Étude thermique des ailettes :

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1 Kotler Vivien Unfer Aurélien AP - ENSGSI Étude thermique des ailettes : Objectifs : Au cours de ce TP nous avons vérifié expérimentalement un calcul de transfert de chaleur en régime permanent dans des ailettes à section droite. Ces ailettes sont de formes, de matériaux et de longueur différents afin de rendre compte de l influence de ces différents paramètres. Une ailette a pour rôle de conduire la chaleur en provenance s une source et ainsi augmenter la surface d échange convectif du milieu. On peut en trouver dans les ordinateurs afin de refroidir les processeurs ou dans les voitures comme système de refroidissement du moteur. Le montage expérimental se présente de la manière suivante : Cylindre rempli d huile chauffée ailettes Les caractéristiques des ailettes sont les suivantes : Ailette : Dural section circulaire, diamètre 0mm, longueur 150mm. Ailette 3 : Dural section carrée, diamètre 0mm, longueur 150mm. Ailette 4 : Acier section circulaire, diamètre 0mm, longueur 150mm. Ailette 5 : Dural section circulaire, diamètre 0mm, longueur 300mm.

2 5 thermocouples sont répartis le long de chaque ailette afin de mesurer la température. Le thermocouple délivre une différence de potentiel proportionnelle à la température du milieu dans lequel il se trouve. A l aide d une table de correspondance on peut déduire la température du milieu. Une sonde de platine nous donne la température de la soudure froide, la résistance de la sonde varie linéairement avec la température selon la loi suivante : R(T) = R 0 * ( * T), avec R 0 la résistance à 0 C qui vaut 100 Ohms et T exprimée en C. Modélisation de l expérience : Le problème peut se schématiser de la manière suivante : Air Ta r(x) T 0 (x) (x+dx) 0 x x+dx L T a : température de l air T 0 : température de la paroi r(x) : flux échangé par convection (x) et (x+dx) : flux échangé par conduction

3 On considère que la tranche d épaisseur dx est à une température donnée T(x) et constante car nous sommes en régime permanent. Cette hypothèse signifie que le transfert de chaleur est unidirectionnel sur x. Cette simplification peut être réalisée sous l hypothèse d un nombre de Biot très inférieur à 1. On rappelle que Bi=hL/. On suppose que la barre est conductrice, donc λ sera grand et le Biot petit. On retrouve alors l hypothèse du transfert unidirectionnel. Ainsi nous pouvons écrire le bilan des transferts thermiques pour l élément dx : (x) = (x+dx) + r(x) cela signifie que le flux entrant est égale à la somme des flux sortants (régime permanent) Le flux échangé par conduction est donné par : (x) = (x) * S = - * grad(t(x)) * S Le flux échangé par conduction est : r(x) = h * p * dx * (T(x) T e ) En remplaçant ces expressions dans la première équation, on obtient : ( dt) * ( dt x S ) x dx p* dx* h*( T Te) dx dx 0 Avec : λ : conductivité thermique du matériau (W.m -1.K -1 ) h : coefficient d échange convectif (W.m -.K -1 ) p : périmètre de section S : surface de section Après simplification : d T p* h *( T Te) 0 dx * S ( x) x * ( x) on pose Θ(x) = T Te et α = (p*h)/(s*λ); on obtient donc : 0 Les solutions de cette équation différentielles sont de la forme : (x) = A * ch ( * x) + B * sh ( * x) (x) = C * exp(- * x) + D * exp( * x) Afin de résoudre notre problème, nous disposons de conditions limites : La première est donnée par T 0 en x=0. En ce qui concerne la seconde nous devons distinguer 3 hypothèses : Ailette de longueur infinie Flux en x=l est nul Flux convectif échangé au bout de l ailette

4 Modèle 1 : On utilise la condition limite : L θ(x) = 0 (ailette de longueur infinie) En utilisant l équation différentielle précédente, on a : (L) = C * exp(- * L) + D * exp( * L) = 0 Quand L, exp( * L). Si D 0 alors (L), ce qui ne respecte pas la condition limite donc D est nul. L'équation devient: (L) = C * exp(- L); Quand x = 0, (0) = C * exp(0) = C. On obtient donc pour le modèle 1 l équation suivante: (x) = (0) * exp(- x) Modèle : On utilise la condition limite : Ψ (x = L) = 0 (flux nul traversant l extrémité) ( x) Ainsi : * S * 0 x (L) A * * sh ( * L) + B * * ch ( * L) = 0 x Or A = (0) (0)* sh( * L) donc B = - ch( * L) On a donc : (x)= (0) ch ( * x) * ch ( * L) - sh ( * x) * sh ( * L) ch ( * L) On obtient donc pour le modèle l équation suivante: ch( * L * x) (x) = (0) ch( * x)

5 Modèle 3 : On considère un flux convectif échangé au bout de l ailette : (L) = h * S * (T(L) T e ) = - * S (L) x h * (L) = - * (L) h * [ (0) * ch ( L) + B * sh ( L)] = - * *[ (0) * sh ( L) + B * ch ( L)] On trouve B : B = (0) - h * ch ( L) - * * sh ( L) h * sh ( L) + * * ch ( L) L équation obtenue pour le modèle 3 est : ( x ) h* sh( ( L (0)* h* sh( x)) * L) * * * ch( * ch( ( L x)) * L)

6 Partie expérimentale : La température du bain d huile est fixée à 90 C et nous relevons les valeurs des températures sur chaque ailette et à différentes distance ainsi que la température de la soudure froide et la température ambiante. T s = 3,6 C T a = 6 C Nous classons les températures des ailettes dans le tableau suivant : Position x (mm) T ailette ( C) (x)/ (0) ailette T ailette 3 ( C) (x)/ (0) ailette T ailette 4 ( C) (x)/ (0) ailette Position x (mm) T ailette 5 ( C) (x)/ (0) ailette Après la modélisation de (x)/ (0) sur Regressi et en utilisant les 3 modèles vu précédemment, on obtient les valeurs de α suivantes : Modèle1 Modèle Modèle3 α 1, ,100 4,1000 α 3 0, , ,35300 α 4 4,7000 7, ,31000 α 5,0300 3,6700 3,58400

7 On remarque clairement que les valeurs de α sont différentes pour le modèle 1 par rapport aux modèles et 3. De plus le modèle 1 n est pas acceptable car nous avons fait l hypothèse d une ailette de longueur infinie. La température au bout de l ailette devrait donc être à la température ambiante. Or on remarque à l aide de nos relevés que ce n est pas le cas et on peut l observer aussi rien qu au touché. On remarque que les valeurs de modèle sont proches du modèle 3 or ce dernier est le plus complet car il tient compte d un échange convectif au bout de l ailette donc il est le plus proche de la réalité. On peut donc supposer que le modèle est acceptable. Quelle devrait être la taille de l ailette pour que le modèle 1 soit acceptable? Il faudrait que T(L) T e (L) 0 on prendra (L)=10-4 afin d effectuer le calcul (0) = 59 C (0) = 59 C Pour les ailettes en Dural : = 4 Pour l ailette en acier : = = 59 * exp(-4 L) 10-4 = 59 * exp(-7,5 L) L = - ln(10-4 / 59)/4 L = - ln(10-4 / 59)/7.5 L = 3.3 m L = 1.77 m Le modèle 1 n est donc acceptable que dans le cas d ailettes relativement grandes.

8 Calcul du coefficient d échange h : p* h d où * S Ailette : h = 0.9 * Ailette 3 : h = 0.5 * Ailette 4 : h = 0.9 * Ailette 5 : h = 0.9 * h * S * p Nous obtenons les valeurs de h suivantes (théoriquement h=10wm - K -1 ) : (W.m -.K -1 ) Modèle1 Modèle Modèle3 h 1, , ,7696 h3 0,944,96356,81065 h4 16, , ,0949 h5 3, , ,56055 L hypothèse d un transfert unidirectionnel dans l ailette est déjà apparemment vérifiée, nous allons étudier le nombre de Biot afin de confirmer cette hypothèse. Si le nombre de Biot est très faible devant 1, cela signifie que l échange thermique par convection est très inférieur à celui par conduction, ainsi le transfert est considéré comme unidirectionnel. Le nombre de Biot s exprime par la relation : B = hl / Modèle Modèle3 B 0, ,01348 B3 0,0061 0,0048 B4 0,1513 0,1448 B5 0,0089 0,0040 Le nombre de Biot est donc très inférieur à 1 pour les deux modèles et pour les différentes ailettes. Le transfert sera donc bien unidirectionnel.

9 Calculons les différences entre les flux réellement échangés dans les ailettes et le flux échangé sans ailette. Prenons pour exemple l ailette en dural. Avec ailette : φ = - T/ z = 170*(86,6-58,8)/(0,15) = 4840 Wm - Sans ailette : φ conv = h T = 10*(86,6-58,8) = 78 Wm - On remarque que φ conv est très inférieur à φ ce qui justifie l utilisation d une ailette. Conclusion : En conclusion on peut dire que pour refroidir un microprocesseur il faut utiliser une ailette dont le matériau a un coefficient de conductivité thermique élevé. De plus il faut augmenter la surface d échange convectif afin de refroidir au mieux ; pour cela soit on augmente la longueur soit on les fait plus petites mais plus fines. De plus pour augmenter le coefficient d échange convectif on peut placer un ventilateur. Cette étude sur les ailettes nous a permis de vérifier les lois vues en cours de transfert de chaleur. Nous avons aussi pu vérifier certaines conditions et hypothèses de transfert de chaleur dans une ailette (nombre de Biot, transfert unidirectionnel ).