a > a abrégée parfois e: Limite à droite de a: f() abrégée parfois e: a a + f() f() B.Sicard - E:\math\Cours\S\ites\comportemet_asymptotique.doc - 5 -

6 Eemple: La foctio f est défiie sur r {} par: f() =. Pour tout ] ; [, o a : f() = et pour tout ] ; + [, o a : f() = +. O a doc : f () = ( ) = < < et f () = ( + ) =. Les ite de f à gauche et à droite de sot doc différetes. La foctio a doc pas de ite e. Le graphique ci-dessous illustre cette situatio. > > Eemple: La foctio f est défiie sur r* par: f() = si. Lorsque ted vers zéro par valeurs positives, pred des valeurs de plus e plus grades. Mais, sur tout itervalle d amplitude π, la foctio sius pred toutes les valeurs réelles de l itervalle [ ; ]. Aisi, f() pred toutes les valeurs réelles de l itervalle [ ; ] lorsque ted vers zéro. f() e ted doc vers aucue valeur réelle de cet itervalle [ ; ]. Afi d observer ce phéomèe, faire des zooms successifs au voisiage de zéro sur votre calculatrice graphique. VI) Asymptote verticale Das u repère orthoormal (O, i, j), lorsqu ue foctio f admet ue ite ifiie (,+, à gauche, à droite, ou des deu côtés ) e u poit a r, o dit que : La droite d équatio = a est asymptote verticale à la courbe représetative de la foctio f. Das u repère orthoormal (O, i, j), la droite d équatio = a est doc asymptote verticale à la courbe représetative de la foctio f das chacu des cas suivats : f() = + a ou f() = a ou f() = + a a ou > a a > f() = ou f() = + a a ou < a a < f() = Eemple: L ae des ordoées ( d équatio = ) est asymptote verticale au courbes représetatives des foctios : où *, c est à dire au représetatios graphiques des foctios iverses des puissaces d eposat etier strictemet positif. B.Sicard - E:\math\Cours\S\ites\comportemet_asymptotique.doc - 6 -