Estimations d erreur entre le problème tridimensionnel de coque linéairement élastique et le modèle de Naghdi

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1 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p , 2000 Problèmes mathématiques de la mécanique/mathematical Problems in Mechanics Estimations d erreur entre le problème tridimensionnel de coque linéairement élastique et le modèle de Naghdi Véronique LODS a, Cristinel MARDARE b a École nationale supérieure de mécanique et d aérotechnique, téléport 2, Futuroscope, France b Laboratoire d analyse numérique, tour 55, Université Paris-VI, 4, place Jussieu, Paris cedex, France (Reçu et accepté le 6 décembre 1999) Résumé. On estime l erreur entre le déplacement tridimensionnel d une coque et la solution du modèle bidimensionnel de Naghdi. Cette estimation, donnée en fonction de l épaisseur de la coque, est valable pour une coque encastrée sur toute sa frontière latérale Académie des sciences/éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Error estimates between the three-dimensionnal linearized shell equations and Naghdi s model Abstract. We estimate the difference between the solutions of the three-dimensional model and the two-dimensional Naghdi model for a thin shell. This estimation, which depends on the thickness of the shell, is obtained under the assumption that the shell is clamped along its entire lateral face Académie des sciences/éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Abridged English version We study the deformations of an elastic shell. In elastostatics, this phenomenon is modeled by several mathematical problems. When the initial (undeformed) configuration of the elastic body is homogenous and isotropic, the two-dimensionnal models commonly used are Koiter s model and Naghdi s model. Our aim is to compare these two-dimensional models to the usual three-dimensional equations of linearized elasticity. To this end, we define two-dimensional models of shells, which allow us to naturally compare the Naghdi s model with the three-dimensional model. These two-dimensional models are obtained from the three-dimensional model, written as a minimization problem, by a four-step procedure. First, the threedimensional functional of elasticity (denoted by J 3D ) is approximated by a modified three-dimensional functional J3D, obtained by a penalization of the normal stress. Secondly, the set of admissible threedimensional deformations is approximated by admissible two-dimensional deformations, using either Note présentée par Philippe G. CIARLET /00/ Académie des sciences/éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 157

2 V. Lods, C. Mardare Cosserat or Kirchhoff Love theories of shells. Thirdly, we consider the minimisation problems obtained by minimizing the modified three-dimensional functional J3D over each of the sets of admissible twodimensional deformations defined in the second step. Finally, we prove that these minimisation problems are small perturbations of the classical Naghdi and Koiter models. Then the approximating procedure defined above is justified by establishing error estimates between the three-dimensional problem and its two-dimensional approximations. These error estimates are valid for shells with an arbitrary middle surface and clamped along their entire lateral face. In particular, they give an error estimate in ε 2/15 between the solution of the three-dimensional problem of elasticity and the solution of Naghdi s model. 1. Introduction On étudie les déformations d une coque linéairement élastique soumise à l action des forces de volume et de surface. Le problème est stationnaire, c est-à-dire que l on s intéresse à la configuration finale, où le solide, soumis aux forces extérieures données, atteint l état d équilibre. Le déplacement de la coque résout donc les équations tridimensionnelles de l élasticité linéarisée. Plusieurs problèmes bidimensionnels, comme les modèles de Koiter ou de Naghdi, sont destinés à remplacer le problème tridimensionnel dans le cas de coques minces. Le but est alors de justifier et de comparer les modèles bidimensionnels en mesurant la précision de ces approximations en fonction d un petit paramètre, l épaisseur de la coque. Une première justification avait été donné dans [3 6] où, sous des hypothèses appropriées sur les données, il a été prouvé que la solution du modèle tridimensionnel de l élasticité et la solution du modèle bidimensionnel de Koiter dépendant de l épaisseur de la coque convergent (pour une norme appropriée) vers une même limite lorsque l épaisseur tend vers zéro. Notre objectif est de mesurer la vitesse de convergence par des estimations d erreur afin de pouvoir comparer la précision de ces approximations, et ainsi de hiérarchiser les modèles approchant le modèle tridimensionnel. La méthode que nous proposons consiste en une suite d approximations successives du modèle tridimensionnel de l élasticité qui permet de justifier le modèle de Naghdi, de flexion ou de membrane. En particulier, pour une coque de surface moyenne arbitraire et encastrée sur toute sa frontière latérale, les estimations d erreur entre le modèle tridimensionnel et le modèle de Koiter obtenues dans [9] donnent naturellement des estimations d erreur entre le modèle tridimensionnel et le modèle de Naghdi. Nous pouvons également déduire, dans le cas d une surface moyenne elliptique, des estimations d erreur entre le modèle tridimensionnel d une part et le modèle de Koiter ou de Naghdi d autre part. Nous utilisons pour cela des estimations d erreur entre le modèle tridimensionnel et le modèle de membrane. Toutefois, cette méthode ne garantit pas l optimalité de ces estimations et, dans le cas elliptique par exemple, ces estimations ne sont pas optimales. 2. Position du problème Dans ce qui suit, on définit plusieurs modèles de coques élastiques. Dans tous ces modèles, les données sont : la configuration initiale de la coque, décrite par l image par l application Θ du cylindre Ω ε := ω ] ε, ε[,oùω est un ouvert borné de R 2 et ε désigne la démi-épaisseur de la coque. L application Θ est donnée par : 158 Θ(y,x ε 3):=θ(y)+x ε 3 a 3 (y) pour tout y ω et x ε 3 ] ε, ε[, oùθ : ω R3 décrit la surface moyenne S := θ(ω) de la coque et a 3 (y) désigne un vecteur normal unitaire à S au point θ(y) ;

3 Estimations d erreur... les conditions d encastrement : la coque est supposée fixée sur une portion Θ(Γ ε 0 ) de sa face latérale. On suppose que Γ ε 0 := γ 0 ] ε, ε[,oùγ 0 ω est un ouvert relatif à la frontière de ω ; les forces de déformation agissant sur la coque, de densité volumique F ε :Ω ε R 3 ; pour simplifier, on suppose que les densités de forces surfaciques sont nulles sur la partie non encastrée du bord de la coque ; la loi de comportement du matériau dont la coque est constituée : on considère un matériau caractérisé par les constantes de Lamé λ>0 et µ>0, indépendantes de ε. Ainsi, notre étude est limitée au cas où le matériau est élastique, homogène, isotrope, et la configuration initiale de la coque est un état naturel. Dans ce qui suit, l application θ, la densité de forces F ε, et le domaine ω sont supposés suffisamment réguliers. L inconnue sera toujours la configuration finale où la coque atteint l état d équilibre. On décrira cette configuration par l image Φ ε (Ω ε ),oùφ ε :Ω ε R 3. Le but de tous les modèles intervenant dans la suite est alors de déterminer cette application Φ ε, que l on appelle champ des déformations. On définit également le champ des déplacements par u ε := Φ ε Θ. Pour un champ des déformations arbitraire Φ :Ω ε R 3, on définit dans la variété Φ(Ω ε ),letenseur métrique g(φ) (en coordonnées curvilignes, les composantes covariantes de ce tenseur sont données par g ij (Φ):= i Φ j Φ,où i désigne la dérivée partielle par rapport à la i-ème variable dans le domaine Ω ε ) et le tenseur des déformations E(Φ):= 1 2 {g(φ) g(θ)}. Le tenseur des déformations linéarisé e(φ) est alors la partie linéaire de E(Φ) par rapport au champ des déplacements u := Φ Θ. On définit l ensemble des déformations tridimensionnelles admissibles par X 3D := { Φ H 1 (Ω ε ; R 3 ), Φ = Θ sur Γ ε } 0 et la fonctionnelle de l élasticité tridimensionnelle linéarisée par J 3D (Φ):= 1 Ae(Φ) e(φ)dω ε F ε Φ dω ε, 2 Ω ε Ω ε où A est le tenseur de l élasticité tridimensionnelle pour un matériau homogène et isotrope. La configuration de la coque à l équilibre est alors donnée par la solution notée Φ ε 3D du problème de minimisation : min J 3D (Φ). Φ X 3D Il s agit maintenant d approcher ce problème par des modèles bidimensionnels, où l inconnue est définie sur le domaine bidimensionnel ω R 2. On définit d abord le tenseur de contraintes σ(φ), associé au champ des déformations arbitraire Φ, par la contraction du tenseur de l élasticité A et le tenseur des déformations e(φ). La fonctionnelle J 3D peut alors s écrire sous la forme : J 3D (Φ)= 1 2 { B1 (Φ, Φ)+B 2 (Φ, Φ) } L(Φ), avec 1 B 2 (Φ, Φ):= Ω λ +2µ σ33 (Φ)σ 33 (Φ)dΩ ε, ε où σ 33 (Φ) est la composante normale du tenseur des contraintes σ(φ) et B 1 (Φ, Φ):= Ae(Φ) e(φ)dω ε B 2 (Φ, Φ), Ω ε L(Φ):= F ε Φ dω ε. Ω ε 159

4 V. Lods, C. Mardare 3. Approximation du problème tridimensionnel de coques élastiques Afin d obtenir des modèles bidimensionnels de coques, une méthode classique est de resteindre l ensemble des déformations admissibles à des sous-ensembles où les déformations prennent une forme prescrite à l avance. Ainsi, suivant les hypothèses a priori de Cosserat et de Naghdi, ou de Kirchhoff Love, on introduit plusieurs sous-ensembles de déformations bidimensionnelles admissibles : X N := { Φ := φ + x ε 3 ζ ; φ, ζ } H1 (ω), φ = θ et ζ = a 3 sur γ 0, X KL := { Φ := φ + x ε 3n(φ); φ H 1 (ω) H 1 (ω) H 2 (ω), φ + x ε 3n(φ)=Θ sur Γ ε 0}, où n(φ) est la partie affine en u := φ θ du vecteur normal unitaire de la coque déformée à la surface φ(ω). Il serait alors naturel de définir les modèles bidimensionnels de coques en minimisant la fonctionnelle J 3D sur l un de ces deux ensembles (on peut également minimiser cette fonctionnelle sur d autres ensembles des déformations bidimensionnelles, comme l ensemble des déformations «en flexion» ou un ensemble des déformations «membranaires suffisament regulières», dans un sens à préciser) ; mais les modèles bidimensionnels ainsi obtenus ont des comportements limites différents de celui du modèle tridimensionnel lorsque ε tend vers zéro et donc ils ne sont pas de «bonnes» approximations de ce dernier. Pour remédier à cet inconvénient, on propose le schéma d approximation (en quatre étapes) suivant : 1. approximation de la fonctionnelle J 3D par J3D, définie par J 3D(Φ):= 1 2{ B1 (Φ, Φ)+ε 2a B 2 (Φ, Φ) } L(Φ), où a ]0, 1[ est un paramètre à choisir ultérieurement ; 2. approximation de l ensemble X 3D des déformations admissibles soit par X N,soitparX KL ; 3. on définit les problèmes approchés (3D ) min Φ X 3D J 3D (Φ), (N ) min Φ X N J 3D (Φ) et (K ) min Φ X KL J 3D (Φ), dont les solutions sont notées Φ ε 3D, Φε N := φε N + xε 3 ζε N et Φε KL := φε K + xε 3 n(φε K ), respectivement ; 4. on montre que les modèles (N ) et (K ) sont de petites perturbations (cf. proposition 3 ci-après) des modèles bidimensionnels de Naghdi et de Koiter, respectivement. 4. Estimations d erreur Afin d obtenir des estimations d erreur pour une norme de type Sobolev définie sur un ouvert fixe, on effectue une mise à l echelle (voir [2]) dans tous les modèles introduits précédemment ; ainsi, par l application π : ω ] 1, 1[ Ω ε définie par π((y,x 3 )) := (y,εx 3 ), ces modèles sont transportés sur le domaine fixe Ω:=ω ] 1, 1[. En particulier, les champs des déformations Φ ε 3D, Φε N, Φε KL sont respectivement transportés dans les champs des déformations mis à l échelle Φ 3D (ε), Φ N (ε), Φ KL (ε), définis par Φ 3D (ε)(y,x 3 ):=Φ ε 3D (y,εx 3), Φ N (ε) :=φ N (ε) +εx 3 ζ N (ε) et Φ KL (ε) :=φ K (ε) + εx 3 n(φ K (ε)). Le tenseur des déformations (associé au champ de déplacements u mis à l échelle), est également mis à l échelle, ce qui conduit à la définition de e(ε, u). On note alors e t (ε, u), e s (ε, u) et e n (ε, u) les parties tangentielles à la surface moyenne S, tranverses et normales du tenseur de déformation mis à l échelle. Pour tout champ des vecteurs de classe H 1 (au moins) sur Ω s annulant sur γ 0 ] 1,1[,ondéfinitla norme u := e t (ε, u) L 2 (Ω) + e s (ε, u) L 2 (Ω) + ε a e n (ε, u) L 2 (Ω), qui a les propriétés suivantes : 160

5 Estimations d erreur... LEMME 1. Si la longueur de γ 0 est > 0, alors il existe une constante C>0 indépendante de ε telle que u Cε u H 1 (Ω). Si de plus la surface moyenne est elliptique et γ 0 = ω,alors u C u H1 (Ω) H 1 (Ω) L 2 (Ω). La démonstration de ces inégalités «de type Korn» suit la même démarche que celle dans [3] et [6]. On donne maintenant des estimations d erreur pour chaque étape de l approximation; pour la première étape, on a l estimation suivante : PROPOSITION 1. Soit Φ 3D (ε) la solution du probleme de minimisation (3D ) une fois mis à l échelle. Alors Φ3D (ε) Φ 3D(ε) Cε a σ 33 ( Φ 3D (ε) ) L 2 (Ω). Pour les deux étapes suivantes, on déduit les estimations (les ensembles des déformations admissibles sont emboîtés, c est-à-dire que X 3D X N X KL ): PROPOSITION 2. (i) J 3D (Φ 3D(ε)) J 3D (Φ N (ε)) J 3D (Φ KL (ε)). (ii) Φ 3D (ε) Φ N (ε) Φ 3D (ε) Φ KL (ε) L(Φ 3D (ε) Φ KL (ε)). Remarque 1. Si σ 33 (Φ 3D (ε)) est suffisament petit, le modèle (K ) ne peut être une meilleure approximation du modèle (3D ) que le modèle (N ). On compare ensuite les modèles (N ) et (K ) aux modèles usuels de Naghdi et de Koiter. PROPOSITION 3. Soient Φ N (ε) :=φ N (ε) +εx 3 ζ N (ε) et Φ KL (ε) :=φ K (ε) +εx 3 n(φ K (ε)), où (φ N (ε), ζ N (ε)) est la solution du modèle de Naghdi et φ K (ε) est la solution du modèle de Koiter (mis à l échelle).alors: (i) Φ N (ε) Φ N (ε) Cε min{1,2a} Φ N (ε) ; (ii) Φ KL (ε) Φ KL (ε) Cε min{1,2a} Φ KL (ε). Grâce aux propositions 1, 2 et 3, il suffit maintenant d estimer σ 33 (Φ 3D (ε)) L 2 (Ω) et Φ 3D (ε) Φ KL (ε). Pour cela, on utilise les estimations d erreur entre le modèle tridimensionnel et le modèle de Koiter obtenues dans [9]. Dans le cas d une coque totalement encastrée (i.e., γ 0 = ω) et quelle que soit la géométrie de la surface moyenne, l estimation d erreur entre le modèle tridimensionnel et le modèle de Koiter est en k(ε) (voir [9] pour la définition de k(ε)). Notons que, sous des hypothèses appropriées sur les forces, l erreur k(ε) est en ε 1/5, alors que la solution du modèle tridimensionnel et la solution du modèle de Koiter sont en O(1). On montre alors le résultat suivant : PROPOSITION 4. Avec les notations précedentes, pour une coque totalement encastrée, on a σ 33( Φ 3D (ε) ) L Ck(ε), 2 (Ω) Φ 3D (ε) Φ KL (ε) C { k(ε)+ε a k(ε)+ε 2a}. Alors, avec le choix optimal a := 1 3 ln(k(ε)), les estimations données par les propositions 1, 2 et 3 sont en k(ε) 2/3. On obtient en particulier des estimations entre la solution du modèle tridimensionnel et la solution du modèle de Naghdi en k(ε) 2/3. Pour des forces F ε (y,εx 3 ):=ε 2 F(y,x 3 ), la déformation Φ 3D (ε) est d ordre O(1) en ε (voir [6]) et on obtient ici l estimation Φ3D (ε) Φ N (ε) H 1 (Ω) Cε2/

6 V. Lods, C. Mardare 5. Commentaires 1. La méthode d approximation décrite dans la section 3 prend en compte les deux hypothèses a priori utilisées en mécanique pour obtenir des modèles bidimensionnels de coques : la contrainte normale est négligeable par rapport aux autres composantes du tenseur de contraintes et l approximation du champ de déformations tridimensionnel est une fonction affine de la variable transverse (voir [7,10] par exemple). Les estimations d erreur obtenues dans la section 4 fournissent ainsi une justification de ces hypothèses a priori. 2. Notons que, dès que des estimations d erreurs entre le modèle tridimensionnel et le modèle de Koiter seront obtenues pour des coques partiellement encastrées, alors il en sera de même pour le modèle de Naghdi, en appliquant la démarche de cette Note. 3. Dans le cas des coques à surface moyenne elliptique, en suivant une démarche analogue à celle utilisée dans cette Note, on peut obtenir des estimations d erreur entre le modèle tridimensionnel d une part et le modèle de Naghdi ou de Koiter d autre part à partir des estimations d erreur entre le modèle tridimensionnel et le modèle membranaire (voir [8,11]). 4. Le schéma d approximation utilisé dans la section 3 est applicable également au problème tridimensionnel non linéaire de coques élastiques, mais les estimations d erreurs données dans la section 4 ne sont valables que dans le cadre linéaire. Références bibliographiques [1] Alessandrini S.M., Arnold D.N., Falk R.S., Madureira A.L., Proceedings of the International conference on shells, Santiago de Compostela, [2] Ciarlet P.G., Mathematical Elasticity, Vol. III: Theory of Shells, North-Holland, Amsterdam, [3] Ciarlet P.G., Lods V., Asymptotic analysis of linearly elastic shells. I: Justification of membrane shell equations, Arch. Rational Mech. Anal. 136 (1996) [4] Ciarlet P.G., Lods V., Asymptotic analysis of linearly elastic shells. III: Justification of Koiter s model, Arch. Rational Mech. Anal. 136 (1996) [5] Ciarlet P.G., Lods V., Asymptotic analysis of linearly elastic shells: Generalized membrane shells, J. Elasticity 43 (1996) [6] Ciarlet P.G., Lods V., Miara B., Asymptotic analysis of linearly elastic shells. II: Justification of flexural shell equations, Arch. Rational Mech. Anal. 136 (1996) [7] Destuynder P., Modélisation des coques minces élastiques, Masson, Paris, [8] Faou E., Proceedings of the International Congress on Industrial and Applied Mathematics, Edinburgh, [9] Lods V., Mardare C., Asymptotic justification of the Kirchhoff Love hypotheses for a linearly elastic clamped shell, J. Elasticity (to appear). [10] Love A.E.H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Dover Publications, [11] Mardare C., Asymptotic analysis of linearly elastic shells: error estimates in the membrane case, Asympt. Anal. 17 (1998)