Chapitre IV. Résolution des systèmes d équations linéaires

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1 Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres IV..Itroducto : Ds l prtque le physce est souvet cofroté à des problèmes à pluseurs dmesos ou pluseurs vrbles et les modèles mthémtques utlser egedre des systèmes d équtos léres (testé du court ds u réseu électrque pssf, cotrtes et déplcemet ds u système mécque etc.), uss pluseurs problèmes mthémtques écesste l résoluto d u système d équtos léres (problème à vleurs propres, terpolto, ppromto de doées, équtos dfféretels etc.). Ds ce chptre ous llos vor les méthodes umérques drectes et tértves utlser pour résoudre ce type de problème e psst pr les otos des mtrces. IV..Noto et Défto : Sot le système d équto suvt : f (,, )= f (,, )=. IV. F m (,, )= S pour chque focto de ce système : (,,..., ) R,( y, y,..., y) R :et α R, β R f ( α + βy, α + βy,.., α + βy ) = αf (,,.., ) + βf ( y, y,.., y) Alors o dt que l focto f est lére, est ds se cs le système (IV.) peut se mètre sous l forme : = b = b... m + m m = bm Ou [ A ][ X ] = [ B] IV. IV. [A] c est u esemble de m* ombre réels (ou complees) rgé ds u tbleu rectgulre de m lges et coloes, ommé mtrce umérque du système. Les ombres (=,..m ;=,..) qu compose l mtrce doée se ommet élémet de A. O dt que l mtrce A est d ordre m*. Remrque : _ S m= lors l mtrce est crrée d ordre _m> ot dt que le système est surdétermer. _X est B sot ommés des vecteurs coloes. Ds ce qu v suvre ous llos trté que les systèmes qu egedret des mtrces crrées d ordre. IV..Mtrces prtculères et détermt : 7

2 Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres _ L mtrce dot tous les élémets sot uls est ue mtrce ulle. _L mtrce dot tous les élémets sot uls suf ceu dot les dces est sot égu est ppelé mtrce dgole,...,... A = ,..., S les élémets =, lors l mtrce est utre est ommé I.,...,... I = ,..., U ombre sclre peut être cosdéré comme ue mtrce * _s = quelque sot < lors l mtrce est trgulre supéreure.... =... A Ou trgulre féreure s _s = quelque sot > lors l mtrce est trgulre supéreure A = _ue mtrce A crré est lé à u ombre deta dt détermt de A det( A) = Il e fut ps cofodre etre les deu otos l mtrce est u tbleu de doé ordoé pr cotre le détermt est u ombre défs pr des règles be cous χ det( A) = ( ) α α... α ( α, α,..., α ) Où l somme s éted à toutes les permuttos possble ( α, α,... α ) des élémets,,, et pr sute, compte! termes, de plus χ= s l permutto est pre et χ= s elle est mpre. Il este pluseurs techques umérques pour le clcul des détermts. IV.4.Opérto sur les mtrces : _Deu mtrces A=[ ] et B=[b ] sot égle s elle sot de même ordre et : =b pour tout les vleur de et de. 8

3 Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres _Sommto de mtrce : O ppelle somme de deu mtrces A=[ ] et B=[b ] de même ordre l mtrce C=[c ] Dot les élémets sot : c = +b et o écrt C=A+B. L défto de l somme des mtrces etrîe les proprétés suvtes : ) A+(B+C)=(A+B)+C b) A+B=B+A c) A+=A Produt d ue mtrce pr u ombre : Le produt d ue mtrce A=[ ] d ordre pr u ombre α B dot les élémet sot : b = α B= αa D ou les proprétés suvte : ).A=A b).a= c) α (β.a)= (α. Β).A d) (α +β).a= α.a+ β.b e) α.(a+b)= α.a+ α.b Produt d ue mtrce: Le produt d ue mtrce A=[ ] de dmeso *p pr l mtrce B=[b ] de dmeto p*m est l mtrce C=[c ] dot les élémets sot : c = p k = k b k Le produt mtrcel bééfce des proprétés suvtes : ) A.B B.A b) A.(B.C)=(A.B).C c) A.(B+C)=A.B+A.C d) α.(a.b)= (α.a).b e) det(a.b)=deta.detb Mtrce trsposé L mtrce trsposé de l mtrce A= [ ] est l mtrce A t = [ t ] dot les élémets sot défes pr : t = s A=A t lors A est dte symétrque. Proprétés : ) (A+B) t =A t +B t ) (A.B) t =B t. A t ) deta t = deta Mtrce régulère et verse de mtrce : S le détermt d ue mtrce est dffért de zéro lors elle est dte régulère et elle possède ue mtrce verse. 9

4 Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres L verse d ue mtrce A crré est ue mtrce A - crré du même ordre qu vérfe l proprété : A.A - =A -.A=I Proprété : ) (A.B) - =B -.A - b) det(a - )=/det(a - ) A A A = A A A A A A A A... A... A... Δ=detA A sot les cofcteurs (meurs vec leur sges) des élémets correspodts L mtrce A =[A ] IV.5. Méthodes Drectes: Cosdért le problème du système AX=B ou A est ue mtrce d ordre et X et B sot des vecteurs coloe de dmeso. X=A - B Ms pour détermer l verse de cette mtrce l est mpértf de pssé pr des opértos rthmétques dot le ombre ugmete pr l ugmetto de l ordre de l mtrce. Les méthodes de résoluto des systèmes (IV.) se groupet ds deu grdes ctégores : ) Méthodes drecte. ) Méthode tértves. Ue méthode de résoluto est drecte s elle doe, u bout d u ombre f (évetuellemet grd) d opértos logques et rthmétques et ds l hypothèse de l bsece d rrods, ue soluto ecte du problème. Pr cotre les méthodes tértves sot des méthodes coverget symptotquemet vers l soluto pour u ombre d opérto tedt vers l f. L méthode décrte u dessus et à l bse de l méthode dte de crmer qu psse pr le clcul du détermt Δ et des détermts Δ correspodt à chque élémet du vecteur coloe X. Ms du ft que le ombre des opértos écessre pour résoudre le système (IV.) pr l méthode de crmer est de l ordre de!+ (-)!+, cette techque reste prtque pour les système de fble dmeso et elle devee très coûteuse pour les grds systèmes. Eemple : Pour u système ou = l fut. 9 opértos. Et pour =5 l fut opértos

5 Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres IV.5. Méthode pour système trgulre : Sot le système trgulre supéreur suvt :... b... = b b... b O remrque be que pour ce type de système o peut procéder pr remoter : b = = ( b = ) Pour =-,, Ds le cs d u système trgulre féreur l méthode est ps trop dfférete: b = = ( b Pour =,, Algorthme = + ) Système trgulre supéreur Début Déclrto Lre, =b / =- Fre ts que >= s= = fr ts que < s=s+ =+ ft que =(b -s)/ =- f ts que Système trgulre féreur Début Déclrto Lre, =b / = Fre ts que <= s= =+ fr ts que < s=s+ =+ ft que =(b -s)/ =+ f ts que IV.5. Méthode de Guss :

6 Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres L méthode de guss est cosdérée comme l plus populre prm les méthodes drectes, c est l méthode l plus élémetre des méthodes drectes, celle que tout u chcu à déà prtqué ss le svor sur des mtrce () ou (). Le prcpe de l méthode est d effectuer ue sére d opérto rthmétques sur les élémets de l mtrce de mère à l trsformer e mtrce trgulre supéreure (ou féreur), et esute utlser l méthode de remoté (ou de descete) pour résoudre le système obteu. Eemple smple : Preos l eemple du système X suvt : b = b b ere étpe : Redre l mtrce trgulre supéreure : Pour cel procédos pr lge : Pour redre l élémet = o multple l lge () L pr - / et o l oute à l lge L, o clcul : L = L L L dce supéreur désge l étpe de clcul. O obtet : b = b b Pour redre l élémet = o multple l lge () L pr / et o l oute à l lge L, o clcule : L = L L o obtet : b = b b O psse mtet à l coloe et o red les élémets u-dessous de l dgol uls : Pour redre l élémet = o multple l lge () L pr / et o l oute à l lge L, o clcul : L = L L Et o obtet l forme fle :

7 Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres b = b b Remrque : lorsqu o prle de l lge () o désge les élémets de l mtrce A et les élémets du vecteur B. em étpe : Le système obteu ser esute résolu pr l méthode de remoter. Remrque : Il souvet coseller d ugmeter l mtrce A et lu outer les élémets du vecteur B d ue mère à obter l mtrce A + et s l esemble des opértos effectués serot ft sur l ouvelle mtrce ugmeté. Algorthme : Cet lgorthme et l lgorthme de Guss ss permutto ( de lges de coloes) : Début Déclrto Lre, k= Fre ts que k<=- =k+ fr ts que < =k+ fr ts que <+ w= k / kk = -w* k =+ f tque =+ f tque k=k+ f tsque S les élémets dgou de l mtrce obteue ds l derère opérto sot dfférets de zéro lors l mtrce est versble et l soluto du système est obteue pr l pplcto de l lgorthme de l pge (). Le ombre des opértos : L résoluto d u système d équto lére pr l méthode de guss écesste : L trgulrsto : Nm=( -)/ multplctos N=Nm dtos Nd=(-)/ dvsos Pour résoudre le système trgulre l fut :

8 Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres Nm=(-)/ N=Nm Nd= multplctos dtos dvsos Alors e totl : Nm=(-)(+5)/6 N=Nm Nd=(+)/ multplctos dtos dvsos IV.5. Méthode de Jord :(dte uss méthode de Jord-Guss) L méthode de Jord cosste à trsformé le système crmére AX=B e u système A X=B ou A est ue mtrce d detté d ordre. Cette dgolsto est opérée e étpe qu se compose d ue opérto de ormlsto suve d ue opérto de réducto. Descrpto de l méthode : Sot le système suvt : 4 b 4 b = 4 b b4 L premère : Ds cette étpe cosste à multpler l premère lge L pr / et pus pour redre les élémets de l premère coloe (suf l élémet dgole) uls l fut multpler l lge L pr k et l ddtoer à l lge L k doc : L k= L k- L * k doc e obtet e f de compote le système suvt : b b = b b 4 L deuème étpe : Ds celle-c étpe cosste à multpler l deuème lge L pr / et pus pour redre les élémets de l deuème coloe (suf l élémet dgole) uls l fut multpler l lge L pr k et l ddtoer à l lge L k doc : L k= L k- L * k doc e obtet e f de compote le système suvt : b b = b b 4 Et o cotue le processus usqu'à obter ue mtrce detté ds l étpe 4

9 Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres 4 b b = b b 4 Remrque : O obtet le même résults s o utlse l méthode de Guss usqu'à l étpe ou l mtrce obteue est trgulre supéreure pus e e utlse ue méthode smlre à l premère ms e prtt de l derère coloe et o ule ces élémets suf l élémet dgol, pus e psse à l coloe téreures, usqu'à l premère lge et s o obtet ue mtrce dgole. E f de compte ous ormlsos les élémets de l dgol et l soluto du système se trouve ds l coloe vecteur B. L lgorthme : Cet lgorthme et l lgorthme de Jord-Guss ss permutto : Début Déclrto Lre, k= Fre ts que k<= =k fr ts que <+ k k= k- k/ k- kk =+ f ts que = fr ts que < et k =k+ fr ts que <+ k = k- - k- k* k k =+ f tque =+ f tque k=k+ f tsque Le Nombre des opértos : E totl : Nm=( -)/ multplctos N=Nm dtos Nd=(+)/ dvsos IV.6 Méthodes Itértfs : Cotrremet u méthodes drects, les processus tértfs de résoluto d u système d équtos léres e foursse qu ue ppromto de l soluto suvt ue sére d opértos de correctos effectués sur ue soluto tle proposée. Le 5

10 Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres ombre d opértos requses déped de l ordre de l ppromto mposée et be sure de l ordre du système. Norme mtrcelle : Pour comprer des ettés à pluseurs composts comme les mtrces et les vecteurs o utlse leurs grdeurs. Ds le cs des sclres l comprso s effectue à trvers leurs vleurs bsolues, c est pour cell qu o trodut l oto de orme de vecteurs ou de mtrces qu oue le même rôle. Ue orme mtrcelle dot vérfer les codtos suvtes : S o désge A l orme d ue mtrce ou d u vecteur lors ) A > et s A = lors A=. ) k. A = k. A k est u sclre. ) s A est B deu mtrce de même ordre A + B A + B (églté trgulre)) 4) et A. B A. B Ds le cs des vecteurs o peut utlser l orme dte eucldees, s sot les compostes de V lors : = = V = Ce est ps l seul mère de défr l orme d u vecteur l este pluseurs ctt : _ V p = = p p _ V = = _ V = m( ) (p-orme) (somme des vleurs bsolues) Pour les mtrces o utlse les epressos suvtes pour défr l orme : A A = m = m = = _ A = = = (Qu o présete souvet comme étt l orme eucldee d ue mtrce). IV.6. Méthode de Jcob : Pret l eemple suvt : Sot le système : 6-y+z= X+y-z=- -+7y+z=5 Qu o peut mètre sous l forme : =(.+.*y-z)/6. y=(5.+.*-.*z)/7. z=(-.--.*y)/(-5.) et o psse sous forme tértve : 6

11 Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres k+ =(.+.*y k -z k )/6. y k+ =(5.+.* k -.*z k )/7. z k+ =(-.- k -.*y k )/(-5.) k y z,8,748,,89,895,858,849,56,8 4,45,4,8 5,994,99,4 6,9965,9979,99495 O remrque que l soluto coverge vers (.,.,.) Doc le processus de Jcob ds s forme globle s écrt : Prets u esemble de équtos léres : = b =, pour O peut l écrre sous l forme : = b,, = = + O se doe u vecteurs tle X et clcul près les X k pr k + k k = b = = + Les térto seros stopper lorsque l codto suvte est vérfer : Algorthme : Début Déclrto Lre,,b Itlser,y k= Fre ts que k<= = fre t que <= k k y = b = = + S Y X k ε cotue S o stop X k+ =Y f tsque k+ k X X IV.6. Guss-Sedel: Ds l méthode de Jcob ous utlst touours les ces élémets de l soluto pour estmer l ouvelle, et comme ds le cs d ue composte k+ o remrque qu l y - élémet qu o déà été estmés lors l est possble de les utlser pour cet étpe et ç c est l phlosophe de l méthode de Guss-Sedel. ε 7

12 Chptre IV Résoluto des systèmes d équtos léres Sot le pour le système : 6-y+z= X+y-z=- -+7y+z=5 O obtet ds le cs de l méthode de Guss-Sedel k+ =(.+.*y k -z k )/6. y k+ =(5.+.* k+ -.*z k )/7. z k+ =(-.- k+ -.*y k+ )/(-5.) Algorthme : Début Déclrto Lre,,b Itlser, k= Fre ts que k<= = fre t que <= k k + = b = = + S X k+ X k ε cotue S o stop f tsque + k 8