Version du 15 août 2016 (11h16)

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1 CHAPTRE. CARACTÉRSTQUES GÉOMÉTRQUES DES SECTONS PLANES ntroducton Moment statque et centre de gravté Défnton du moment statque Défnton et recherche du centre de gravté A) Attracton unverselle (Newton) B) Prncpe de détermnaton de G C) Détermnaton expérmentale de G D) Smplfcatons (s corps homogène) Les théorèmes de Guldn A) Premer théorème de Guldn (théorème des surfaces) B) Deuxème théorème de Guldn (théorème des volumes) Moment d nerte Défnton Cas partculer : les systèmes plans Théorème de Köng-Huyghens (changement d axe) Moments résstants Rayon de graton Verson du 15 août 016 (11h16)

2 CHAPTRE. CARACTÉRSTQUES GÉOMÉTRQUES DES SECTONS PLANES.1. ntroducton La résstance qu une barre offre à dfférentes formes de déformatons dépend souvent non seulement du matérau dont l est fat et de ses dmensons, mas auss de la confguraton de son axe, de la forme des sectons transversales ans que de leur dsposton par rapport aux charges de sollctatons. Examnons les caractérstques géométrques prncpales des sectons transversales d une barre en fasant abstracton des proprétés physques de celle-c. Ces caractérstques sont : are des sectons transversales, moment statque, moment d nerte, moment résstant, rayon de graton. Dans la sute de ce chaptre nous développerons les notons de : moment d nerte, moment statque, moment résstant et de rayon de graton... Moment statque et centre de gravté..1. Défnton du moment statque Une premère noton que nous utlserons en résstance des matéraux est la noton de Moment statque noté S. Nous le défnrons unquement dans le cas des surfaces. Défnton : Le moment statque d une secton est la somme des produts de surfaces élémentares de cette secton par la dstance d à un élément de référence r qu peut être un pont, une drote ou un plan. S A d r A' d' A'' d''... ou : S A d n r t 1 (éq...) L unté du moment statque, pour une surface, est la longueur à la pussance tros (m 3 ). Ce qu se passe, c est qu en résstance des matéraux, l élément de référence pour calculer les moments statques est en général un axe. Et en pratque, on utlsera surtout ces moments statques par rapport aux axes de références qu se noteront : S x et S y. Dès lors (éq...) devent : S S n A y x 1 n A x y 1 (éq..3.) Conclusons : le moment statque par rapport à un axe passant par le centre géométrque est nul; le moment statque d une surface d are A est égal au produt de l are A par la dstance de son centre de gravté à l axe; R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page -.1 -

3 ... Défnton et recherche du centre de gravté A) Attracton unverselle (Newton) Newton a montré, que deux corps (fg..1.a), de masses (quanttés de matère) M et m et qu sont séparés d une dstance d, s attrent avec une force f proportonnelle au produt des masses; nversement, proportonnelle au carré de leur dstance. f k M m (éq...) d k étant la constante de gravtaton unverselle. Cas partculer : la Terre (fg..1.b), attre les corps avec une force f partculère qu on appelle pods et qu est représentée par la lettre p. Les caractérstques du vecteur pods sont : fg Attracton unverselle. drecton : vertcale; sens : de haut en bas; ntensté : Pods k M m d varable suvant la lattude et l alttude, pont d applcaton : G, appelé centre de gravté. Défnton : le centre de gravté d un corps est le pont d applcaton de la force pesanteur (pods). B) Prncpe de détermnaton de G Consdérons un corps C dans une poston A et, par la pensée, décomposons-le en petts éléments dont les pods p, p, p... sont connus. Ces forces p, p, p... sont des forces parallèles et de même sens. l nous est possble de rechercher la résultante : P p qu aura la drecton xx mas dont on gnore le pont d applcaton. Consdérons le même corps C dans une poston B dfférente de la poston A, mas toujours décomposé, par la pensée, en petts éléments dont les pods sont p, p, p... fg... - Détermnaton de G l nous est possble de rechercher la résultante : P p mas qu aura cette fos la drecton yy. L ntersecton de xx et de yy donnera le pont d applcaton de la résultante qu est le centre de gravté G cherché. R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page -. -

4 C) Détermnaton expérmentale de G On peut détermner G expérmentalement en suspendant le corps tantôt par un pont tantôt par un autre et en recherchant l ntersecton des deux vertcales V. Deux suspensons suffsent. Une autre méthode expérmentale consste à poser le corps en équlbre sur une arête vve horzontale. G se trouve dans le plan vertcal π qu content l arête. Tros poses sont nécessares et G est à l ntersecton des tros plans. D) Smplfcatons (s corps homogène) (mportant!) Quand le corps possède un plan damétral le centre de gravté G est dans ce plan. (En partculer quand le corps possède un plan de symétre : G est dans ce plan.); Quand un corps possède une lgne damétrale (ou damètre) : G est sur ce damètre (En partculer, quand le corps possède un axe de symétre : G est sur cet axe.); Quand un corps possède un centre de symétre, ce pont est le centre de gravté G. E) Détermnaton analytque de G fg Symétre. Décomposons le corps en petts éléments dont les pods p, p, p... sont connus. Comme ces forces sont parallèles, on sat que la résultante : P p. Recherchons la poston de P et pour ce fare, applquons le théorème de Vargnon de la façon suvante : Chosssons un plan xx quelconque; mesurons les dstances x, x, x,... des efforts p, p, p au plan xx; d après Vargnon, on peut écrre : fg... - Détermnaton de G. P X p x p' x' p'' x''... p x p' x' p'' x''... D où : X P G se trouve dans le plan α (1 er leu). p x P On changera le corps de poston et on consdérera un plan yy. leu). En répétant l opératon smlare, on trouvera la poston du plan β dans lequel se trouvera G ( ème On changera encore une fos le corps de poston et on trouvera que G devra se trouver dans le plan γ (3 ème leu). R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page -.3 -

5 L ntersecton des tros plans donnera G. Des smplfcatons apparaîtront quand : les volumes seront plus régulers; on aura affare aux surfaces; on aura affare aux lgnes. Applcaton.1. Calculer la poston du centre de gravté de la fgure c-contre. Soluton : Axe de symétre Le centre de gravté G se trouve sur l axe de symétre y. Pour trouver y G, prenons comme référence l axe Ox passant par la base du U. Décomposons en rectangles. Sot : A 1 le grand rectangle (100 x 0) A le pett rectangle (80 x 00) A y yg A fg Applcaton mm R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page -. -

6 ..3. Les théorèmes de Guldn l exste deux théorèmes de Guldn, l un qu s occupe des surfaces et l autre qu s occupe des volumes. La démonstraton de ces théorèmes ressort du domane de la géométre dans l espace et ne sera pas abordée c. A) Premer théorème de Guldn (théorème des surfaces) Défnton : La surface engendrée A l par la révoluton complète, autour d un axe xx, d une lgne l stuée dans le même plan que xx et ne le traversant pas, est égale au produt de la longueur de la lgne par la longueur de la crconférence décrte par le centre de gravté. Guldn a montrer que : Al OG l (éq..1.) fg Guldn. Notatons : la l longueur de la lgne la surface de révoluton m m OG OG dstance entre le centre de rotaton et le centre de gravté de la lgne représentant la longueur de la crconférence décrte par G, centre de masse de la courbe l (le centre de gravté G ne ce trouvant pas nécessarement sur la courbe l) m m Applcaton.. Recherchez la surface latérale d un tore (surface d une chambre à ar) dont on connaît : le rayon de la crconférence r 010. m et le rayon d enroulement R 0. 5 m. Soluton : Applquons Guldn A OG l l R r R r m fg Applcaton.. R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page -.5 -

7 B) Deuxème théorème de Guldn (théorème des volumes) Défnton : Le volume engendré V A par la révoluton complète, autour d un axe xx, d une surface A stuée dans le même plan que xx et ne le traversant pas, est égale au produt de la surface de la lgne par la longueur de la crconférence décrte par le centre de gravté. Guldn (1) a monter que : V A OG A (éq..16.) Notatons : A VA fg Guldn. surface le volume de révoluton m m 3 OG OG dstance entre le centre de rotaton et le centre de gravté de la surface représentant la longueur de la crconférence décrte par G, centre de masse de la surface A (le centre de gravté G ne ce trouvant pas nécessarement sur la surface A) m m Applcaton.3. Recherchez le centre de gravté d un dem cercle de rayon r 0. 7 m. Soluton : Applquons Guldn V A V A OG A OG A fg Applcaton.3. Avec : volume d une sphère : V A r 3 Surface d un ½ dsque : A 1 r 3 3 r 3 OG 1 r r 0. 7 OG x m 3 3 (1) Guldn, Paul (Guldn Habakuk), (1577 [Mels] [Graz] : jésute susse, astronome et mathématcen. R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page -.6 -

8 .3. Moment d nerte.3.1. Défnton Défnton : Nous défnrons le moment d nerte d un corps comme étant la somme des produts de masses élémentares de ce corps par le produt du carré de leur dstance d à un élément de référence r qu peut être un pont, une drote ou un plan. n r 1 J m d m d m d ou r ' ' '' ''... J m d (éq...) L unté du moment d nerte (de masse) est une masse multplée par une dstance au carré (kgm ). Le moment d nerte caractérse ans grossèrement la dsperson des masses autour de l élément de référence : l est d autant plus grand qu l y a plus de masses élevées à grande dstance de l élément de référence..3.. Cas partculer : les systèmes plans Le cas des systèmes plans est partculèrement mportant en résstance des matéraux. On peut toujours réécrre la défnton du moment d nerte (éq...) de la manère suvante : n 1 r A l d (éq..5.) Notatons : ρ A l la masse volumque la secton la longueur de la secton kg/m 3 m m et on peut montrer que dans le cas d une surface plane, le moment d nerte, s la pèce est homogène, devent : n r A d 1 (éq..6.) car, de par les hypothèses de la résstance des matéraux, le matérau consdéré est homogène, sotrope et contnu et dès lors, pour une secton donnée, on peut oubler : l, et transformer ans la masse m en surface A. L unté du moment d nerte (de surface) est une surface m multplée par une dstance au carré (m) : ce qu donne une longueur exposant : m. Ce qu se passe, c est qu en pratque en résstance des matéraux, l élément de référence pour calculer les moments d nerte sont en général des axes. On peut par alleurs montrer qu l exste deux drectons (orthogonales entre elles) pour lesquelles le moment d nerte correspondant est un extremum local. S le pont d ntersecton des deux drectons se stue au centre de gravté G de la secton, ces deux drectons seront appelées : axes centraux prncpaux d nerte (A.C.P..), et les moments d nerte correspondant : moments d nerte R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page -.7 -

9 prncpaux. Remarque : S la secton possède un (ou pluseurs) axe(s) de symétre, celu-c (ceux-c) est (sont) nécessarement un (des) A.C.P.. fg ACP = Axe de symétre. Et en pratque, on utlsera surtout ces moments d nerte par rapport à ces A.C.P.. Axes qu se noteront : x et y. Dès lors (éq..5) devent : n x A y 1 n y A x 1 (éq..8.) Le moment d nerte partculer par rapport à O (appelé pôle), c est-à-dre, en fat, par rapport à un axe perpendculare à la surface et passant par l ntersecton des deux axes x et y (le pont O étant le centre de gravté G de la surface), s appelle : nerte polare O et vaut, dans le plan : O x y (éq..9.) Le calcul proprement dt de ces moments d nerte est relatvement complexe (on fat appel au calcul ntégral). C est pourquo, les moments d nerte les plus habtuels se trouvent déjà consgnés dans des tableaux. Cette noton de moment d nerte de surface est mportante car elle permettra de comparer la manère dont réagt une forme de secton par rapport à un autre, sous l nfluence de dverses charges extéreures. R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page -.8 -

10 .3.3. Théorème de Köng-Huyghens (changement d axe) Le théorème de Köng () -Huyghens (3) (auss appelé théorème du changement d axe) permet de calculer un moment d nerte par rapport à un axe parallèle à un axe passant par le centre de gravté de la surface et dont on connaît déjà le moment d nerte. l s énonce comme sut (fg..1.) : A d a x P (éq..30.) Notatons : x P a A d nerte par rapport à l axe passant par le centre de gravté G de la surface (connu) (Moment d nerte propre) nerte par rapport à un axe parallèle à Ox surface de la secton dstance séparant les deux axes m m m m fg Théorème du changement d axe. L applcaton du théorème d Huyghens est ntéressant afn de calculer l nerte d une surface complexe en la décomposant en éléments de base dont on connaît déjà l nerte par rapport à leur propre centre de gravté. Remarque : Pour la commodté des calculs, l est préférable de prendre le cm comme unté de longueur. Les moments d nerte sont reprs, pour chaque proflé standard, dans des catalogues appelés album de lamnors. Les prncpaux proflés standards sont : les PN, PE, UPN, HEB, HEA, HEM et les cornères. () Köng (Koeng), Samuel (171 [Büdngen] [Zulensten] : mathématcen allemand. (3) Huygens, Chrstaan (Huygens Chrstanus - Hugenus Chrstanus), (169 [La Haye] [La Haye]) : mathématcen, astronome et physcen néerlandas. R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page -.9 -

11 Applcaton.. Calculez le moment d nerte d un rectangle de base b et de hauteur h par rapport à un axe passant par sa base en connassant l nerte de ce rectangle par rapport à son centre de gravté. ( x P b h 3 1 ). Soluton : Applquons le théorème d Huyghens A d a x P b h h b h 1 b h fg Applcaton.. Applcaton.5. Calculez le moment d nerte de cette cornère à branche égale (L 50 x 50 x ) par rapport à un axe a passant par sa base. Soluton : Recherche des caractérstques du L 50 x 50 x dans le catalogue : 8 97 x. cm A 389. cm h b 50 mm x 136. G cm fg Applcaton.5. Applquons le théorème d Huyghens A d a x P cm R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page

12 Applcaton.6. Calculez le moment d nerte par rapport à l axe xx de la poutrelle composée llustrée c-contre. Soluton : Décomposton en 3 partes le plat supéreur le PN 0 le plat nféreur Recherche dans les catalogues des caractérstques géométrques de l PN 0 : axe fort 50 cm A 61. cm fg Applcaton.6. Recherche du moment d nerte Applcaton du théorème d Huyghens x P (cm ) A (cm ) d y (cm) A d (cm ) 1 b h b h y L nerte totale vaut : A d x tot x P y cm R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page

13 Applcaton.7. Détermner la poston du centre de gravté G et le moment d nerte correspondant à un axe horzontal passant par ce centre de gravté G, pour la poutre composée c-contre. Soluton : Décomposton en partes le PE 300 les L (70 x 50 x 6) le plat nféreur de 10 x 7 Les données du catalogue sont les suvantes : PE 300 (300 x 150 x 7.1 x 10.7) axe fort 8356 cm 60 axe fable cm A 538. cm L (70 x 50 x 6) 33 x P. cm 1 y P. cm A 6. 9 cm x 15. A cm y. 3 A cm fg Applcaton.7. Recherche du centre de gravté G Prenons comme référence pour calculer la poston du centre de gravté G, la base du plat. A (cm ) y (cm) S A y (cm 3 ) x = = = = Fnalement nous trouvons : A y yg cm A 8. 3 Remarque : Cela revent à dre que le centre de gravté G de la poutrelle composée, s on prend comme référence le centre de gravté du, descend de 0. mm. Autrement dt, le centre de gravté de la poutrelle et celu de la poutrelle composée se confondent. C est pourquo, dans la sute des calculs, la référence sera le centre G de la poutrelle. R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page -.1 -

14 Recherche du moment d nerte Applcaton du théorème d Huyghens x P (cm ) A (cm ) d y (cm) A d (cm ) = = b h y L nerte totale vaut : A d x Tot x P y cm Applcaton.8. Rechercher la poston du centre de gravté G de la poutre composée d un PE 00, d un UPN 10 et d un carré de 50. Rechercher ensute le moment d nerte maxmum par rapport à ce centre de gravté. Soluton : Décomposton en 3 partes le PE 00 le carré de 50 le UPN 10 Les données du catalogue sont les suvantes : PE 00 (00 x 100 x 5.6 x 8.5) axe fort 193 cm axe fable 1. cm A 85. cm UPN 10 (10 x 55 x 7 x 8.7) axe fort 36 cm axe fable 3. cm A cm Poston du centre de gravté par rapport à la base de la semelle : 1.61 cm fg Applcaton.8. Recherche du centre de gravté G Prenons comme référence pour calculer la poston du centre de gravté G, le centre de gravté du. R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page

15 A (cm ) d (cm) S A y (cm 3 ) x = = = y G A y cm A 705. Cela revent à dre que le centre de gravté G de la poutrelle composée, s on prend comme référence le centre de gravté du, monte de 16.3 mm. Recherche du moment d nerte Applcaton du théorème d Huyghens x P (cm ) A (cm ) d y (cm) A d (cm ) h = y L nerte totale vaut : A d x Tot x P y cm R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page -.1 -

16 Applcaton.9. Détermner la poston du centre de gravté G de la poutrelle composée c-contre et calculer les moments d nerte par rapport aux ACP. Soluton : Décomposton en 5 partes le plat de 360 x 10 les L (100 x 100 x 10) le plat de 800 x 10 les L (80 x 80 x 8) le UPN 300 Les données du catalogue sont les suvantes : UPN 300 (300 x 100 x 10 x 16) axe fort 8030 cm axe fable 95 cm fg Applcaton.9. A 588. cm Poston du centre de gravté par rapport à la base de la semelle :.70 cm L (80 x 80 x 8) 7. 5 cm axe fort axe fable A 1. 3 cm Poston du centre de gravté par rapport à la base de la semelle :.6 cm L (100 x 100 x 10) cm axe fort axe fable A 19. cm Poston du centre de gravté par rapport à la base de la semelle :.8 cm Recherche du centre de gravté G Prenons comme référence pour calculer la poston du centre de gravté G, la face nféreure du UPN. A (cm ) y (cm) S A y (cm 3 ) x = x = = = x 1.7 = = y G A y cm A R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page

17 La poston du centre de gravté ce stue à 1.5 cm en dessous du centre de gravté de l âme. Recherche des moments d nerte Applcaton du théorème d Huyghens x P (cm ) y P (cm ) d x (cm) d y (cm) A d x (cm ) A d y (cm ) b h b h = x = 353. x = = b h x 7.3 = 1.6 x 7.3 = = = L nerte totale vaut : A d x Tot x P y cm A d y Tot y P x cm Remarque : S on prend l nerte par rapport au centre de gravté du plat n 3 (de 800 x 10) on trouve l nerte suvant Ox égal à : x Tot 7697 cm, sot une erreur de : %! R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page

18 Applcaton.10. Un mat de montecharge est réalsé à l ade de montants ayant les caractérstques suvantes : proflés UPN 80 proflés L (50 x 50 x 5) Calculez la dstance d pour que, pour l ensemble,. x y Soluton : Décomposton en partes les UPN 80 les L (50 x 50 x 5) fg... - Applcaton.10. Les données du catalogue sont les suvantes : UPN 80 (80 x 5 x 6 x 8) axe fort 106 cm axe fable 19. cm A 11cm d x G 1. 5 mm L (50 x 50 x 5) 115. cm axe fort A. 75 cm d x G 1. 3 axe fable mm Recherche du centre de gravté G Exprmons la poston du centre de gravté (suvant y) par rapport à la base des L. A (cm ) y (cm) S A y (cm 3 ) x 1(UPN80) x 11.0 =.0 d d (L) x.75 = d y G A y A d d. 36 cm R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page

19 Recherche de l nerte suvant Oy : y y A d 1 fer " U" 1 fer " L" mm Recherche de l nerte suvant Ox (dépend de d et de d G!) : x x A d 1 fer " U" 1 fer " L". d.... d y mm Recherche de la dstance : D où : d d et donc : d 55. cm ou d cm (les U sont rejetés en dessous des L ) Remarque : d G d cm Applcaton.11. L arbre de machne c-contre est déforcé par une ranure de cale et par un trou de grassage axal. Calculer le moment d nerte polare o de la secton de damètre 8 mm plene et celu de la secton déforcée, en néglgeant le déplacement du centre de gravté. Soluton : Arbre plen : 0 d mm fg Applcaton.11. Trou de grassage : d mm Arbre avec ranure : 0 d a t d t mm 3 Arbre de machne : mm t arbre avec ranure 0 trou de grassage R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page

20 .. Moments résstants Défnton : On appelle module de résstance à la flexon W x le rapport entre le moment d nerte par rapport à un axe donné et la dstance de cet axe jusqu au pont le plus élogné de la secton transversale v. Sot : W x y x max x v (éq..103.) Le moment résstant a pour dmenson l unté de longueur prse au cube (m 3 ). Défnton : On appelle module de résstance polare W p le rapport entre le moment d nerte polare et la dstance du pôle jusqu au pont le plus élogné de la secton v. Sot : W 0 p (éq..10.) v (unté le m 3 ) Pour pôle O on prend le centre de gravté G de la secton transversale..5. Rayon de graton Par défnton le rayon de graton g r (par rapport à un axe de référence r) est : g r r (éq..105.) A (unté le m) l représente la dstance à l axe de référence r, d un pont où l on pourrat concentrer toute la surface pour obtenr le même moment d nerte r. En effet : A r g r (éq..106.) fg... - Ellpse d nerte. l sera surtout employé dans les calculs de résstance au flambage. On peut auss écrre le rayon de graton comme étant : g r E r E A rgdté à la flexon rgdté à la tracton compresson (éq..107.) et donc le rayon de graton représente le rapport entre la rgdté à la flexon par rapport à la rgdté à la tracton - compresson. R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page

21 Remarque : L ndce dont est affecté le symbole du rayon de graton représente l axe par rapport auquel l est mesuré perpendcularement. Par exemple x est mesuré perpendcularement à l axe Ox. R. tterbeek Résstance des Matéraux - Caractérstques géométrques des sectons planes Page -.0 -