Régression linéaire. M-A Dronne / 65

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1 1 / 65 Régression linéaire M-A Dronne

2 2 / 65 Introduction Plan du cours (et sans pondération) Autres types de régression Régression linéaire pondérée Régression multiple Régression non linéaire Régression logistique

3 Généralités Objectif L objectif est d étudier l influence d une variable quantitative X sur une autre variable quantitative Y. Si ces deux variables semblent liées par une relation linéaire utilisation d un modèle linéaire Vocabulaire Variable X : variable explicative = exogène = indépendante = contrôlée = prédictive Variable Y : variable à expliquer (expliquée) = endogène = dépendante = observée = prédite Remarque Contrairement à la corrélation, les deux variables n ont pas un rôle symétrique 3 / 65

4 4 / 65 Généralités Remarques Il peut exister une relation entre deux variables mais qui ne soit pas linéaire : modèle logarithmique, inverse, quadratique, cubique, puissance,logistique, exponentiel,... Dans la nature, on trouve souvent des phénomènes de saturation ou de seuil (à prendre en compte dans le modèle) Il faut définir les "bornes" entre lesquelles la relation entre les 2 variables est quantitative Il faut toujours commencer par visualiser le nuage de points des données

5 Exemple Enoncé Un modèle rongeur de tumeur solide est utilisé et on souhaite étudier si la dose d anticancéreux A administrée à un groupe de 15 souris influence la durée de vie de ces souris. On administre donc 15 doses différentes d anticancéreux à ces souris et le nombre de jours de survie de ces souris est ensuite recensé. Question La survie est-elle liée linéairement à la dose d anticancéreux administrée au risque 5%? 5 / 65

6 6 / 65 Modèle linéaire Modèle linéaire Y = α + βx + ɛ α : ordonnée à l origine β : pente de la droite ɛ : résidu (= erreur = aléa de mesure) : variable aléatoire σ 2 ɛ : variance résiduelle Remarque ɛ N (0, σ ɛ ) 3 paramètres inconnus : α, β et σ ɛ Estimations de ces paramètres à calculer : a, b et s ɛ

7 Modèle linéaire Conditions à respecter Conditions sur les Y i ou sur les ɛ i : Conditions sur les Y i Y i : v.a. indépendantes, normales, d espérance sur la droite de régression et de variance constante Y i N (βx i + α, σ ɛ ) et Cov(Y i, Y j ) = 0 i j Conditions sur les ɛ i ɛ i : v.a. indépendantes, normales, d espérance nulle et de variance constante (variance résiduelle) ɛ i N (0, σ ɛ ) et Cov(ɛ i, ɛ j ) = 0 i j Vocabulaire On dit que les ɛ i doivent être identiquement et indépendamment distribuées (iid) selon une loi normale 7 / 65

8 8 / 65 Démarche générale Etapes Pour étudier la liaison linéaire entre X et Y : Estimation des paramètres obtention et étude de la droite de régression Etude de validité du modèle linéaire étude des résidus (la relation entre X et Y est-elle réellement linéaire?) Etude de la liaison linéaire Test de la pente nulle (la relation linéaire entre X et Y est-elle statistiquement significative?)

9 9 / 65 Estimation des paramètres Droite de régression a : estimation de α b : estimation de β Y = a + bx Remarque La droite de régression passe par le point (m x, m y ) avec m x = x n et m y = y n Estimation des paramètres Méthode des moindres carrés minimisation de la somme des carrés des écarts Méthode du maximum de vraisemblance

10 10 / 65 Estimation des paramètres Méthode 1 : méthode des moindres carrés Somme des carrés des écarts SCE = i e 2 i avec e i = Y i (a + bx i ) = Y i Ŷi Y i : valeur mesurée Ŷ i : valeur calculée de Y pour X = X i Minimisation de la SCE annulation des dérivées partielles de la SCE : SCE(a, b) a = 0 et SCE(a, b) b = 0

11 11 / 65 Estimation des paramètres Méthode des moindres carrés (suite) Valeurs estimées de α et β : b = n xy x y n x 2 ( x) 2 = cov(x, Y ) s 2 x a = m y bm x x avec m x = et m y = n y n Remarque Intervalles de confiance sur α et sur β : ic (1 α) (β) = ] b t (α,ν) s B ; b + t (α,ν) s B [ ic (1 α) (α) = ] a t (α,ν) s A ; a + t (α,ν) s A [

12 12 / 65 Estimation des paramètres Méthode 2 : maximum de vraisemblance : généralités Soit X une variable aléatoire de loi continue (ou discrète) dont on veut estimer un paramètre θ Soit f (x i ; θ) la fonction densité de probabilité de X La vraisemblance vaut : L(x 1,..., x n ; θ) = i f (x i ; θ) On veut trouver le maximum de cette fonction calcul de dérivées partielles : L(x 1,..., x n ; θ) θ = 0

13 Maximiser cette quantité par rapport à α et β revient à minimiser le dernier terme minimisation de la SCE (méthode des moindres carrés) estimations a et b de α et β 13 / 65 Estimation des paramètres Maximum de vraisemblance : application à la loi normale On cherche à maximiser la quantité suivante par rapport aux paramètres α, β et σ 2 ɛ : ( ) n [ L(α, β, σɛ 2 1 ) = exp 1 2πσ 2 ɛ 2σɛ 2 On passe à la log-vraisemblance : ln L(α, β, σ 2 ɛ ) = n 2 ln(2πσ2 ɛ ) 1 2σ 2 ɛ ] (Y i α βx i ) 2 i (Y i α βx i ) 2 i

14 14 / 65 Estimation des paramètres Estimation de la variance résiduelle σ 2 ɛ sɛ 2 = SCE y b 2 SCE x n 2 sɛ 2 i = e2 i n 2

15 15 / 65 Formule de décomposition Décomposition (Y i m y ) 2 = i i (Ŷi m y ) 2 + i (Y i Ŷi) 2 Signification des termes i (Y i m y ) 2 : somme des carrés totale ((n-1) ddl) i (Ŷi m y ) 2 : somme des carrés expliquée (partie de la variation de Y expliquée par la variable X) (1 ddl) i (Y i Ŷi) 2 : somme des carrés résiduelle (partie de la variation de Y non expliquée par la variable X) ((n-2) ddl)

16 16 / 65 Formule de décomposition Formule sur les SCE SCE T = SCE e + SCE r Tableau d analyse de variance (ANOVA) Il est possible de faire un test pour savoir si la variable X a un effet sur la variable Y : Hypothèses H 0 : pas d effet de X sur Y H 1 : effet de X sur Y Statistique de test et loi suivie sous H 0 : Les SCE suivent des lois du χ 2 sous H 0 SCE e /1 La variable F = suit une loi de Fisher à SCE r /(n 2) (1, n 2) ddl cf. cours ANOVA

17 17 / 65 Coefficient de détermination Définition i r 2 = (Ŷi m y ) 2 i (Y i m y ) 2 = SCE e SCE T ( ) cov(x, Y ) 2 r 2 = s x s y Remarques r 2 rend compte de la qualité de l ajustement (= % de variation expliquée) Il s agit du carré du coefficient de corrélation (cf. cours corrélation) On a toujours : 0 r 2 1

18 18 / 65 Coefficient de détermination Interprétation 0 r 2 1 r 2 = 1 : liaison linéaire parfaite entre X et Y r 2 = 0 : pas de liaison linéaire entre X et Y (= droite horizontale) Remarque Si on ne met pas évidence de liaison linéaire entre X et Y, cela ne veut pas dire qu il n y a pas de liaison du tout liaison non linéaire possible r 2 augmente avec le nombre de données (pertinentes)

19 19 / 65 Coefficient de détermination Utilisation du r 2 dans l ANOVA La statistique de test F utilisée dans l ANOVA précédente peut s exprimer en fonction de r 2 : F = (n 2) r 2 1 r 2 Coefficient de détermination ajusté Comme r 2 dépend du nombre de données, pour comparer des modèles qui ont un nombre différent de données coefficient de détermination ajusté (corrigé par les ddl) : r 2 a = 1 n 1 n 2 (1 r 2 )

20 20 / 65 Etude de validité du modèle linéaire Tests à effectuer sur les résidus ɛ i Normalité des résidus Visualisation des résidus (histogramme + qqplot) Test de normalité (Shapiro, Lilliefors) Espérance nulle des résidus Visualisation des résidus Homoscédasticité des résidus Visualisation des résidus Test de comparaison de variances Indépendance des résidus Visualisation des résidus Test pour tester l auto-corrélation (test de Wald, test de Durbin-Watson,...)

21 Test de la pente nulle Caractéristiques des variables 2 variables Y : variable aléatoire X : variable contrôlée (ou connue sans erreur) Variables quantitatives Hypothèses statistiques Hypothèse nulle : H 0 : β = 0 Y = α + βx + ɛ = α + ɛ pas de liaison linéaire entre X et Y Hypothèse alternative : H 1 : β 0 test bilatéral Y = α + βx + ɛ liaison linéaire entre X et Y Remarque : possibilité de faire un test unilatéral (β > 0 ou β < 0) 21 / 65

22 22 / 65 Test de la pente nulle Propriétés des données 2 échantillons "appariés" (couples (x i, y i )) cas petit échantillon (valable aussi pour grand échantillon) Calculs Estimation ponctuelle de β : b = n xy x y n x 2 ( x) 2 Estimation ponctuelle de σ B : sɛ s B = 2 = SCE x 1 (n 2) ( ) SCEy b SCE 2 x

23 23 / 65 Test de la pente nulle Conditions à respecter Conditions sur les Y i Y i : v.a. indépendantes, normales, d espérance sur la droite de régression et de variance constante Y i N (βx + α, σ ɛ ) et Cov(Y i, Y j ) = 0 i j Conditions sur les ɛ i ɛ i : v.a. indépendantes, normales, d espérance nulle et de variance constante (variance résiduelle) ɛ i N (0, σ ɛ ) et Cov(ɛ i, ɛ j ) = 0 i j Tests préliminaires cf. étude de validité du modèle linéaire

24 24 / 65 Test de la pente nulle Formule et calcul de la statistique de test Variable d intérêt : B : estimateur de β Statistique de test sous H 0 : Z = T = B S B Loi suivie par la statistique de test : T Student à ν = n 2 ddl Valeur de la statistique de test z = t = b s B

25 25 / 65 Test de la pente nulle Confrontation et conclusion (cf. cours précédents) Confrontation Comparaison de la valeur de la statistique de test t avec la valeur seuil t s lue dans la table de Student Position de t par rapport à l intervalle d acceptation I a Comparaison de la p-value avec la valeur α Conclusion Conclusion en langage statistique et en langage courant (au risque α)

26 26 / 65 Test de la pente nulle Régression / corrélation On a la relation suivante : r = b s x s y Le test de la pente nulle est donc équivalent au test du coefficient de corrélation de Pearson.

27 Autres tests statistiques Test de conformité de β à une valeur de référence β 0 Hypothèses : H 0 : β = β 0 H 1 : β β 0 Statistique de test : Z = T = B β 0 S B Student à ν = n 2 ddl Valeur de la statistique de test : z = t = b β 0 s B 27 / 65

28 28 / 65 Test de conformité de l ordonnée à l origine Caractéristiques des variables 2 variables Y : variable aléatoire X : variable contrôlée (ou connue sans erreur) Variables quantitatives Hypothèses statistiques Hypothèse nulle : H 0 : α = α 0 Hypothèse alternative : H 1 : α α 0 test bilatéral

29 29 / 65 Test de conformité de l ordonnée à l origine Propriétés des données 2 échantillons "appariés" cas petit échantillon (valable aussi pour grand échantillon) Calculs Estimation ponctuelle de α : a = m y bm x Estimation ponctuelle de σ A : s A = s ɛ 1 n + m2 x SCE x

30 30 / 65 Test de conformité de l ordonnée à l origine Conditions à respecter Conditions sur les Y i Y i : v.a. indépendantes, normales, d espérance sur la droite de régression et de variance constante Y i N (βx + α, σ ɛ ) et Cov(Y i, Y j ) = 0 i j Conditions sur les ɛ i ɛ i : v.a. indépendantes, normales, d espérance nulle et de variance constante (variance résiduelle) ɛ i N (0, σ ɛ ) et Cov(ɛ i, ɛ j ) = 0 i j Tests préliminaires cf. étude de validité du modèle linéaire

31 31 / 65 Test de conformité de l ordonnée à l origine Formule et calcul de la statistique de test Variable d intérêt : A : estimateur de α Statistique de test sous H 0 : Z = T = A α 0 S A Loi suivie par la statistique de test : T Student à ν = n 2 ddl Valeur de la statistique de test z = t = a α 0 s A

32 32 / 65 Test de conformité de l ordonnée à l origine Confrontation et conclusion (cf. cours précédents) Confrontation Comparaison de la valeur de la statistique de test t avec la valeur seuil t s lue dans la table de Student Position de t par rapport à l intervalle d acceptation I a Comparaison de la p-value avec la valeur α Conclusion Conclusion en langage statistique et en langage courant (au risque α)

33 33 / 65 Prédiction avec une droite de régression Objectif proposer la prédiction de valeurs de Y en fonction de valeurs de X à partir de la relation : Y = a + bx Remarques La valeur calculée à l aide des paramètres de la droite de régression donne une prédiction de l espérance de Y pour une valeur particulière de X. Il faut faire attention lorsque l on fait des prévisions en dehors de l étendue des valeurs observées.

34 34 / 65 Intervalles Objectif Intervalle de confiance de µ x IC sur la moyenne prédite Intervalle de prévision de y x IC sur une valeur individuelle prédite

35 35 / 65 Intervalle de confiance de µ x Espérance de Y sachant X Estimation ponctuelle de µ 0 = E(Y /X = x 0 ) pour Y = α + βx + ɛ : µ 0 = a + bx 0 Intervalle de confiance de l espérance IC de µ 0 = E(Y /X = x 0 ) : Remarque ic (1 α) (µ 0 ) = a + bx 0 ± t (α,ν) s ɛ 1 n + (x 0 m x ) 2 SCE x Plus la valeur de x 0 est éloignée de la moyenne m x, plus l intervalle de confiance est "large"

36 36 / 65 Intervalle de prévision de y x Valeur prédite Valeur prédite ponctuelle de Y 0 pour X = x 0 : Intervalle de prévision y 0 = a + bx 0 Intervalle de prévision de Y 0 pour X = x 0 : ip (1 α) (Y 0 ) = a + bx 0 ± t (α,ν) s ɛ Remarque L ip (1 α) (Y 0 ) est plus "large" que l ic (1 α) (µ 0 ) n + (x 0 m x ) 2 SCE x

37 Utilisation de R Exemple Un modèle rongeur de tumeur solide est utilisé et on souhaite étudier si la dose d anticancéreux A administrée à un groupe de 15 souris influence la durée de vie de ces souris. On administre donc 15 doses différentes d anticancéreux à ces souris et le nombre de jours de survie de ces souris est ensuite recensé. La survie est-elle liée linéairement à la dose d anticancéreux administrée au risque 5%? Commandes R Soit "dose" le vecteur contenant les 15 valeurs de doses et "survie" le vecteur contenant les 15 valeurs de survie correspondantes. Il faut commencer par visualiser les données (la survie en fonction de la dose) 37 / 65

38 Utilisation de R Visualisation des données : plot(dose,survie) survie dose Interprétation Possibilité d envisager un modèle linéaire du type : Y = α + βx + ɛ avec ɛ N (0, σ ɛ ) Y : survie (variable quantitative) X : dose (variable quantitative) 38 / 65

39 39 / 65 Utilisation de R Régression : commandes R Commande reg<-lm(survie~dose) Commande reg : Call: lm(formula = survie Coefficients: (Intercept) dose dose) Interprétation La droite de régression a pour équation : Y = X

40 40 / 65 Utilisation de R Options de la fonction lm formula : quand il y a plusieurs variables explicatives, cette option permet de prendre en compte les interactions weights : permet de prendre en compte des poids si on souhaite faire une régression pondérée na.action : indique ce qu il faut faire s il manque une donnée dans la liste method : permet de préciser la méthode à utiliser pour faire la régression (par défaut méthode "qr") model, x, y, qr : paramètres logiques : si = TRUE, le logiciel donne les détails demandés autres options

41 41 / 65 Utilisation de R Résultat de la commande summary(reg) Call: lm(formula = survie ~dose) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-16 *** dose e-12 *** -- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 13 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 13 DF, p-value: 7.563e-12

42 Utilisation de R Interprétation Distribution des résidus min-max 1 er, 2 nd et 3 ème quartile Ordonnée à l origine (intercept) : Valeur estimée a et écart-type estimé s A Test de comparaison de l ordonnée à l origine α à la valeur nulle (test t) : p value < (rejet de H 0 ) ordonnée à l origine significativement différente de zéro au risque 1 pour mille (10 3 ) Pente (dose) : Valeur estimée b et écart-type estimé sb Test de comparaison de la pente β à la valeur nulle (test t) : p value < (rejet de H 0 ) pente significativement différente de zéro au risque 1 pour mille (10 3 ) 42 / 65

43 43 / 65 Utilisation de R Interprétation (suite) Valeurs de r 2 et r 2 a : r 2 = r 2 a = valeurs très proches de 1 Test de Fisher (ANOVA) : p value < (rejet de H 0 ) influence significative de X sur Y (= de la dose sur la survie) au risque 1 pour mille (10 3 ) Remarque Détails du test de Fisher obtenus avec les commandes aov(reg) et anova(reg)

44 Utilisation de R Résultat de la commande anova(reg) Analysis of Variance Table Response: survie Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) dose e-12 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Résultat de la commande aov(reg) Call: aov(formula = reg) Terms: dose Residuals Sum of Squares Deg. of Freedom 1 13 Residual standard error: Estimated effects may be unbalanced 44 / 65

45 45 / 65 Utilisation de R Validation du modèle Visualisation des résidus qqnorm(residuals(reg)) qqline(residuals(reg)) fitted(reg),residuals(reg) plotresid(reg) du package RVAideMemoire Graphe 1 : résidus en fonction des valeurs prédites Graphe 2 : qq-plot des résidus Test de Shapiro-Wilk sur les résidus

46 46 / 65 Utilisation de R Visualisation des résidus Residuals vs fitted Normal Q Q Plot Residuals Sample Quantiles Fitted values Theoretical Quantiles

47 47 / 65 Utilisation de R Interprétation Graphe 1 : Homoscédasticité et indépendance : Equivariance acceptée quand la dispersion verticale des points est à peu près constante sur toute la longueur de l axe des abscisses Indépendance acceptée lorsque l orientation du nuage de points est horizontale Graphe 2 : Normalité des résidus : Normalité acceptée lorsque les points sont à peu près alignés sur une droite Test de Shapiro-Wilk : Normalité des résidus Exemple Normalité, espérance nulle, homoscédasticité et indépendance des résidus modèle linéaire accepté

48 Utilisation de R Validation du modèle Visualisation des résidus Fonctions par(mfrow = c(2, 2)) puis plot(reg, 1:4) 4 graphiques Graphe 1 : résidus en fonction des valeurs prédites Graphe 2 : qq-plot des résidus Graphe 3 : résidus standardisés en fonction des valeurs prédites Graphe 4 : distances de Cook Graphe des distances de Cook Il donne pour chacun des points de mesure la distance entre les paramètres estimées par la régression avec et sans ce point. Si l importance du rôle de chaque point est concentrée sur quelques valeurs, la régression n est pas bonne (prise en compte de points aberrants). 48 / 65

49 Utilisation de R Autres commandes residuals(reg) : permet de visualiser les valeurs des résidus coefficients(reg) : permet de visualiser les valeurs des paramètres estimés a et b fitted.values(reg) ou predict(reg) : permet de visualiser les valeurs des Ŷi (Y i estimés) confint(reg) : donne les intervalles de confiance des paramètres estimés a et b 49 / 65

50 50 / 65 Utilisation de R Autres commandes (suite) ind.contrib(regression) du package RAIdeMemoire : permet de détecter la présence d individus extrême auxquels la régression est très sensible (calcul de la valeur des paramètres de la droite de régression en enlevant à tour de rôle chaque individu) predict(reg,...) : permet de calculer la valeur d une prédiction Ŷi en fonction d une valeur de X

51 51 / 65 Autres types de régressions Exemples Régression linéaire pondérée Régression multiple Régression non linéaire Régression logistique

52 Régression pondérée Définition La régression pondérée est utilisée quand les variances résiduelles σ 2 ɛi diffèrent selon la mesure Y i. Méthode Selon la méthode de l estimation du maximum de vraisemblance, les paramètres estimés a et b vont être déterminés en minimisant la fonction suivante : i 1 (Y i (a + bx i )) 2 = i σ 2 ɛi w i (Y i (a + bx i )) 2 σ 2 ɛi : variance résiduelle affectant la mesure Y i w i : poids de la mesure Y i 52 / 65

53 53 / 65 Régression multiple Définition (cf. cours statistiques multivariées) Etude de la liaison entre une variable quantitative Y et un ensemble de variables quantitatives X 1,...X k. Modèle β j : paramètres fixes Y = α + β 1 X β k X k + ɛ ɛ N (0, σ ɛ )

54 54 / 65 Régression multiple Remarques Si variables explicatives qualitatives : utilisation d indicatrices pour les modalités de ces variables Possibilité de prendre en compte des interactions entre les variables explicatives Objectif Détermination de la (ou des) variable(s) explicative(s) (et/ou de leurs interactions) qui ont de l influence sur la variable à expliquer.

55 Régression non linéaire Définition Etude de la liaison non linéaire entre une variable quantitative Y et une ou plusieurs variables quantitatives X 1,...X k. Modèle θ vecteur de paramètres Y = f (θ, X) + ɛ ɛ N (0, σ ɛ ) 55 / 65

56 56 / 65 Régression non linéaire Méthode On cherche à se ramener à une fonction affine (linéaire) pour faire l étude. changement de variable Changement de variable sur X et/ou sur Y Famille Fonctions Transformation Forme affine Exonentielle y = ae bx y = ln(y) y = ln(a) + bx Puissance y = ax b y = ln(y) et x = ln(x) y = ln(a) + bx Inverse y = a + b x x = 1 x y = a + bx Logistique y = 1 1+e (ax+b) y = ln ( y 1 y ) y = ax + b

57 57 / 65 Régression logistique Définition Etude de la liaison entre une variable qualitative Y et une ou plusieurs variables quantitatives X 1,...X k. Remarque Quand variables explicatives qualitatives : utilisation d indicatrices pour les modalités de ces variables Régression logistique binaire Etude de la liaison entre une variable binaire Y et une ou plusieurs variables X i quantitatives ou qualitatives

58 58 / 65 Régression logistique binaire Exemple On souhaite étudier s il existe une relation entre la prévalence du cancer du poumon et le fait de fumer ainsi que l âge. Y : "avoir le cancer du poumon" variable qualitative binaire X 1 : "être fumeur" variable qualitative binaire X 2 : "age" variable quantitative continue modèle logistique

59 Régression logistique binaire Notations Y : absence/présence d une maladie M + : malade, M : non malade p(x) = P(M + /X = x) : probabilité d être malade (prévalence de la maladie) sachant que X = x X i : facteurs de risque de la maladie Modèle avec une variable explicative X p x = P(M + /X = x) = e (α+βx) fonction logistique p x = P(M + /X = x) = e(α+βx) 1 + e (α+βx) 59 / 65

60 60 / 65 Régression logistique binaire Transformation : fonction Logit ( ) px logit(p x ) = ln = α + βx 1 p x fonction linéaire Estimation des paramètres Utilisation de la méthode du maximum de vraisemblance

61 61 / 65 Régression logistique binaire Cas d une variable explicative binaire Probabilité d avoir la maladie sachant que l on a le facteur de risque : p 1 = P(M + /X = 1) = e (α+β) Probabilité d avoir la maladie sachant que l on n a pas le facteur de risque Remarque p 0 = P(M + /X = 0) = e α Le modèle logistique va permettre d exprimer l association entre la maladie et l exposition au facteur étudié au moyen de l odd ratio (OR), indicateur très fréquemment employé en épidémiologie.

62 Régression logistique binaire Définition de l OR OR = rapport des chances (RC) Formule OR = p 1 1 p 1 1 p 0 p 0 Relation avec le modèle logistique OR = e β β = ln(or) 62 / 65

63 63 / 65 Régression logistique binaire Test sur β Tester l hypothèse H 0 : β = 0 revient à tester l hypothèse H 0 : OR = 1 Interprétation du OR Si on effectue une étude pour savoir si le fait d être fumeur a une influence sur le fait d avoir un cancer des poumons et que l on obtient OR = 2.4, on en déduit qu un fumeur a 2.4 fois plus de "chance" (risque) d avoir un cancer du poumon

64 Régression logistique binaire Commandes R Utilisation de la fonction glm pour Modèle Linéaire Généralisé Commande R : logis<-glm(y X,family = binomial(link="logit")) Remarque : la loi de distribution des erreurs est une loi binomiale (car variable à expliquer est binaire) Tableau des résultats avec la commande summary(logis) 64 / 65

65 65 / 65 Conclusion Différents types de régressions Régression linéaire / non linéaire Régression pondérée / non pondérée Régression simple (univariée) /multiple (multivariée)