Suites numériques. Table des matières

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1 1 Suites numériques Table des matières 1 Suite numérique 1.1 Définition Définir une suite De façon explicite Par récurrence Variation d une suite Suite arithmétique 5.1 Définition Comment reconnaît-on une suite arithmétique? Expression du terme général en fonction de n Somme des premiers termes d une suite arithmétique Somme des n premiers naturels Somme des n+1 premiers termes Somme des n-p+1 premiers termes Conclusion Suite géométrique Définition Comment reconnaît-on une suite géométrique? Expression du terme général en fonction de n Somme des premiers termes d une suite géométrique Somme des n+1 premières puissances de q Somme des n+1 premiers termes Somme des n-p+1 premiers termes Conclusion Suite arithmético-géométrique Convergence d une suite Définition Théorèmes sur les limites Théorème des gendarmes Limite d une suite géométrique Notion de limite infinie Convergence d une suite géoùétrique Limite de la somme des termes

2 1 SUITE NUMÉRIQUE 1 Suite numérique 1.1 Définition Définition 1 : Une suite numérique (u n ) n N est une succession de nombres réels ordonnés. A un rang donné n, on associe un nombre réel u n. (u n ) : N R n u n u n est appelé le terme général de la suite (u n ). Exemple : Soit la suite (u n ) dont les premiers termes sont : 1, 4, 7, 11, 15, 19,... On peut alors associer : u 0 = 1, u 1 = 4, u = 7, u 3 = 11, u 4 = 15, u 5 = 19, Définir une suite 1..1 De façon explicite Définition : Une suite (u n ) est définie de façon explicite si le terme général u n s exprime en fonction de n. u n = f (n) n N Exemples : Soit la suite (u n ) telle que : u n = 3n + 5. Par exemple : u 10 = = 35 Soit la suite (v n ) telle que : v n = n 1. Par exemple : n + 1 v 5 = = 9 6 = 3

3 1.3 VARIATION D UNE SUITE Par récurrence Définition 3 : Lorsque le terme général u n dépend du ou des terme(s) précédent(s), on définit alors la suite par une relation de récurrence et d un ou des premier(s) terme(s). La suite est dite récurrente à un terme si u n ne dépend que du terme précédent. Cette suite est alors définie par : u 0 et u n+1 = f (u n ) La suite est dite récurrente à deux termes si u n dépend des deux termes qui le précèdent. Cette suite est alors définie par : u 0, u 1 et u n+ = f (u n, u n+1 ) La fonction f ainsi définie s appelle la fonction associée à la suite (u n ) Exemples : On donne la suite (u n ) définie par : u 0 = et u n+1 = 3u n. Déterminer u 1, u, u 3, u 4. u 1 = 3u 0 = 3 = 4 u = 3u 1 = 3 4 = 10 u 3 = 3u = 3 10 = 8 u 4 = 3u 3 = 3 8 = 8 On donne la suite (v n ) définie par : v 0 =, v 1 = 1 et v n+ = v n+1 + v n. Déterminer v, v 3, v 4, v 5. v = v 1 + v 0 = 1 + = 3 v 3 = v + v 1 = = 4 v 4 = v 3 + v = = 7 v 5 = v 4 + v 3 = = Variation d une suite Définition 4 : On dit qu une suite est strictement croissante si : n N, u n+1 > u n On dit qu une suite est strictement décroissante si : n N, u n+1 < u n Si une suite est soit croissante, soit décroissante, la suite est dite monotone.

4 4 1 SUITE NUMÉRIQUE Dans la pratique pour déterminer la variation d une suite, on déterminera le signe de u n+1 u n. Si cette différence est positive, pour tout n, la suite sera croissante. Si la différence est négative pour tout n, la suite sera décroissante. Lorsque tous les termes de la suite sont positifs, on peut aussi calculer le rapport u n+1 u n. Si ce rapport est supérieur à 1 pour tout n, la suite sera croissante. Si le rapport est inférieur à 1 pour tout n, la suite sera décroissante. Exemples : Montrer que la suite définie par : u n = 3n est croissante. n + 1 Calculons alors : u n+1 u n = 3(n + 1) (n + 1) + 1 3n n + 1 = 3n + 1 n + 3n n + 1 = (3n + 1)(n + 1) (3n )(n + ) (n + )(n + 1) = 3n + 3n + n + 1 3n 6n + n + 4 (n + )(n + 1) = 5 (n + )(n + 1) Comme n N 5 (n + )(n + 1) > 0, la suite (u n) est croissante. Montrer que la suite définie par : v n = 3n est décroissante. 3n Tous les termes de la suite sont positifs, calculons alors : v n+1 v n = 3(n+1) 3 (n+1) 3n 3 n = 3n+3 3n 3n+ 3n = 3 3n 3n 3 3n 3n = 3 3 = 8 9

5 5 Comme n N 8 9 < 1, la suite (v n) est décroissante. Suite arithmétique.1 Définition Définition 5 : Une suite arithmétique (u n ) est définie par : un premier terme u 0 ou u p une relation de récurrence : u n+1 = u n + r r étant la raison de la suite Une suite arithmétique est donc définie par termes : son premier terme et sa raison. Exemple : Soit la suite (u n ) définie par u 0 = et r = 5. Déterminer u 1, u, u 3, u 4. u 1 = u 0 + r = + 5 = 7 u = u 1 + r = = 1 u 3 = u + r = = 17 u 4 = u 3 + r = =. Comment reconnaît-on une suite arithmétique? Propriété 1 : Une suite est arithmérique lorsque la différence entre deux termes consécutifs est constante. On a alors : n N, u n+1 u n = r Exemple : Montrer que la suite définie par : u n = n + 3 est arithmétique. On calcule la différence entre deux termes consécutifs quelconques : u n+1 u n = (n + 1) + 3 (n + 3) = n n 3 = Donc n N, u n+1 u n =. La suite (u n ) est une suite arithmétique de raison et de premier terme u 0 = 3.

6 6 SUITE ARITHMÉTIQUE.3 Expression du terme général en fonction de n 1) La suite commence à u 0. On peut écrire les égalités suivantes à l aide de la relation de récurrence : + u 1 = u 0 + r u = u 1 + r u 3 = u + r. u n 1 = u n + r u n = u n 1 + r n termes u n = u 0 + n r Lorsque l on additionne les n égalités les termes u 1, u, u 3,..., u n 1 s éliminent. Il ne reste plus que le premier terme u 0 et le dernier u n. ) La suite commence à u p. On écrit les relations de u p+1 à u n. On obtient alors n p termes, d où la relation : u n = u p + (n p) r Conclusion : Propriété : Le terme général u n d une suite arithmétique s exprime en fonction de n de la façon suivante : Si le premier terme est u 0, alors : u n = u 0 + n r Si le premier terme est u p, alors : u n = u p + (n p) r Application : Soit une suite (u n ) arithmétique de raison r. On donne : u 17 = 4 et u 40 = 70. Trouver la raison r et le premier terme u 0. 1) On exprime u 40 en fonction de u 17, on a alors : ) On peut alors trouver u 0. u 40 = u 17 + (40 17) r 3r = u 40 u r = = 3 u 17 = u r u 0 = u u 0 = 4 34 = 10

7 .4 SOMME DES PREMIERS TERMES D UNE SUITE ARITHMÉTIQUE 7.4 Somme des premiers termes d une suite arithmétique.4.1 Somme des n premiers naturels Carl-Friedrich Gauss était un élève très doué en mathématiques qui s ennuyait un peu au cours de mathématiques en première année scolaire. Un jour, lorsqu il dérangeait trop le cours, le maître lui donna comme punition de calculer la somme des 100 premiers nombres. Gauss y réfléchit un court instant et répondit Le maître le regardait tout étonné, se mit à vérifier le calcul et resta bouche bée. "Mais comment as-tu fait pour trouver ce résultat aussi vite?" lui demanda-t-il après un moment. En effet comment a-t-il fait pour trouver ce résultat si vite. Evidemment il y a une astuce. Elle consiste à écrire la somme dans l ordre croissant puis dans l ordre décroissante et additionner les deux lignes. La plupart des termes s éliminent. Généralisons ce résultat en sommant les n premiers naturels. S n = (n 1) + n S n = n + (n 1) S n = (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) Comme il y a n termes, on peut donc écrire : S n = n (n + 1) S n = n (n + 1) Application : Retrouvons le résultat de Gauss pour les 100 premiers naturels. On a alors n = 100. On trouve alors : = Somme des n + 1 premiers termes = = 5050 Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0. Déterminons la somme des n + 1 premiers termes (de u 0 à u n ) de la suite. S n = u 0 + u 1 + u + + u n = u 0 + (u 0 + r) + (u 0 + r) + + (u 0 + n r) = (n + 1) u 0 + r ( n r) nous retrouvons la somme des n premiers naturels n (n + 1) = (n + 1) u 0 + r ( = (n + 1) u 0 + n r ) ( ) u0 + n r = (n + 1)

8 8 SUITE ARITHMÉTIQUE de u n = u 0 + n r, on en déduit que : u 0 + n r = u 0 + u n, donc ( ) u0 + u n = (n + 1).4.3 Somme des n p + 1 premiers termes Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u p. Nous laissons au lecteur le soin de la démonstration de la somme des n p + 1 premiers termes (de u p à u n ) de la suite..4.4 Conclusion S n = u p + u p+1 + u p+ + + u n ( ) up + u n S n = (n p + 1) Propriété 3 : Sur la somme des termes d une suite arithmétique, on peut retenir les résultats suivants : La somme des n premiers naturels vérifie : n = n (n + 1) La somme des n + 1 premiers termes d une suite arithmétique (u n ) de raison r et de premier terme u 0 vérifie : ( ) u0 + u n u 0 + u u n = (n + 1) La somme des n p + 1 d une suite arithmétique (u n ) de raison r et de premier terme u p vérifie : ( ) up + u n u p + u p u n = (n p + 1) D une façon générale, la somme S n des premiers termes d une suite arithmétique vérifie : ( ) Somme des termes extrèmes S n = Nbre de termes Application : 1) Calculer la somme des nombres impairs inférieurs à 100. Généraliser ce résultat avec la somme des nombres impairs inférieurs à n. ) (u n ) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 1. On note : S n = u 1 + u + + u n On donne u n = 14, r = 7 et S n = Déterminer n et u 1.

9 .4 SOMME DES PREMIERS TERMES D UNE SUITE ARITHMÉTIQUE 9 1) Il y a 50 nombres impairs inférieurs à 100. Le premier terme est 1 et le dernier 99, donc : ( ) = 50 = 50 = 500 Généralisons ce résultat. Il y a n nombres impairs inférieurs à n. Le premier terme est 1 et le dernier n 1 [ ] 1 + (n 1) (n 1) = n ( ) n = n = n La somme des n premiers nombres impairs est égal à n. ) Déterminons le premier terme u 1 en fonction de u n. On a alors : u n = u 1 + (n 1) r u 1 = u n (n 1) r u 1 = 14 7(n 1) u 1 = 1 7n S n = 1176 ( ) u1 + u n (n 1 + 1) = 1176 ( ) 1 7n + 14 n = 1176 n(35 7n) = 35 35n 7n + 35 = 0 7n + 35n + 35 = 0 On peut diviser par 7 l équation, on trouve alors : On calcule alors le discriminant : n + 5n = 0 = = = 1369 = 37

10 10 3 SUITE GÉOMÉTRIQUE On obtient alors les deux racines suivantes : n = = 16 non retenu car négative n 5 37 = = 1 Conclusion : n = 1 et u 1 = = 16 3 Suite géométrique 3.1 Définition Définition 6 : Une suite géométrique (u n ) est définie par : un premier terme u 0 ou u p une relation de récurrence : u n+1 = q u n q étant la raison de la suite Une suite géométrique est donc définie par termes : son premier terme et sa raison. Exemple : Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 3 et q =. Déterminer u 1, u, u 3, u 4. u 1 = q u 0 = 3 = 6 u = q u 1 = 6 = 1 u 3 = q u = 1 = 4 u 4 = q u 3 = 4 = Comment reconnaît-on une suite géométrique? Propriété 4 : Une suite est géométrique lorsque le rapport entre deux termes consécutifs est constant. On a alors : n N, u n+1 u n = q Exemple : Montrer que la suite définie par : u n = 5 n+3 est géométrique. On calcule le rapport entre deux termes consécutifs quelconques : u n+1 u n = 5n n+3 = 5 n+1+3 n 3 = 5

11 3.3 EXPRESSION DU TERME GÉNÉRAL EN FONCTION DE N 11 Donc n N, u n+1 u n = 5. La suite (u n ) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme u 0 = 5 3 = Expression du terme général en fonction de n 1) La suite commence à u 0. Pour obtenir le terme suivant, en fonction du précédent, on multiplie par q. Pour obtenir u n on a multiplié n fois par q à partir de u 0. On a donc : ) La suite commence à u p. u n = q n u 0 De u p à u n, on a multiplié n p fois par q, donc : Conclusion : Propriété 5 : fonction de n de la façon suivante : u n = q n p u p Le terme général u n d une suite géométrique s exprime en Si le premier terme est u 0, alors : u n = q n u 0 Si le premier terme est u p, alors : u n = q n p u p Application : Soit une suite (u n ) géométrique de raison q. On donne : u 7 = et u 5 = 486. Trouver la raison q et le premier terme u 0 et u 10 sachant que la raison est positive. 1) On exprime u 5 en fonction de u 7, on a alors : u 7 = q 7 5 u 5 q = u 7 u 5 q = = 9 On obtient les deux solutions : q = 3 ou q = 3. Comme la raison est positive, q = 3. ) On peut alors trouver u 0. u 5 = q 5 u 0 u 0 = u 5 q 5 u 0 = =

12 1 3 SUITE GÉOMÉTRIQUE 3) On peut trouver aussi u 10 u 10 = q 10 7 u 7 u 10 = u 10 = = Somme des premiers termes d une suite géométrique Somme des n + 1 premières puissances de q Soit donc la somme : S n = 1 + q + q + + q n 1 + q n En soustrayant les deux lignes suivantes, on obtient : On obtient alors : S n = 1 + q + q + + q n 1 + q n q S n = q + q + + q n 1 + q n + q n+1 S n q S n = 1 q n+1 S n = 1 qn+1 1 q Application : La légende raconte qu un roi de Perse voulu récompenser l inventeur du jeu d échecs. Après avoir réfléchi, ce dernier lui proposa " Vous déposerez un grain de riz sur la première case, puis deux sur la deuxième, puis quatre sur la troisième, vous doublez ainsi le nombre de grains en passant d une case à l autre jusqu à la 64ème et je vous prends tous les grains ". " Ce n est pas une grosse récompense " lui répondit le roi. Qu en pensez-vous? Quelle masse de blé cela représente-t-il? On pourra considérer que La masse d un grain de riz est de 40 mg environ et la production mondiale annuelle en 006 était de 580 millions de tonnes. Le nombre de grains de riz sur n e case de l échiquier correspond à une suite géométrique de raison q = et de premier terme u 1 = 1. Si on veut connaître le nombre de grains de riz sur l échiquier, il suffit de calculer : On obtient alors : Comme , on a alors = = 4 ( 10 ) 6 16 (10 3 ) Si la masse d un grain de riz est de 40 mg, la masse de riz en mg est d environ : = = 6, mg

13 3.4 SOMME DES PREMIERS TERMES D UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE 13 Si on convertit cette masse en tonne : 1 T = 10 3 kg = g = mg = 10 9 mg On obtient alors : 6, mg = 6, T = 640 milliards de tonnes! 3.4. Somme des n + 1 premiers termes Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 1. Déterminons la somme des n + 1 premiers termes (de u 0 à u n ) de la suite. S n = u 0 + u 1 + u + + u n = u 0 + (q u 0 ) + (q u 0 ) + + (q n u 0 ) = u 0 (1 + q + q + + q n ) Nous retrouvons la somme des n + 1 premières puissances de q = u 0 1 qn+1 1 q Somme des n p + 1 premiers termes Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u p. Nous laissons au lecteur le soin de la démonstration de la somme des n p + 1 premiers termes (de u p à u n ) de la suite. S n = u p + u p+1 + u p+ + + u n S n = u p 1 qn p+1 1 q

14 14 3 SUITE GÉOMÉTRIQUE Conclusion Propriété 6 : Sur la somme des termes d une suite géométrique, on peut retenir les résultats suivants : La somme des n + 1 premières puissances de q vérifie : 1 + q + q + + q n = 1 qn+1 1 q La somme des n + 1 premiers termes d une suite géométrique (u n ) de raison q et de premier terme u 0 vérifie : u 0 + u u n = u o 1 qn+1 1 q La somme des n p + 1 premiers termes d une suite géométrique (u n ) de raison q et de premiers termes u p vérifie : u p + u p u n = u p 1 qn p+1 1 q D une façon générale, la somme S n des premiers termes d une suite géométrique vérifie : 1 qnombre de termes S n = premier terme 1 q 3.5 Suite arithmético-géométrique Une suite arithmético-géométrique (u 1 ) est une suite définie par : Un premier terme u 0 la relation de récurrence u n+1 = au n + b Pour trouver le terme général, on introduit une suite auxiliaire qui est géométrique. Exemple : Soit une suite (u n ) définie par : u 0 = u n+1 = u n + 5 On pose la suite (v n ) telle que v n = u n + 5 1) Montrer que la suite (v n ) est géométrique Il faut donc montrer que n v n+1 = qv n v n+1 = u n = u n = (u n + 5) = v n

15 15 Donc : n v n+1 = v n. La suite (v n ) est donc une suite géométrique de raison q = et de premier terme v 0 = u = 7 ) Exprimer v n puis u n en fonction de n Comme (v n ) est une suite géométrique, on a : v n = v 0 q n = 7 n Comme v n = u n + 5, on a donc : u n = v n 5 = 7 n 5 4 Convergence d une suite 4.1 Définition Définition 7 : On dit qu un réel l est la limite d une suite (u n ) si tout intervalle ouvert de centre l contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On dit alors que la suite converge vers l. On écrit alors : lim u n = l Cela veut dire, que quelque soit ɛ, l intervalle ]l ɛ, l + ɛ[ contient tous les termes de la suite à part un nombre fini de termes. On peut formaliser ce résultat par l implication suivante : (non au programme) ɛ > 0, N N, n > N u n l < ɛ Exemple : La suite (u n ) telle que u n = 1 converge vers 0. On a donc : n lim u n = 0 Remarque : Une suite peut avoir comme limite + ou. On dit alors qu elle diverge vers + ou. Soit la suite (u n ) telle que u n = n + 1. On a alors : lim u n = + Un suite peut ne pas avoir de limite. On dit qu elle diverge tout simplement. Soit la suite (u n ) telle que u n = ( 1) n. Les termes de la suite sont alternativement 1 et 1. lim u n n existe pas 4. Théorèmes sur les limites Théorème 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a; + [, avec a 0. Soit (u n ) une suite définie par u n = f (n) avec n a. Si la fonction f a pour limite l en +, alors la suite (u n ) converge vers l.

16 16 4 CONVERGENCE D UNE SUITE Remarque : Ce théorème montre que si f (x) tend vers l pour des valeurs réelles x de plus en plus grandes alors pour les valeurs entières n de plus en plus grandes les valeurs de u n s accumule vers l. Par exemple sur la figure ci-dessous. La réciproque de ce théorème est fausse. En effet, on peut avoir une limite finie sur N et ne pas avoir de limite finie sur R, comme le montre cet exemple :

17 4.3 THÉORÈME DES GENDARMES 17 Application : Soit un réel non nul a et un naturel non nul p. Les fonctions de référence de la forme f (x) = a a xp et g(x) = ont une limite nulle en +, donc x les suites (u n ) et (v n ) définies par u n = a n p et v n = a convergent vers 0. (n) Théorème : On retrouve les mêmes opérations avec les limites pour les suites qu avec les fonctions, c est à dire que la limite de la somme, du produit ou du quotient est la somme, le produit ou du quotient des limites. Si lim u n = a et lim v n = b, alors : lim (u n + v n ) = a + b lim u n v n = ab lim u n = a avec b = 0 v n b 4.3 Théorème des gendarmes Théorème 3 : Soit trois suites (u n ), (v n ) et (w n ). Si pour tout naturel n, on a : v n u n w n et si les suites (v n ) et (w n ) convergent vers la même limite l, alors la suite (u n ) converge vers l. Exemple : Soit la suite (u n ) définie par : u n = sin n n convergence de la suite. avec n > 0. Etude de la 1 sin n 1 1 n sin n 1 n n Comme les suites 1 n et 1 convergent vers 0, alors d après le théorème des n gendarmes la suite (u n ) converge vers 0.

18 18 4 CONVERGENCE D UNE SUITE 4.4 Limite d une suite géométrique Notion de limite infinie Définition 8 : On dit qu une suite (u n ) diverge vers + si pour tout réel M, aussi grand soit-il, il existe un rang N au delà duquel u n > M. On écrit alors : lim u n = + On dit qu une suite (u n ) diverge vers si pour tout réel m, aussi grand négatif soit-il, il existe un rang N au delà duquel u n < m. On écrit alors : lim u n = Exemple : Les suites définies par u n = n et v n = n divergent respectivement vers + et Convergence d une suite géoùétrique (u n ) est une suite géométrique de raison q. Comme l expression du terme général est de la forme : u n = u 0 q n, la convergence de la suite ne dépend que de la convergence de q n. On admettra le théorème suivant : Théorème 4 : Soit une suite géométrique de raison q. Si 1 < q < 1 alors la suite converge vers 0. On a Si q = 1 la suite est constante et lim qn = 1 lim qn = 0 Si q > 1 la suite diverge vers + ou suivant le signe du premier terme. On a alors : lim qn = + Si q 1 la suite diverge et lim qn n existe pas. Exemple : La suite géométrique de terme u n = 3 ( ) 1 n converge vers 0 car 1 < 1 < 1. Par contre la suite géométrique de premier terme et de raison 1, 5 diverge vers + car 1, 5 > Limite de la somme des termes (u n ) est la suite géométrique de premier terme u 0 = 3 et de raison 3. On note 4 s n la somme des n + 1 premiers termes : s n = u 0 + u 1 + u + + u n. 1) Exprimer s n en fonction de n. ) Calculer lim s n.

19 4.4 LIMITE D UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE 19 1) D après la formule de la somme des termes d une suite géométrique, on a : ( ) 3 n+1 1 [ 4 s n = = ( ) ] 3 n+1 4 ) Puisque 1 < 3 4 < 1 on a : lim ( ) 3 n = 0 on peut donc conclure que : 4 lim s n = 1

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