Les fractions : comparaison et simplification

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1 2 Les fractions : comparaison simplification C H A P I T R E Énigme du chapitre : Quelle proportion de la surface totale est coloriée en bleu?

2 1 Quotient proportion, multiples diviseurs 1 1 Quotient proportion Définition 2.1 Quotient Soient a b deux nombres tels que b = 0. Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne Ce quotient se note de deux manières : a b ou a b. La première notation, bien que légitime, ne sera JAMAIS utilisé, on utilisera uniquement la seocnde (qu on appelle écriture fractionnaire). Dans l écriture fractionnaire a b, a est appelé numérateur b est appelé dénominateur. Exemples = 22 = 5,5 car 5,5 = 22. = 20 car 20 0,5 = ,5 Définition 2. Fraction On appelle fraction quand le numérateur le dénominateur de l écriture fractionnaire sont entiers. Exemple 2.. L écriture décimale 22 est une fraction. Remarque 2.5. Comme dit, dans la définition 2.1, le dénominateur d un quotient en écriture fractionnaire doit être non nul. La division par 0 est impossible! Pour aller plus loin! Pourquoi ne peut-on pas diviser par 0? Si la division par 0 était possible, cela voudrait que l on pourrait multiplier n importe quel nombre a par 0 cela donnerait Or, vous savez depuis le primaire, que, pour tout nombre a, a 0 = 0. Définition Quand on prend un quart de tarte, la proportion de la part de tarte par rapport au total est de. Cela signifie que, sur parts coupés équitablement, on en prend une part. On peut le voir par un dessin : 1 2 Multiples diviseurs Définition 2.7 Multiple Soient â b deux entiers non nuls. On dit que b est multiple de a s il existe un entier n tel que a n = On dit aussi que b est divisible par Exemple 2.8. Comme 18 6 =, on en déduit que : 18 est multiple de 6 ; 18 CHAPITRE 2. LES FRACTIONS : COMPARAISON ET SIMPLIFICATION

3 18 est divisible par 6. Définition 2.9 Diviseurs d un nombre Un nombre entier d est un diviseur d un entier n lorsque n fait partie de la liste des multiples de d, c est-à-dire lorsqu il existe un entier q tel que n = d q. Exemple Comme 77 = 7 11, on en déduit que 7 11 sont des diviseurs de 1 1 Compléments sur les critères de divisibilité 2 Un nombre est divisible par 2 lorsque le chiffre des unités est 0, 2,, 6 ou 8. Exemples : sont multiples de 2. 5 Un nombre est divisible par 5 lorsque le chiffre des unités est 0 ou 5. Exemples : sont multiples de Un nombre est divisible par 10 lorsque le chiffre des unités est 0. Exemples : sont multiples de 10. Un nombre est divisible par lorsque les deux chiffres de droite froment un nombre multiple 1 de. Exemples : sont multiples de. 25 Un nombre est divisible par 25 lorsque les deux chiffres de droite sont 00, 25, 50 ou 75. Exemples : sont divisibles par Un nombre est divisible par 100 lorsque les deux chiffres de droits sont 00. Exemples : sont divisibles par * Un nombre est divisible par 8 lorsque les chiffres de droite forment un nombre multiple 2 de 8. Exemples : sont divisibles par 8 (776 = = 8 ). 125 Un nombre est divisible par 125 lorsque les chiffres de droite forment un nombre multiple de 125 : 125, 250, 75, 500, 625, 750, 875. Exemples : sont divisibles par Un nombre est divisible par 1000 lorsque les trois chiffres de droite sont 000. Exemples : sont divisibles par Un nombre est divisible par lorsque la somme de ses chiffres est un nombre multiple de. Exemples : 71 8 sont multiples de ( = = 18). 9 Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un nombre multiple de 9. Exemple : est un nombre divisible par 9 car = 6. 11* Un nombre est divisible par 11 lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang pair la somme des chiffres de rang impair est un multiple de 1 Exemple : est un nombre divisible par 11 car = 26, = 26 = 22 = 2 1 Les nombres multiples de inférieur à 100 sont 00, 0, 08, 12, 16, 20, 2, 28, 2, 6, 0,, 8, 52, 56, 60, 6, 68, 72, 76, 80, 8, 88, 92, Renseignez-vous sur les multiples de 8 inférieurs à QUOTIENT ET PROPORTION, MULTIPLES ET DIVISEURS 19

4 2 Simplifier les fractions Activité A. Découvrir la propriété des quotients Tracer un carré 8 8 (unité : un carreau) sur votre cahier. 2. Partager votre carré en parties d aires égales.. Colorier le carré en haut à droite.. Quelle proportion du grand carré représente la partie colorée? (écrire cte proportion sous forme de fraction). 5. Tracer un autre carré 8 8 (unité : un carreau) sur votre cahier. 6. Partager votre carré en 6 parties d aires égales. 7. Colorier 16 pits carrés en haut à droite du carré (les 16 pits carrés sont tous regroupés en un seul bloc). 8. Quelle proportion du grand carré représente la partie colorée? (écrire cte proportion sous forme de fraction). 9. Les deux parties coloriés sur les deux carrés sont-ils de même aire? 10. En utilisant la propriété : a b c b = a c b b = a c 1 = a c que 6 = 16, écrire une égalité sur les deux fractions (questions 8) représentant la proportion de l aire coloriée par rapport à l aire totale. 2 1 Propriété des quotients Propriété des quotients Si a,b k sont trois nombres tels que b = 0 k = 0 alors : Propriété 2.11 a b = a k b k a b = a k b k. Autrement dit, le quotient ne change pas lorsque l on multiple ou l on divise son numérateur son dénominateur par un même nombre non nul. Exemples = 2 = 9 ; 15 5 = = 1 =. 2 2 Simplification des fractions Définition 2.1 Simplification de fractions On dit qu on simplifie une fraction si on écrit une fraction qui lui est égale mais avec un numérateur un dénominateur plus pits. Remarques 2. On cherche à obtenir une fraction avec une écriture la plus simple possible. Quand la fraction n adm plus de simplifications, on dit qu il s agit d une fraction irréductible. Il serait judicieux d apprendre par cœur vos tables de multiplications. Si vous ne voulez pas les apprendre, ayez toujours une feuille volante avec une table de multiplication de 1 à 10. c. Les critères de divisibilité permtent de mieux décomposer le numérateur le dénominateur en leurs diviseurs plus pits. Exemple = =. La fraction 6 8 peut être simplifiée. est une fraction irréductible. 20 CHAPITRE 2. LES FRACTIONS : COMPARAISON ET SIMPLIFICATION

5 2 De l écriture fractionnaire à la fraction Propriété 2.16 Soit a b deux nombres décimaux tels que b = 0. Pour transformer l écriture fractionnaire a b en une fraction (rappel : le numérateur le dénominateur d une fraction sont des nombres entiers), on peut les multiplier par 10, 100, 1000,... pour rendre a b entiers donc a b comme fraction. Exemples ,8 = ,8 10 = ,65 0,05 = 0, , = puis simplification de la fraction à faire. Comparer des fractions Activité B. Comparaison des fractions A - Comparaison de fractions avec le nombre 1 À l issue d un tournoi de beach-volley, cinq équipes se rrouvent ex aequo, mais le réglement précise : «Lorsque les équipes ont le même nombre de points, pour les départager, on calcule le quotient des ss gagnés sur les ss perdus : le plus fort quotient obtient le meilleur classement. équipes points ss gagnés ss perdus France États-Unis Mexique Cuba Brésil À l aide d une calculatrice, établir un classement des cinq équipes. 2. Quels sont les quotients supérieurs à 1? inférieurs à 1?. Dégagez une règle qui perm de comparer une fraction avec le nombre B - Comparaison de fractions n ayant pas le même dénominateur Reproduire trois fois la grille ci-contre. Appeler A la première grille, B la deuxième C la troisième. Colorier de la grille A ; 12 de la grille B ; 2 de la grille C. Quelle est la grille dont la surface coloriée est la plus grande? 2. Anne nous dit : «On pouvait connaître à l avance la grille la plus coloriée. Il suffisait de transformer les deux première fractions en mtant 2 au dénominateur». Mtre les fractions de la surface coloriée sous le même dénominateur (aide : les dénominateurs sont multiples l un de l autre) écrire une règle pour comparer deux fractions qui n ont pas le même dénominateur. 2.. COMPARER DES FRACTIONS 21

6 1 Comparaison une fraction au nombre 1 Propriété 2.18 Si a > b b = 0 alors a b > 1 Si a < b b = 0 alors a b < 1 Remarque Si le numérateur le dénominateur d un nombre en écriture fractionnaire sont égaux alors ce nombre est égal à Exemples > 1 ; < 1 ; c = 2 Comparaison de deux fractions Propriété 2.21 Comparaison de fractions ayant meme dénominateur Deux fraction ayant le même dénominateur sont rangés dans l ordre de leurs numérateurs. Si a < b c = 0, alors a c < b c. Exemples < ; 5 > 2 5. Méthode 2.2 Comparer deux fractions On commence par les réduire au même dénominateur. 2. On applique la règle de comparaison de fractions ayant même dénominateur.. Comme les fractions initiales réduites au même dénominateurs sont des fractions équivalentes, on en déduit la comparaison des deux fractions initiales. Exemple 2.2. On veut comparer les fractions On réduit les deux fractions au même dénomiateur : 1 = = On applique la règle de comparaison de fractions ayant même dénominateur. Comme 2 > 1, on a : 2 6 > On en déduit alors la comparaison initiale : 1 > 1 6. Remarque Quand on ne peut pas réduire (facilement) les deux fractions au même dénominateur que leur numérateur sont les mêmes, on peut appliquer la règle suivante. Propriété 2.26 Comparaison de deux fractions ayant même numérateur Deux fractions ayant le même numérateur sont rangés dans l ordre inverse de leurs dénominateurs. Si a < b a = 0 b = 0 alors c b < c a. Exemple Comme 12 > 125, on a : 7 12 > CHAPITRE 2. LES FRACTIONS : COMPARAISON ET SIMPLIFICATION

7 Exercices problèmes Quotient proportion 1 Donner l écriture décimale de chacun des nombres suivants : 1 8 ; 2. ;. 7,8 5 ; Pour chaque égalité, déterminer le nombre manquant. 9? = ; 2.? = 2 ;. 21? = 7 ;. 8? = 56 ; 5. 11? = 66 ; 6.? 15 = 5. Football Le club de football de Roubaix a un effectif de plus de 150 joueurs. Jacinthe (16 ans) John (1 ans) Jacques (1 ans) Jason (11 ans) Jérémy (8 ans) Dans cte famille, quelle est la proportion de : filles? 2. garçons?. personnes majeures? (on est majeur à partir de 18 ans). filles majeurs? 5. garçons mineurs? Multiples diviseurs 5 On considère les nombres : 65, 890, Lesquels sont divisibles par : 2? 2.?.?. 5? 5. 9? 6 Déterminer tous les diviseurs du nombre 12. Propriété des quotients Les joueurs se repartissent ainsi : 1 joueur sur 10 est gardien de but ; 2 joueurs sur 10 sont défenseurs ; joueurs sur 10 sont milieux de terrain ; les autres joueurs sont attaquants. Tracer un rectangle de 10 cm de longueur cm de largeur. 2. Colorier la surface de ce rectangle pour représenter : en orange, la proportion des gardiens de but ; en bleu, la proportion de défenseurs ; en jaune, la proportion de milieux de terrain ; en vert, la proportion d attaquants.. Quelle est la proportion d attaquants dans ce club de football? La famille Quedéji La famille Quedéji est constituée de huit personnes : Joste (8 ans) José (7 ans) Josiane (22 ans) 7 Recopier compléter les égalités : 7 =? =? 5. 5 = 16? = 2? Simplification des fractions = 55? =? 6 8 Simplifier au maximum les fractions suivantes : Simplifier au maximum les fractions suivantes : Défi Simplifier la fraction EXERCICES ET PROBLÈMES 2

8 11 Comparer des fractions Recopier cte liste de quotients 1,09 1,1,02,002 c. d. 2,1,1 7,80 7,8 e. f. 2. Entourer, en bleu, ceux qui sont inférieurs à 1, en vert, ceux qui sont supérieurs à. Que peut-on dire du quotient qui n est pas entouré. 12 Comparer Justifier la réponse. 1 Comparer les fractions suivantes : Réduire au même dénominateur les fractions : 11 5, Comparer les fractions 11 5, Approfondissements 15 Rangement dans l ordre croissant Ranger dans l ordre croissant les fractions suivantes : 16 Les trois seaux ; 1 1 ; 1 ; 15 1 ; Le seau A a une contenance de trente-deux tiers de litres. Le seau B a une contenance de soixante-cinq sixième de litres. Le seau C a une contenance de cent-vingt-cinq douzièmes de litres. Ranger les trois seaux du plus pit au plus grand. 17 Le bon entier Trouver le nombre entier qui convient (le même nombre dans les trois cases). 18 La meilleur 5 e 6 < 5 <. En 5 e -1, 15 élèves sur 25 ont obtenu la moyenne. En 5 e -2, trois-quarts des élèves ont obtenu la moyenne. En 5 e -, 70% des élèvs ont obtenu la moyenne. Quelle est la meilleure classe? 19 Défi Comparer les deux fractions suivantes (sans calculatrice) : Jouer avec les fractions! 20 Ce jeu se joue à deux joueurs avec deux dés. Dans un premier temps, les deux joueurs lancent chacun son tour les dés. Celui qui commence est celui qui a obtenu le plus de points en additionnant les nombres apparaissant sur les deux faces. 2. Le premier joueur lance les deux dés. Il choisit le numérateur de sa première fraction à partir d une face d un des deux dés, le dénominateur sera le nombre apparaissant sur la face de l autre dé. Il inscrit sa fraction sur une feuille.. Le deuxième joueur lance les deux dés fait comme le premier joueur.. Le premier joueur lance les deux dés à nouveau choisit une fraction construite à partir des deux dés. Il peut inscrire la fraction sur la feuille si elle est plus grande que la précédente. 5. Ainsi de suite Le premier qui écrit 5 fractions sur sa feuille est le gagnant de la partie. Par contre, celui qui ne peut obtenir la fraction 6 1 (la plus grande d entre toutes fabriqués avec un dé) perd automatiquement la partie. 2 CHAPITRE 2. LES FRACTIONS : COMPARAISON ET SIMPLIFICATION