Diviser pour régner. Tri fusion Tri rapide

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Laurence Lavergne
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Dvser our régner. Tr fuson Tr rade Tros étaes : 1. Dvser le roblème de talle n en luseurs sousroblèmes de talles lus ettes. 2. Résoudre les sous-roblèmes (généralement de façon récursve). 3.

Algo des Tableaux 2016-17 241 Algo des Tableaux 2016-17 242 Suosons que l on dsose d un algorthme qu construt un tableau tré à artr de deux tableaux trés.

1 Dvser our régner. Tr fuson Tr rade Tros étaes : 1. Dvser le roblème de talle n en luseurs sousroblèmes de talles lus ettes. 2. Résoudre les sous-roblèmes (généralement de façon récursve). 3. Combner les solutons des sous-roblèmes our obtenr une soluton du roblème ntal. Algo des Tableaux Algo des Tableaux Suosons que l on dsose d un algorthme qu construt un tableau tré à artr de deux tableaux trés. Une soluton alquant l aroche dvser our régner est la suvante : 1. Dvser le tableau en deux tableaux de talles dentques. 2. Trer récursvement les deux sous-tableaux. 3. Combner les deux sous-tableaux trés en un seul tableau tré Abracadabra fuson Algo des Tableaux Algo des Tableaux

0 1 2 3 4 12 5 1 8 10 0 1 12 5 12 5 1 8 10 5 12 Abracadabra 1 8 10 fuson 1 5 8 10 12 12 5 Déà tré fuson 5 12 Algo des Tableaux 2016-17 245 Algo des Tableaux 2016-17 246 0 1 2 3 4 12 5 1

2 Abracadabra fuson Déà tré fuson 5 12 Algo des Tableaux Algo des Tableaux Abracadabra fuson Algo des Tableaux Déà tré fuson Déà trés fuson 8 10 Algo des Tableaux

stocker la fuson r=creertableau(f-d) m=(d+f)//2 # t est tré entre d et

Algo des Tableaux 2016-17 250 def fuson(t, d, f): r=creertableau(f-d)

1=1+1 else : r[k] = t[2] 2=2+1 k=k+1 whle (1 <m): r[k] = t[1] 1=1+1 k=k+1

trfuson (t,d,f): f (d<f-1): m=(d+f)//2 trfuson(t,n,d,m) trfuson(t,n,m,f)

3 Exemle : htts:// def fuson(t, d, f): #tableau sulémentare our stocker la fuson r=creertableau(f-d) m=(d+f)//2 # t est tré entre d et m-1 # t est tré entre m et f-1 1=d 2=m k=0 Algo des Tableaux Algo des Tableaux def fuson(t, d, f): r=creertableau(f-d) m=(d+f)//2 1=d 2=m k=0 whle (1<m and 2 <f): f (t[1] < t[2]): r[k] = t[1] 1=1+1 else : r[k] = t[2] 2=2+1 k=k+1 whle (1 <m): r[k] = t[1] 1=1+1 k=k+1 whle (2 <f): r[k] = t[2] 2=2+1 k=k+1 for k n range(f-d): t[d+k]=r[k] def trfuson (t,d,f): f (d<f-1): m=(d+f)//2 trfuson(t,n,d,m) trfuson(t,n,m,f) fuson(t,n,d,f) 1 er Ael : trfuson(t,0,n) Stablté : ou car < dans fuson Algo des Tableaux Algo des Tableaux

def mystere (t,n): =0 = n-1 whle( < ): f (t[] == 0): = +1 else : echanger(t,,) = -1 Que fat-elle en suosant que le tableau T ne content que des 0 et des 1 Algo des Tableaux 2016-17 253 Algo des

4 def mystere (t,n): =0 = n-1 whle( < ): f (t[] == 0): = +1 else : echanger(t,,) = -1 Que fat-elle en suosant que le tableau T ne content que des 0 et des 1 Algo des Tableaux Algo des Tableaux def mystere (t,n): =0 = n-1 whle( < ): f (t[] == 0): = +1 else : echanger(t,,) = -1 Que fat-elle en suosant que le tableau T ne content que des 0 et des 1 Algo des Tableaux def mystere (t,n): =0 = n-1 whle( < ): f (t[] == 0): = +1 else : echanger(t,,) = Algo des Tableaux

5 def mystere (t,n): =0 = n-1 whle( < ): f (t[] == 0): = +1 else : echanger(t,,) = -1 Idée : Utlser la foncton mystere our séarer les éléments d un tableau selon qu ls sont nféreurs ou suéreur et égaux à une valeur x. 1. Chosr x arm les éléments de t : donc l exste [0,n-1] tel que t[]==x. Elle lace les 0 au début du tableau et les 1 à la fn Algo des Tableaux Algo des Tableaux Idée : Utlser la foncton mystere our séarer les éléments d un tableau selon qu ls sont nféreurs ou suéreur et égaux à une valeur x. 1. Chosr x arm les éléments de t : donc l exste [0,n-1] tel que t[]==x. 2. Séarer les éléments de t en 2 zones ar raort à x. Idée : Utlser la foncton mystere our séarer les éléments d un tableau selon qu ls sont nféreurs ou suéreur à une valeur x. 1. Chosr x arm les éléments de t : donc l exste [0,n-1] tel que t[]==x. 2. Séarer les éléments de t en 2 zones ar raort à x. 3. Placer x entre les 2 zones Algo des Tableaux Algo des Tableaux

Idée : Utlser la foncton mystere our séarer les éléments d un tableau selon qu ls sont nféreurs ou suéreur à une valeur x. 1. Chosr x arm les éléments de t : donc l exste [0,n-1] tel que t[]==x. 2.

6 Idée : Utlser la foncton mystere our séarer les éléments d un tableau selon qu ls sont nféreurs ou suéreur à une valeur x. 1. Chosr x arm les éléments de t : donc l exste [0,n-1] tel que t[]==x. 2. Séarer les éléments de t en 2 zones ar raort à x. 3. Placer x entre les 2 zones. Que eut-on dre de x? Idée : Utlser la foncton mystere our séarer les éléments d un tableau selon qu ls sont nféreurs ou suéreur à une valeur x. 1. Chosr x arm les éléments de t : donc l exste [0,n-1] tel que t[]==x. 2. Séarer les éléments de t en 2 zones ar raort à x. 3. Placer x entre les 2 zones. x est à la lace qu l occuera dans le tableau tré Algo des Tableaux Algo des Tableaux Idée : Utlser la foncton mystere our séarer les éléments d un tableau selon qu ls sont nféreurs ou suéreur à une valeur x. 1. Chosr x arm les éléments de t : donc l exste [0,n-1] tel que t[]==x. 2. Séarer les éléments de t en 2 zones ar raort à x. 3. Placer x entre les 2 zones. Comben de fos chaque élément de t est-l examné? Algo des Tableaux Idée : Utlser la foncton mystere our séarer les éléments d un tableau selon qu ls sont nféreurs ou suéreur à une valeur x. 1. Chosr x arm les éléments de t : donc l exste [0,n-1] tel que t[]==x. 2. Séarer les éléments de t en 2 zones ar raort à x. 3. Placer x entre les 2 zones. Comben de fos chaque élément de t est-l examné? une seule fos Algo des Tableaux

rééter 1, 2 et 3 sur chaque zone our trer t récursvement 1 1 2 3 4 8 6 5 7 5 Algo des Tableaux 2016-17 265 rééter 1, 2 et 3 sur chaque zone our trer t récursvement Queston : Comment chosr x?

7 Idée : Utlser la foncton mystere our séarer les éléments d un tableau selon qu ls sont nféreurs ou suéreur à une valeur x. 1. Chosr x arm les éléments de t : donc l exste [0,n-1] tel que t[]==x. 2. Séarer les éléments de t en 2 zones ar raort à x. 3. Placer x entre les 2 zones. x est à la lace qu l occuera dans le tableau tré 4. rééter 1, 2 et 3 sur chaque zone our trer t récursvement Algo des Tableaux Idée : Utlser la foncton mystere our séarer les éléments d un tableau selon qu ls sont nféreurs ou suéreur à une valeur x. 1. Chosr x arm les éléments de t : donc l exste [0,n-1] tel que t[]==x. 2. Séarer les éléments de t en 2 zones ar raort à x. 3. Placer x entre les 2 zones. x est à la lace qu l occuera dans le tableau tré 4. rééter 1, 2 et 3 sur chaque zone our trer t récursvement Queston : Comment chosr x? t[0] ou t[n-1] ou heurstque On aelle x le vot Algo des Tableaux Exemle : htts:// Algo des Tableaux Algo des Tableaux

5 3 9 2 7 4 1 6 5 8 t[]>=t[] donc echanger(t,,) 8 3 9 2 7 4 1 6 5 5 Algo des Tableaux 2016-17 269 Algo des Tableaux 2016-17 270

8 t[]>=t[] donc echanger(t,,) Algo des Tableaux Algo des Tableaux t[]>=t[] donc echanger(t,,) Algo des Tableaux Algo des Tableaux

5 3 9 2 7 4 1 6 8 5 6 3 9 2 7 4 1 5 8 5 t[]>=t[] donc echanger(t,,)

4 1 5 8 5 1 3 9 2 7 4 6 5 8 5 t[]>=t[] donc echanger(t,,) t[]< t[]

9 t[]>=t[] donc echanger(t,,) Algo des Tableaux Algo des Tableaux t[]>=t[] donc echanger(t,,) t[]< t[] donc as d échange Algo des Tableaux Algo des Tableaux

1 3 9 2 7 4 6 5 8 5 1 3 9 2 7 4 6 5 8 5 t[]< t[] donc as d

278 1 3 9 2 7 4 6 5 8 5 1 3 9 2 7 4 6 5 8 5 t[]>=t[] donc

10 t[]< t[] donc as d échange Algo des Tableaux Algo des Tableaux t[]>=t[] donc echanger(t,,) Algo des Tableaux Algo des Tableaux

1 3 4 2 7 9 6 5 8 5 1 3 4 2 7 9 6 5 8 5 t[]< t[] donc as d échange Algo des Tableaux 2016-17 281 Algo des Tableaux 2016-17 282

11 t[]< t[] donc as d échange Algo des Tableaux Algo des Tableaux t[]< t[] donc as d échange Algo des Tableaux Algo des Tableaux

1 3 4 2 7 9 6 5 8 5 1 3 4 2 7 9 6 5 8 5 t[]>=t[] donc echanger(t,,) Algo des Tableaux 2016-17 285 Algo des Tableaux 2016-17 286 1 3

12 t[]>=t[] donc echanger(t,,) Algo des Tableaux Algo des Tableaux > donc lacer t[] à la lace de t[] Algo des Tableaux Algo des Tableaux

1 3 4 2 5 9 6 5 8 7 1 3 4 2 5 9 6 5 8 7 1 3 4 2 5 9 6 5 8 7 Algo des Tableaux 2016-17 289 Algo des Tableaux 2016-17 290 def searatonpvot(t,n, d, f): = d = d =

d et f : d<=k<, t[k]<t[] <=k<=f, t[k]>=t[] t[] est à sa lace.

13 Algo des Tableaux Algo des Tableaux def searatonpvot(t,n, d, f): = d = d = f whle(<=): f (t[]<t[]): =+1 else : echanger(t,,) f (==): = else : f (==): = =-1 echanger (t,, ) return () En sorte le tableau t est réorgansé entre les ndces d et f : d<=k<, t[k]<t[] <=k<=f, t[k]>=t[] t[] est à sa lace. Chaque élément a été examné une seule fos Comlexté en tems : O(f-d) Comlexté esace : O(1) Il exste de nombreuses varantes de cette foncton : Heurstque our le chox du vot. Sans lacement du vot. Etc Algo des Tableaux Algo des Tableaux

le Θ(n) en mémore Stablté Ou Tr rade Ω(nlog 2 (n)) et O(n²) Θ(1) Non* Algo des Tableaux 2016-17 293 Algo des Tableaux 2016-17 294 La méthode our

14 def trraderec(t, n, d, f): f(d<f): =searatonpvot(t,n,d,f) trraderec(t,n,d,-1) trraderec(t,n,+1,f) def trrade(t, n): trraderec(t,n,0,n-1) Comlexté en tems : Ω(nlog 2 (n)) et O(n²) Comlexté en esace : O(1) Stablté : non Tr Fuson Comlexté en tems Θ(nlog 2 (n)) Comlexté esace Θ(log 2 (n)) sur la le Θ(n) en mémore Stablté Ou Tr rade Ω(nlog 2 (n)) et O(n²) Θ(1) Non* Algo des Tableaux Algo des Tableaux La méthode our chosr le vot nfluence drectement l effcacté du tr rade. En moyenne le tr rade est l algorthme de tr le lus effcace. Algo des Tableaux

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L information sera transmise selon des signaux de nature et de fréquences différentes (sons, ultrasons, électromagnétiques, électriques).

L information sera transmise selon des signaux de nature et de fréquences différentes (sons, ultrasons, électromagnétiques, électriques). CHAINE DE TRANSMISSION Nous avons une information que nous voulons transmettre (signal, images, sons ). Nous avons besoin d une chaîne de transmission comosée de trois éléments rinciaux : 1. L émetteur