Introduction à la géométrie algorithmique

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Véronique Lavigne
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1 Kiên Kiêu INRA, Jouy-en-Josas 23 novembre 2003

2 Sommaire de Delaunay Outils logiciels Un exemple CGAL Autres ressources Recherche et applications émergentes

3 Qu est-ce que la géométrie algorithmique? Développement de méthodes informatiques pour résoudre des problèmes géométriques. Domaines d applications : informatique graphique, robotique, traitement d image, systèmes d information géographique, bioinformatique...

4 Qu est-ce que la géométrie algorithmique? Développement de méthodes informatiques pour résoudre des problèmes géométriques. Domaines d applications : informatique graphique, robotique, traitement d image, systèmes d information géographique, bioinformatique...

5 Tester si 2 segments se croisent reformulation simplification du traitement informatique

6 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

7 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

8 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

9 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

10 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

11 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

12 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

13 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

14 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

15 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

16 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

17 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

18 Calcul d enveloppe convexe Diviser pour régner

19 Calcul de chull A Sommaire 1. si #A = 3, chull A = triangle de sommets A, 2. sinon 2.1 diviser A en B 1 B 2, 2.2 calculer chull B 1 et chull B 2 (appels récursifs), 2.3 chull A = l enveloppe convexe de chull B 1 chull B 2.

20 de 2 convexes

21 de 2 convexes

22 de 2 convexes

23 de 2 convexes

24 de Delaunay Se ramener à un problème qu on sait bien traiter.

25 Projection sur une paraboloïde

26 (n grand) b 1 a 3 b4 a 5 a 1 a 2 a 4 b 2 b 3 b 5 Balayage par une droite

27 (n grand) b 1 a 3 b4 a 5 a 1 a 2 a 4 b 2 b 3 b 5 Balayage par une droite

28 (n grand) b 1 a 3 b4 a 5 a 1 a 2 a 4 b 2 b 3 b 5 L = {s 1 } E = {a 1, a 3, a 2, b 1, a 4, a 5, b 2,...} Balayage par une droite

29 (n grand) b 1 a 3 i 13 a 5 b4 a 1 a 2 a 4 b 2 b 3 b 5 L = {s 3, s 1 } E = {a 1, a 3, i 13,a 2, b 1, a 4, a 5, b 2,...} Balayage par une droite

30 (n grand) b 1 a 3 i 13 a 5 b4 a 1 a 2 a 4 b 2 b 3 b 5 L = {s 1, s 3 } E = {a 1, a 3, i 13,a 2, b 1, a 4, a 5, b 2,...} Balayage par une droite

31 (n grand) b 1 a 3 i 13 a 5 b4 a 1 a 2 a 4 b 2 i 23 b 3 b 5 L = {s 1, s 3, s 2 } E = {a 1, a 3, i 13,a 2, b 1, a 4, i 23,a 5, b 2,...} Balayage par une droite

32 (n grand) b 1 a 3 i 13 a 5 b4 a 1 a 2 a 4 b 2 i 23 b 3 b 5 L = {s 3, s 2 } E = {a 1, a 3, i 13,a 2, b 1, a 4, i 23,a 5, b 2,...} Balayage par une droite

33 (n grand) b 1 a 3 i 13 a 5 b4 a 1 a 2 a 4 b 2 i 23 b 3 b 5 L = {s 4, s 3, s 2 } E = {a 1, a 3, i 13,a 2, b 1, a 4, i 23,a 5, b 2,...} Balayage par une droite

34 (n grand) b 1 a 3 i 13 a 5 b4 a 1 a 2 a 4 b 2 i 23 b 3 b 5 L = {s 4, s 2, s 3 } E = {a 1, a 3, i 13,a 2, b 1, a 4, i 23,a 5, b 2,...} Balayage par une droite

35 (n grand) b 1 a a 1 3 i a 13 2 a a 4 5 b b4 2 i i 23 b 3 45 b 5 L = {s 5, s 4, s 2, s 3 } E = {a 1, a 3, i 13,a 2, b 1, a 4, i 23,a 5, b 2, i 45,...} Balayage par une droite

36 Décomposition de polygone en triangles, trapèzes, polygones monotones, convexes,... plus faciles à manipuler. déplacement, calcul de la + petite boîte, analyse de forme... Delaunay/Voronoi reconnaissance, allocation, interpolation, reconstruction de courbes ou de surfaces, calcul de chemin minimal, graphe médian (déplacement), cristallographie. Arrangements graphe de visibilité, face cachée, appariements. Recherche spatiale intersection, localisation, points extrémaux

37 Outils disponibles Sommaire Outils logiciels Un exemple CGAL Autres ressources Logiciels scientifiques généralistes comme R, Matlab : enveloppe convexe, triangulation de Delaunay, diagramme de Voronoi,, aire de polygone, test d inclusion d un point dans un polygone. Bibliothèques de programmation dédiées : LEDA (payant), CGAL (en partie sous GPL).

38 Un exemple CGAL Sommaire Outils logiciels Un exemple CGAL Autres ressources # include < CGAL / Cartesian.h> # include < CGAL / Polygon_2.h> # include < iostream > typedef CGAL :: Cartesian < double > K; typedef K :: Point_2 Point ; typedef CGAL :: Polygon_2 <K > Polygon ; using std :: cout ; using std :: endl ; int main () { Point points []={ Point (0,0),Point (5.1,0),Point (1,1),Point (0.5,6) }; Polygon pgn ( points, points +4) ; // check if the polygon is simple. cout << " The polygon is " << ( pgn. is_simple ()? "" : " not ") << " simple." << endl ; // check if the polygon is convex cout << " The polygon is " << ( pgn. is_convex ()? "" : " not ") << " convex." << endl ; return 0;}

39 Journaux & conférences Outils logiciels Un exemple CGAL Autres ressources Journaux Computational Geometry : Theory and Applications (no 1995 disponibles en ligne) International Journal of Computational Geometry and Applications (World Scientific) Discrete & Computational Geometry (Springer-Verlag) Conférences DIMACS Workshop on Computational Geometry (USA) European Workshop on Computational Geometry ACM Symposium on Computational Geometry Journées de Géométrie Algorithmique

40 Ressources bibliographiques Outils logiciels Un exemple CGAL Autres ressources Livres Preparata & Shamos (1988) Computational Geometry, an. * O Rourke (1998) Computational Geometry in C. * de Berg & al. (2000) Computational Geometry, Algorithms and Applications. Sites Web Computational Geometry on the World Wide Web

41 Recherche et applications émergentes Calcul avec des courbes et des surfaces (projet européen ECG) Applications en biologie : bioinfomatique

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