Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 1

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3 Nous avons étudié, en S2, l interaction électrique qui intervient entre deux corps électrisés. Nous allons considérer, à présent, une autre interaction, l interaction magnétique, qui fait intervenir le champ magnétique. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 3

4 La magnétostatique est la partie du magnétisme qui ne fait intervenir que des phénomènes indépendants du temps. Les sources du magnétisme sont soit des aimants permanents immobiles, soit des circuits électriques fermés parcourus par des courants continus. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 4

5 Électrostatique = étude des phénomènes dus aux charges électriques immobiles. En électrostatique, on suppose que : toutes les charges sont au repos, toutes les densités de charges sont constantes dans le temps, les charges sont des sources de champ électrique. En électrostatique, on s intéresse à la détermination : du champ électrique et de ses propriétés, de la distribution de potentiel, de l interaction entre les charges, de la distribution de l énergie électrique dans l espace, de la façon dont les condensateurs stockent de l énergie. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 5

6 Magnétostatique = complément d électrostatique, étude des phénomènes associés au champ magnétique produit par des charges mobiles En magnétostatique, on suppose que : tous les courants électriques sont constants (stationnaires), toutes les densités de courants sont constantes dans le temps, En magnétostatique, on s intéresse à la détermination : du champ magnétique et de ses propriétés, du flux magnétique, des interactions dues au champ magnétique, de la distribution de l énergie magnétique dans l espace. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 6

7 Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 7

8 1 ères sources du champ magnétique Corps naturels (magnétite) ayant la propriété d attirer de petits morceaux de fer. On donne le nom de magnétisme à la cause de cette propriété. L attraction se manifeste seulement dans quelques régions qu on appelle des pôles : pôle nord et pôle sud. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 8

9 L expérience montre que : deux pôles de même nom se repoussent alors que deux pôles, de noms contraires, s attirent; il est impossible de séparer le pôle nord du pôle sud d un aimant. si on casse un aimant en 2 parties, on obtient 2 autres petits aimants ayant chacun un pôle nord et un pôle sud. Si on répète cette opération, on obtient, à chaque fois, des aimants de plus en plus petits dotés chacun d un pôle nord et d un pôle sud. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 9

10 Les aimants usuels: le barreau aimanté, l aiguille aimantée (boussole), l aimant en U. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 10

11 Pôle magnétique nord proche du pôle géographique sud. Pôle magnétique sud proche du pôle géographique nord. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 11

12 Oersted plaça l'aiguille aimantée d'une boussole directement en dessous d'un long fil conducteur horizontal. Initialement, l'aiguille, orientée par le champ terrestre, reste en équilibre. Quand le fil fut relié aux bornes d'une source de courant, l'aiguille de la boussole pivota vers une direction presque perpendiculairement au fil. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 12

13 Donc, le passage d'un courant dans un fil conducteur modifie les propriétés de l'espace proche du fil. Cette modification est traduite par les forces qui obligent la boussole à tourner et est caractérisée par le vecteur B (ou bien le vecteur magnétique: appelé induction magnétique B = μ 0 H H appelé excitation I Fil conducteur aiguille la perméabilité du vide μ 0 = 4π10 7 T.m/A ou encore 4π10 7 N/A 2 Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 13

14 Le voisinage d un circuit électrique est caractérisé par l existence d un champ magnétique de la même manière qu un champ gravitationnel existe au voisinage de la terre et un champ électrique autour d une charge électrique. De même, il existe au voisinage d un aimant un champ magnétique. En physique, le champ magnétique est une grandeur ayant le caractère d'un champ vectoriel, c'est-à-dire caractérisée par la donnée d'une intensité et d'une direction, définie en tout point de l'espace, permettant de modéliser et quantifier les effets magnétiques du courant électrique ou des matériaux magnétiques comme les aimants permanents. Wikipédia Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 14

15 Expérience de la limaille de fer = aimant plongé dans de la limaille de fer Les grains de limaille placés dans le champ du barreau s aimantent par influence. Chaque grain devient un petit aimant qui s oriente dans la direction du vecteur Les attractions entre pôles de noms contraires disposent bout à bout les grains successifs et dessinent les lignes du spectre magnétique. B d induction magnétique. Les lignes le long desquelles se répartit la limaille de fer sont appelées lignes de champ magnétique ou lignes d induction. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 15

16 La direction du vecteur d induction magnétique B est tangente en chaque point à la ligne d induction, le sens du vecteur d induction magnétique B est celui des lignes d induction d un aimant qui sortent du pôle nord et entrent au pôle sud, Lignes de champ magnétique autour d un aimant en forme de barreau allongé. l intensité de B est donnée par la densité de lignes de champ. Elle s exprime en Tesla (T). On utilise aussi un sous-multiple : le gauss. 1T = 10 4 G = 1N. A 1. m 1 Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 16

17 Ordre de grandeur : 1. Le champ magnétique terrestre a une intensité de l ordre de T. 2. Electro-aimant dans l entrefer (bobines de Helmholtz) : 0.1T à 2T. 3. Un aimant NdFeB (néodyme-fer-bore) de la taille d'une pièce de monnaie (créant un champ de l'ordre de 1,25 T) peut soulever un objet de 9 kg et effacer les informations stockées sur une carte de crédit ou une disquette. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 17

18 Remarques : 1. Les lignes de champ magnétique forment des boucles fermées. 2. Plus les courbes sont serrées, plus l'intensité du champ magnétique est grande. 3. Deux lignes de champ ne se coupent jamais. Lignes de champs magnétiques dues à un aimant en U Lignes de champs magnétiques dues à un fil conducteur parcouru par un courant. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 18

19 Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 19

20 La combinaison du champ électrique et du champ magnétique permet de définir un nouveau champ dit champ électromagnétique, d où le nom de théorie de l électromagnétisme ou électromagnétisme. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 20

21 Une charge q, ayant une vitesse à un champ électromagnétique v E, B soumis subit une force constituée de deux composantes : Une composante électrique, la force de Coulomb : F e = qe Une composante magnétique : F m = qv B La résultante des deux composantes constitue la force de Lorentz : F = q(e + v B) Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 21

22 La force électrique permet d accélérer uniformément la charge q. Il peut également dévier sa trajectoire (oscilloscope). La force magnétique permet de faire circuler la charge q sur une trajectoire circulaire. La force de Lorentz permet de faire animer la charge q d un mouvement hélicoïdale. E Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 22

23 Cas d une charge ponctuelle C est la force exercée par un champ magnétique B sur une charge q ayant une vitesse v : F m = qv B Remarques : 1. Le module est proportionnel à B et à v. F m F m 2. est nul soit lorsque la charge est au repos soit lorsque les vecteurs et sont colinéaires. F m 3. est à la fois perpendiculaire aux B v vecteurs et. La force F m B v n effectue pas de travail. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 23

24 Cas d une portion de circuit électrique parcourue par un courant I n porteurs de charges par unité de volume (densité). Chaque porteur transporte une charge q et se déplace à la vitesse. Pendant temps dt, toutes les particules contenues dans le volume S.v.dt traversent la section S. Donc, le nombre de particules dans le volume S. vdt est : et la charge totale est : dq dt v dq = qns. vdt volume S. dl = S. vdt ns. vdt = qns. v = I : le courant circulant dans le fil Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 24

25 Dans la portion de fil, chaque charge q i subit une force magnétique : F mi = qv B Donc, la force subie par toute la portion est : Or qns. v = I F = Il B F = nsl(qv B) D une manière générale, un élément de courant dans une région où règne le champ magnétique part de celui-ci l élément de force : Idl B se trouvant subit de la df = Idl B C est la loi de Laplace Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 25

26 Exemples : Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 26

27 Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 27

28 Le champ magnétique créé en un point M par une charge q située en un point P animée d une v vitesse dans un référentiel galiléen vaut : B(M) = μ 0 qv u 4π r 2 Le champ est perpendiculaire au plan formé par (v, u). μ 0 est la perméabilité du vide, il définit la capacité du vide à laisser passer le champ magnétique. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 28

29 Principe de superposition : s il existe 2 charges ou plus en mouvement alors le champ magnétique créé en un point M est la somme vectorielle des champs créés par chaque charge. Soient n particules, chacune porte la charge q et animée d une vitesse v. Le champ magnétique créé par les n charges en un point M est donné par : B(M) = μ 0 4π n i=1 qv u i r i 2 Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 29

30 Distribution volumique de charges Pour un très grand nombre de charges contenues dans un volume V, l expression donnant le champ magnétique devient: B(M) = μ 0 4π V dqv u r 2 Si on considère la densité volumique de charges densité volumique de courant j : ρ = dq dτ j = ρv B(M) = μ 0 4π V dqv = ρdτv = ρvdτ = jdτ j u r 2 dτ ρ et la Relation générale, valable quelque soit la forme du conducteur. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 30

31 On considère un circuit filiforme de section S (S négligeable devant sa longueur) parcouru par un courant continu I : Chaque élément de courant Idl centré sur un point P orienté dans le sens de I crée un champ élémentaire en M donné par : db(m) = μ 0 4π j u dτ u = PM PM r = PM Or jdτ = I. S. dl S r 2 Soit : db(m) = μ 0 Idl u 4π r 2 C est la formule de Biot et Savart Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 31

32 Le champ créé par tout le fil est la somme de toutes les contributions, soit : B(M) = fil db(m) = μ 0 4π fil Idl u r 2 La loi de Biot et Savart permet d effectuer un calcul direct du champ B créé par une distribution de courants. Le vecteur a le même sens et la même direction que le courant I. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 32

33 Le courant entre par la base du pouce et ressort par son extrémité, l index indique le sens du vecteur le sens de B est donné par le majeur. Le pouce, l index et le majeur formant une base orthogonale directe. PM et Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 33

34 Champ créé par un fil rectiligne infini On considère un fil infiniment long parcouru par un courant d intensité I. On cherche le champ magnétique créé en un point M distant de ρ du fil. L élément de courant le champ élémentaire : Idz db(m) = μ 0 Idz u 4π r 2 situé en P crée dz z β ρ α u θ u ρ u = PM PM = μ 0 Idz sinβ 4π r 2 u θ cosα Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 34

35 Moyennant les relations : z = ρtgα dz = cosα = ρ r ρdα cosα 2 d z z β on peut écrire : db(m) = μ 0 Icosαdα u 4π ρ θ Le champ créé par tout le fil est : B(M) = fil db(m) = μ 0I 4πρ π 2 π 2 cosα dα u θ ρ α u θ u ρ B(M) = μ 0I 2πρ u θ Le champ magnétique est orthoradial Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 35

36 Champ magnétique créé par une spire circulaire On considère une spire circulaire de rayon R parcourue par un courant d intensité I. On cherche le champ magnétique créé en un point M de l axe de la spire. Un élément de fil dl en un point P de la spire crée un champ élémentaire un point M de l axe : db en db(m) = μ 0 Idl PM 4π PM 3 Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 36

37 L étude des propriétés de symétrie du système permet de trouver la direction du champ sur l axe. Si l on considère deux éléments de fil situés de façon symétrique par rapport à l axe en deux points P 1 et P 2, les champs créés et seront symétriques par rapport à l axe. Leur somme sera donc sur l axe. db 1 db 2 Seule compte la projection selon l axe (Oz), puisque les composantes perpendiculaires à cet axe s annulent deux à deux. l élément de champ projeté sur l axe est : db z M = μ 0 4π I dl PM PM 3 sinα = μ 0 Idl 4π r 2 sinα Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 37

38 Le champ total est donc : B M = μ 0I 4πr 2 sinα spire dl = μ 0I 4πr 2 sinα2πr = μ 0I 2r 2 Rsinα B(M) = μ 0I 2R sin3 α α est l angle sous lequel on voit la spire à partir du point M. En fonction de l abscisse z du point M, l expression du vecteur champ devient : B(M) = μ 0I 2R z2 (1 + R 2) 3 2 u z Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 38

39 Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 39

40 Il exprime une relation entre le champ magnétique et ses sources. C est l équivalent du théorème de Gauss en électrostatique. Il permet une détermination rapide du champ magnétique pour des distributions de courants de symétries élevées. Contrairement à la loi de Biot et Savart, il ne nous renseigne ni sur la direction, ni sur le sens de B. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 40

41 Enonce du théorème d Ampère La circulation du champ magnétique le long d un contour fermé Г orienté est égale à la somme des intensités algébriques des courants qui traversent toute surface s appuyant sur Г multipliée par μ 0. Г Γ B. dl = μ 0 ε k I k k ε k = 1, si I k traverse S orienté par Г dans le sens positif. ε k = -1, si I k traverse S orienté par Г dans le sens négatif. Γ B. dl = μ 0 (I 1 I 2 + 2I 3 + I 4 I 5 + I 5 ) Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 41

42 Remarques La circulation du champ magnétique n est pas conservative. Contrairement au champ électrostatique, le champ magnétique ne dérive pas d un potentiel scalaire. Pour appliquer le théorème d Ampère, il faut en premier lieu déterminer la forme du champ à l aide des considérations de symétrie, puis procéder selon les étapes suivantes : Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 42

43 choisir le contour d Ampère convenablement aux symétries du problème ; ce choix doit permettre un calcul simple du produit scalaire B. dl, orienter le contour d Ampère ; cette orientation arbitraire définit le sens du vecteur n normal à la surface s appuyant sur le contour d Ampère. calculer la circulation de B, en déduire l intensité de B, n Orientation du contour d Ampère fermé et de sa normale. n Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 43

44 C est une grandeur physique mesurable caractérisant l'intensité et la répartition spatiale du champ magnétique. Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 45