IV CINEMATIQUE DES FLUIDES

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1 Univesié Paul Sabaie - FSI L2 Mécanique / Mahémaiques I CINEMATIQUE DES FLUIDES Le fluide n es plus mainenan en équilibe saique mais en mouvemen écoulemen. La cinémaique des fluides es l éude l obsevaion la descipion d un écoulemen sans en considée les causes. 1. Descipion des écoulemens Dans l éude du mouvemen d un fluide on défini généalemen en chaque poin M : la viesse la masse volumique ρ e la pession P e évenuellemen la empéaue T Définiions On peu obseve difféens pes de égimes dans l écoulemen d un fluide : Régime pemanen ou saionnaie : les gandeus ne dépenden pas du emps M idem pou ρ e P cela ne signifie pas que le fluide a une viesse consane paou mais seulemen que la viesse du fluide en un poin donné es la même à chaque insan Régime unifome : la viesse ne dépend pas du poin considéé Régime laminaie : les couches de fluide glissen les unes pa appo au aues les viesses son coninues Régime ubulen : les viesses son disconinues les couches de fluide s inepénèen de façon aléaoie non aié dans le cade de ce cous Mécanique des fluides Manuel Macou I- 1

2 Univesié Paul Sabaie - FSI L2 Mécanique / Mahémaiques 2. Descipion du mouvemen d un paicule A la difféence de la mécanique des solides il es illusoie en mécanique des fluides de vouloi décie la ajecoie de chaque paicule du ssème considéé. Il es ici nécessaie de faie ineveni une aue descipion macoscopique du mouvemen. Deu méhodes difféenes peuven êe uilisées qui diffèen pa le choi des vaiables adopées. a Descipion Lagangienne Définiion : Dans la descipion Lagangienne on sui une paicule fluide donnée issue d un poin fié OM au cous de son mouvemen en spécifian à chaque insan sa posiion. M Soien les coodonnées d une paicule à l insan. Le mouvemen es connu si on connaî les coodonnées de la paicule en foncion de e du emps. On défini alos la viesse de la paicule fluide pa : Les vaiables e son appelées les vaiables de Lagange. Comme paiquemen il n es pas ès impoan de connaîe la mache individuelle de chaque paicule ce mode d éude n es pas ès emploé e condui à des calculs louds Mécanique des fluides Manuel Macou I- 2

3 Univesié Paul Sabaie - FSI L2 Mécanique / Mahémaiques b Descipion Euléienne En mécanique des fluides on ne s inéesse généalemen pas à la ajecoie individuelle des paicules. Ce qui inéesse c es de savoi commen vaie la viesse en ou poin de l écoulemen à ou insan champ de viesse. Définiion : La descipion Euléienne coespond à obseve la viesse d une paicule fluide à un insan donné pou une posiion fie Les 3 pojecions su un ssème d aes caésien de la viesse de la paicule fluide qui passe à l insan au poin M son appelées vaiables d Eule. Soi un poin M de l écoulemen sa posiion es donnée pa OM e + e + e La viesse du fluide en ce poin M à l insan es : M Eemple : Toubillons auou d un clinde allées de on Kaman Remaque : Paiquemen cee descipion es plus commode pou les aisons suivanes : Mécanique des fluides Manuel Macou I- 3

4 Univesié Paul Sabaie - FSI L2 Mécanique / Mahémaiques les gandeus cinémaiques e dnamiques ρ. P.. son associées au poins de l espace. elles son foncions du poin de l espace considéé e non de la cellule de fluide envisagée pou les écoulemens pemanens ès uilisés en paique les vaiables d Eule son indépendanes du emps l ensemble des veceus viesse fome un champ de veceus auquel s appliquen oues les popiéés du champ vecoiel économie de calculs Dans cee inoducion à la mécanique des fluides la descipion des écoulemens de fluide se fea esseniellemen dans le cade de la descipion «euléienne». 3. Tajecoies e lignes de couan a Définiions La ajecoie d une paicule de fluide es définie pa le chemin suivi pa cee paicule au cous du emps c'es-à-die l ensemble des posiions successives de cee paicule au cous du mouvemen. On peu les visualise en injecan un aceu fumée liquide coloé paicules diffusan la lumièe On peu défini plusieus gandeus caacéisan le mouvemen d un fluide : Les lignes de couan son les lignes du champ de veceus. Elles son définies comme les coubes angenes en chacun de leus poins au veceu viesse en ce poin On défini pa ube de couan ou file de couan l ensemble des lignes de couan s appuan su un conou femé Les lignes d émission ou files de fluide en un poin P e l insan : son les lieu des posiions à l insan des paicules qui son passées au poin P au insan pécédens. Elles peuven êe mises en évidence en injecan un coloan au poin considéé Mécanique des fluides Manuel Macou I- 4

5 Univesié Paul Sabaie - FSI L2 Mécanique / Mahémaiques b Déeminaion des ajecoies Les ajecoies son généalemen calculées en éliminan le emps dans les epessions epiman la posiion d une paicule fluide à chaque insan : OM Si on connaî la viesse en descipion Euléienne on peu déemine les ajecoies des paicules en inégan cee viesse pa appo au emps. Soi la viesse donnée en descipion Euléienne Pa définiion d d d d d d d d & & & on obien donc le ssème difféeniel: d d d d d d En inégan ce ssème avec les condiions iniiales on obien la posiion à chaque insan : + d En éliminan alos le emps on obien une elaion ene les vaiables coespondan à l équaion de la ajecoie de cee paicule comme en mécanique du poin Remaque : Pou obeni epéimenalemen les ajecoies on peu pende une phoogaphie de l écoulemen avec un emps d eposiion long de manièe à ce que chaque paicule puisse pacoui ou le champ de l appaeil Mécanique des fluides Manuel Macou I- 5

6 Univesié Paul Sabaie - FSI L2 Mécanique / Mahémaiques c Déeminaion des lignes de couan D apès la définiion les lignes de couan à un insan fié son les coubes qui en chacun de ses poins admeen une angene paallèle au veceus viesse en ce poin à ce insan. Soi dm un élémen d une ligne de couan d M d d d dm es paallèle en M à la viesse M : d M // dm O M d dm d d On obien finalemen la elaion définissan les lignes de couan : d d d d d d Remaques : Les lignes de couan son en généal des foncion du emps elles se défomen donc au cous du emps Elles epésenen une image «figée» de la épaiion des viesses dans le fluide accodemen des veceus viesse obenus à pai d une phoo d un écoulemen avec des paicules e un emps d eposiion cou En égime pemanen écoulemen saionnaie les viesses ne dépenden plus du emps e les 2 condiions pécédenes coïnciden avec : d d d Les paicules suiven coninuellemen les mêmes ajecoies engendan ainsi les mêmes lignes de couan. Dans ce cas paiculie ajecoies e lignes de couan son confondues. Les ubes de couan son invaiables e les paicules fluides s écoulen comme dans un ube igide. Mécanique des fluides Manuel Macou I- 6

7 Univesié Paul Sabaie - FSI L2 Mécanique / Mahémaiques 4. iesse - Débis a Pofil de viesse Le pofil de viesses donne la nome e la diecion de la viesse en foncion de la posiion dans l écoulemen en foncion de l éloignemen de la paoi ou à l inéieu d un ube de couan pa eemple : Pou des fluides pafais la viesse es consane su oue la secion. Pou des fluides éels la viesse es quasi-nulle su la paoi e maimale au cene. Simplificaion Dans de nombeu cas on peu défini une viesse moenne su la secion e considée que cee viesse moenne es celle en ou poin de la secion. Cee façon de aisonne quand elle es éalisable peme alos de considée un écoulemen unidimensionnel sans vaiaions ansvesales uau conduies canau. Eemple : iesse moenne pou un pofil de viesses paabolique dans un ube : b Débis mo 2 En appelan «d» e «dm» especivemen le volume élémenaie e la masse élémenaie avesan une secion donnée S pendan le emps élémenaie «d» on défini : le débi volumique : d Q v en m 3. s 1 d Mécanique des fluides Manuel Macou I- 7

8 Univesié Paul Sabaie - FSI L2 Mécanique / Mahémaiques Remaque : Si la secion S de l écoulemen es consane on a alos : d dl Q S S d d v mo le débi massique : dm Q m en kg. s 1 d Remaque : Pou un fluide incompessible ρ Cse dans une secion S consane ce débi devien : Q m d ρ d ρ Q v ρ S mo Applicaion : Ecoulemen d un fluide éel dans un ube En considéan l écoulemen dans un ube de secion R e en epenan le pofil de viesse paabolique d un fluide éel on véifie que : 2 Q d π R S 2 v dqv ds 2π mo 5. Consevaion de la masse - Equaion de coninuié a Pincipe Pincipe de Lavoisie 1777 : «ien ne se cée ni dans les opéaions de l'a ni dans celles de la naue e l'on peu pose en pincipe que dans oue opéaion il a une égale quanié de maièe avan e apès l'opéaion ; que la qualié e la quanié des pincipes es la même e qu'il n' a que des changemens des modificaions». Popiéé : Dans le mouvemen d un fluide s écoulan à la viesse s il n a ni accumulaion de maièe pas de condensaion évapoaion ni appaiion de maièe pas de uau accodé la maièe se conseve : m ρ d Cse Mécanique des fluides Manuel Macou I- 8

9 Univesié Paul Sabaie - FSI L2 Mécanique / Mahémaiques b Ecoulemen unidimensionnel Dans le cas d un écoulemen unidimensionnel on peu applique cee elaion su un ube de couan élémenaie associé à l écoulemen limié pa sa secion d enée ds 1 sa secion de soie ds e sa secion laéale ds : 2 L La consevaion de la maièe se adui pa : dm 1 dm2 d d O dm d ds dl ρ d ρ ds dqm d où dq m dq 1 m2 En inégan su ous les ubes de couan avesan la secion S 2 abouissan su la secion on obien : Q Q. m1 m 2 Il a donc consevaion du débi massique dans l écoulemen S 1 de l écoulemen e Remaque : Dans le cas de fluides incompessibles comme la masse volumique ese consane dans l écoulemen on a donc ρ 1 ρ2 Le aisonnemen su les ubes de couan donne donc dans ce cas : S 11 S2 2 soi Q Q 1 2 Il a donc dans ce cas consevaion du débi volumique. Le débi massique es consevé mais le débi volumique ne l es que si le fluide es incompessible Applicaions : Ecoulemens avec changemen de secion accodemens secion muliples Mécanique des fluides Manuel Macou I- 9

10 Univesié Paul Sabaie - FSI L2 Mécanique / Mahémaiques c Généalisaion Popiéé : Dans le cas généal idimensionnel la consevaion de la maièe se adui localemen su un élémen de fluide pa : ρ + Div ρ Il s agi de l équaion de coninuié Démonsaion : Bilan des flu de maièe à aves un volume élémenaie ou vaiaion de la masse d un élémen de fluide feuille à pa Simplificaions : Cee équaion généalisée peu se simplifie suivan l écoulemen considéé ρ Si l écoulemen es pemanen alos il ese : Div ρ Si de plus l écoulemen es incompessible ρ Cse Div C es le cas de nombeu écoulemens alos l équaion se édui à Inepéaion aiaion du volume élémenaie d au cous du mouvemen du fluide d 1 d d d Div d Div d d d - Si Div > le volume se dilae - Si Div < le volume se conace - Si Div pas de vaiaion de volume fluide incompessible Pou un écoulemen unidimensionnel conduie suivan e on a e d l équaion locale s éci alos d Son inégaion su la secion S de la conduie donne que : S Cse en oue secion de l écoulemen on eouve le ésula pécéden Mécanique des fluides Manuel Macou I- 1