Limite d une fonction à l infini

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1 CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES Limite d une fonction à l infini et s courbe repré-. Limite finie d une fonction à l infini Soit f une fonction définie sur un intervlle [ ; + [ senttive. L fonction f tend vers L qund tend vers contennt L contient toutes les vleurs de Interpréttion géométrique Si lim f = L, lors l droite d éqution y = L est symptote horizontle à dns un voisinge de l infini. +, f ( ) si tout intervlle ouvert pour ssez grnd. On note lim f ( ) = L ou lim f = L. + + On définit de même l limite en d une fonction f définie sur un intervlle ] ; b ]. + y L j O i. Limite infinie d une fonction à l infini Une fonction f pour limite + en +, si pour tout réel A 0, on f ( ) A pour ssez grnd. On définit de même l limite en. Interpréttion géométrique Si lim f = + et si f peut s écrire sous l forme f ( ) = + b+ h( ) vec lim h = 0, lors l droite d éqution y = + b est symptote oblique + à dns un voisinge de

2 cours svoir-fire eercices corrigés y j O i eemple d ppliction 4 9 Soit l fonction f définie sur { ; } pr f ( ) = Montrer que l droite d éqution y = 4 est symptote à l représenttion grphique de f. 4 9 f ( ) s écrit sous l forme f ( ) = 4 + h ( ) vec h ( ) = Montrons que lim h ( ) = lim -- = lim -- = 0 d où lim 4 9 et -- = 4 lim = + donc lim h ( ) = 0. De même h ( ) = cr 4 = lim 4 -- Donc l droite d éqution + et de. = donc lim h ( ) = 0. y = 4 est symptote à f dns un voisinge de 77

3 CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES Limite d une fonction en Soit un réel. On note Soit un réel.. Limite finie d une fonction en Une fonction f dmet une limite L en si, tout intervlle ouvert contennt L, contient toutes les vleurs de f ( ) pour suffismment proche de. lim f ( ) = L ou bien lim f = L.. Limite infinie d une fonction en Une fonction f dmet pour limite + en si, quel que soit un réel A 0, tout intervlle [ A ; + [ contient toutes les vleurs de f ( ) pour suffismment proche de. On note lim f ( ) = + ou bien lim f On définit de même lim f =. = Interpréttion géométrique Si lim f =, lors l droite d éqution = est symptote verticle à l représenttion grphique de f. y 0 78

4 cours svoir-fire eercices corrigés eemples d ppliction Soit l fonction f définie dns { } pr f ( ) = ( ) Montrer que lim f = + en utilisnt les définitions précédentes. Soit un réel A strictement positif et quelconque. Indiction : on cherche un nombre h 0 tel que, pour h + h on it f ( ) A. Pour que f ( ) A, il suffit que ( ) A, soit ( ) --- cr ( ) Donc A On peut prendre h tel que h = et lors pour on A A A f ( ) A. Cel signifie que lim f( ) = +. 3 Soit l fonction f définie sur { ; } pr f ( ) = Déterminer, si elles eistent, les limites en et en de l fonction f. lim ( ) = 0 + donc pr quotient lim f ( ) = + lim ( ) = lim ( ) = 0 et lim f ( ) =. L fonction f n ps de limite en, mis elle une limite à guche de égle à + et une limite à droite de égle à. Pour l vleur, le numérteur et le dénominteur s nnulent, donc est rcine de chcun des polynômes. D où, = ( ) ( ) et = ( + ) ( ). 3 Après simplifiction, on obtient f ( ) + 3 = cr. + lim ( ) = 5 5 donc lim f ( ) = --. lim ( + ) = 5 L fonction f une limite en égle à

5 CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES 3 Continuité d une fonction. Définitions Soit une fonction f définie sur un intervlle I contennt un réel. L fonction f est continue en si f dmet une limite finie en égle à f ( ). f est continue en si et seulement si : lim f ( ) = f ( ) ou bien lim f ( + h) = f ( ). h 0 L fonction f est continue sur un intervlle I si f est continue en tout point de I. Grphiquement cel se trduit pr l possibilité de trcer une courbe sns lever le cryon de l feuille. l fonction f est continue sur [, b] l fonction f n est ps continue sur [, b] f n est ps continue en 0 0 b 0 b. Propriétés Toutes les fonctions construites comme somme, produit, quotient ou composées de fonctions polynômes, trigonométriques, logrithmes ou eponentielles sont continues. Si f est une fonction dérivble sur un intervlle, lors elle est continue sur cet intervlle. Remrque : si f est définie sur [, b], si f est dérivble sur ], b] et si lim f ( ) = f ( ), lors f est continue sur [, b]. 80

6 cours svoir-fire eercices corrigés eemple d ppliction Étudier et représenter grphiquement l fonction prtie entière de sur [ ; 3 ] notée E : E( ). Conseil : l prtie entière d un nombre est le plus grnd entier inférieur à ce nombre. E( 3,7) = 3 ; E( ) = ; E( 3,7) = 4. Pour tout [ n ; n + [ vec n, E ( ) = n. Donc sur [ ; 3 ], [ ; [ ; [ ; 0[ ; [ 0 ; [ ; [ ; [ ; [ ; 3[ ; E ( ) = E ( ) = E ( ) = 0 E ( ) = E ( ) = E( 3) = 3. L fonction prtie entière est donc une fonction constnte pr intervlle, discontinue pour chque vleur entière de donc discontinue sur [ ; 3 ]. 3 j O i 3 Remrque : l discontinuité de l fonction prtie entière est trduite pr le fit qu en l représentnt, le cryon quitte le ppier pour chque vleur entière. L courbe n est ps trcée d un seul trit. 8

7 CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES 4 Opértions sur les limites. Limite de l somme de deu fonctions ou de deu suites Les nombres et sont des réels. Limite de f + + Limite de g + + Limite de f+ g + + Il y une indétermintion mise en évidence pr l cse bleue.. Limite du produit d une fonction pr un réel non nul Les nombres et α sont des réels. Limite de f + α 0 Limite de αf α + α 0 Limite de αf α + 3. Limite du produit de deu fonctions ou de deu suites Les nombres et sont des réels. Limite de f Limite de g Limite de fg Limite du quotient de deu fonctions ou de deu suites Les nombres et sont des réels. Limite de f Limite de g f Limite de g 0 0 8

8 cours svoir-fire eercices corrigés Il y deu cs d indétermintion si le numérteur et le dénominteur ont une limite infinie, ou bien s ils ont tous les deu une limite nulle. 5. Limite de l composée de deu fonctions Si lim f ( ) = b et si lim g( y) = c, lors lim ( g f) ( ) = c. y b eemple d ppliction Soit l fonction f définie sur { ; } pr : Déterminer l limite de f en. f ( ) = Conseil : le numérteur et le dénominteur s nnulent pour =. Cel signifie que est rcine des polynômes et +, donc chcun d eu est fctorisble pr ( ). L division euclidienne de pr s écrit : ( 3 + ) ( + ) 3 3 ( 3 3) 0 d où = ( ) ( + 3), de même + = ( ) ( ), or d où lim ( + 3) = et lim ( ) = 3 donc lim f ( ) = f ( ) =

9 CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES 5 Théorème des vleurs intermédiires. Théorème des vleurs intermédiires Soit une fonction f, définie et continue sur un intervlle I et deu réels et b de I. Pour tout réel k compris entre f ( ) et fb ( ), il eiste un réel c compris entre et b, tel que fc ( ) = k. Autre énoncé : si l fonction f est définie et continue sur un intervlle I, l imge de l intervlle I pr f est un intervlle.. Corollire du théorème des vleurs intermédiires Si une fonction f est continue et strictement monotone sur [, b], lors pour tout réel k compris entre f ( ) et fb ( ), l éqution f ( ) = k dmet une unique solution dns [, b]. Remrque : on peut étendre ce corollire à une fonction définie sur un intervlle [, b [, ], b] ou ], b [. On déterminer lors les intervlles imges en clculnt les limites u bornes des intervlles. 3. Intervlles imges On note J l intervlle imge pr f de I. I f est strictement croissnte sur I f est strictement décroissnte sur I 84 [, b] J = [ f ( ), fb ( )] J = [ fb ( ), f ( )] [, b[ J = [ f ( ), limf [ J = ] lim f, e emples d ppliction Soit l fonction f définie sur ] ; + [ pr f ( ) = Déterminer l imge J pr f de l ensemble ] ; + [. b b f ( )] ], b] J = ] limf, fb ( )] J = [ fb ( ), lim f [ ], b[ J = ] lim f, lim f [ J = ] lim f, lim f [ b b

10 cours svoir-fire eercices corrigés Indiction : pour étudier les vritions de f et ses limites u bornes de son ensemble de définition on peut écrire f sous l forme f ( ) = ] ; + [, f ( ) = ( ). ( + ) 0 donc f ( ) 0. Donc sur ] ; + [, l fonction f est strictement croissnte. lim ( + ) 0 + = et lim =, donc pr composition et pr ddition : X 0 X 0 lim f ( ) =. lim ( + ) = + et lim --- = 0, donc pr composition et pr ddition : + X + X lim f ( ) =. L ensemble J imge de I pr f est tel que f étnt strictement croissnte et continue sur ] ; + [ on it J = lim f ( ) ; lim f ( ) soit J = ] ; [. Déterminer le nombre de solutions de l éqution = Conseil : vnt de fire tout clcul, il fut voir s il y des rcines évidentes, si l epression est fctorisble et si enfin on reconnit une identité remrquble. Cet inventire étnt négtif, on ppelle f l fonction telle que : f ( ) = f ( ) = = = 0 donc 0, pr suite f ( ) 0 (signe du coefficient 3 de ). L fonction f est donc strictement croissnte sur. ( ) = cr 0 u voisinge de + et lim = + 3 lim 3 = donc pr produit lim f ( ) = +, + lim 3 =, donc lim f( ) =. L fonction f est continue et strictement monotone sur, et zéro pprtient à, donc l éqution f ( ) = 0 dmet une unique solution dns d près le corollire du théorème des vleurs intermédiires. 85

11 CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES 6 Théorèmes de comprison Les résultts ci-dessous restent vlbles si les fonctions sont des suites. Si on connît le comportement de certines fonctions, on peut en déduire pr comprison le comportement d utres fonctions. Dns le tbleu ci-dessous, l nottion représente ussi bien un réel que l infini. Reltions lint les fonctions dns un voisinge de f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) est un réel f ( ) g ( ) h ( ) f ( ) g ( ) Comportement Comportement de g ( ) et de h ( ) de f ( ) lim g = lim f et lim h = lim g = est un réel = lim g = + lim f = + lim g = 0 lim f = lim f = lim g = lim f lim g Théorème des gendrmes lim f = Soit l fonction f définie sur Déterminer l limite de f en +. eemples d ppliction pr f ( ) = Conseil : l fonction sinus n ps de limite en +, et pourtnt l fonction f en une. En effet : Or Pr illeurs = d où f ( ) = donc f ( ) lim = 0, donc pr comprison lim f( ) =. f ( )

12 cours svoir-fire eercices corrigés Montrer que pour tout réel strictement positif : En déduire l limite en + de l fonction f définie sur + pr Soit α = = = Sur +, + 0 et 0 donc α 0 soit Soit β = = Or, 0 + et + 0 d où β 0 soit donc Or = cr d où + + 0, -- D près le théorème des gendrmes, on déduit que sin n+ n Soit l suite u définie sur pr u n = n +. Montrer que pour tout n de, u n n n + ( ) +.. En déduire l limite de en. sinn, donc n sinn+ n n + n or n + 0 sur, donc n + sinn+ n n n + n +. Pr suite pour tout n de, u n n n + n n n. n n = cr dns un voisinge de n + n + = n -- + n 0 +. n -- Or u n -- lim = lim = lim et + n -- = lim n = +, n + n n + n + lim f =. + f ( ) = donc pr produit lim n + n n + = +. Pr comprison lim u n n + = +. 87