Chapitre 10 - Séries de Fourier - Cours. 1. Fonctions dénies par morceaux

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1 Chpitre 1 - Séries de Fourier - Cours Lcée Blise Pscl - SI - Jérôme Von Buhren - Chpitre 1 Séries de Fourier Nottion : Dns tout le chpitre, on e un réel > et on note ω =. 1. Fonctions dénies pr morceu Dénition 1 (Régulrité pr morceu d'une fonction sur un segment). Une fonction f : [, b] R est dite continue pr morceu (respectivement de clsse C 1 pr morceu) sur [, b] s'il eiste une subdivision = < < n = b telle que l restriction de f à chque intervlle ] i, i+1 [ soit prolongeble comme fonction continue (respectivement de clsse C 1 ) sur [ i, i+1 ]. Eemple 1 L fonction du premier grphe ci-dessous est continue pr morceu, mis elle n'est ps de clsse C 1 pr morceu, cr s restriction à [ 1, ] dmet une tngente verticle en = 1. L fonction du second grphe ci-dessous est de clsse C 1 pr morceu. Dénition (Régulrité pr morceu d'une fonction périodique). Une fonction -périodique f : R R est dite continue pr morceu (respectivement de clsse C 1 pr morceu) si elle est continue pr morceu (respectivement de clsse C 1 pr morceu) sur une période. Remrque L'ensemble des fonctions f : R R continues pr morceu et -périodique est un espce vectoriel. Dénition 3 (Intégrle d'une fonction continue pr morceu). Soit f : [, b] R une fonction continue pr morceu. En reprennt les nottions de l dénition 1, l'intégrle de f sur [, b] est dénie pr n 1 f(t)dt = i= i+1 i f(t)dt. Illustrtion 1 L'intégrle de l première fonction de l'eemple 1 est l'ire lgébrique de l prtie colorée ci-dessous. 1 b 1 b 1 b Remrque 1 L'ensemble des fonctions f : [, b] R continues pr morceu est un espce vectoriel. Remrque 3 L dénition de l'intégrle ne dépend ps de l subdivision que l'on utilise pour clculer les intégrles. 1/5

2 Chpitre 1 - Séries de Fourier - Cours Lcée Blise Pscl - SI - Jérôme Von Buhren - Proposition 1 (Reltion de Chsles). Si f : [, c] R est continue pr morceu et si < b < c, lors c f(t)dt = f(t)dt + c b f(t)dt. Proposition (Propriétés de l'intégrle). Soient f, g : [, b] R continues pr morceu et (λ, µ) R. (i) L'intégrle est linéire (λf + µg)(t)dt = λ (ii) Si f est positive sur [, b], lors (iii) Si f g sur [, b], lors f(t)dt f(t)dt + µ f(t)dt. g(t)dt. g(t)dt. Attention : Si f : [, b] R est continue pr morceu, positive et d'intégrle nulle, on ne peut ps conclure que f est l fonction nulle. On peut pr eemple considérer l fonction dénie pr le grphique ci-dessous.. Coecients et série de Fourier.1. Coecients de Fourier Dénition 4 (Coecients de Fourier trigonométriques). Les coecients de Fourier trigonométriques d'une fonction -périodique et continue pr morceu f : R R sont les réels pour n N (f) = 1 n (f) = f(t)dt, f(t) cos(nωt)dt, b n (f) = f(t) sin(nωt)dt. Remrque 4 ) Qund il n' ps de confusion possible, on note simplement n et b n. b) Comme les fonctions sont -périodiques, on peut clculer les intégrles sur n'importe quel intervlle de longueur. c) Le coecient est l vleur moenne de f sur une période. Eemple Les coecients de Fourier de l fonction -périodique f : R R donnée pr f(t) = t pour t [, [ sont =, n =, b n = ( 1) n+1 n pour n N. b Proposition 3 Soit f : R R une fonction -périodique et continue pr morceu. (i) Si f est pire, lors pour tout n N, b n =. (ii) Si f est impire, lors pour tout n N, n =. (iii) Si f vérie pour tout R l reltion f(+ ) = f(), lors pour tout n N, = n = b n =. /5

3 Chpitre 1 - Séries de Fourier - Cours Lcée Blise Pscl - SI - Jérôme Von Buhren - Eemple 3 Une fonction vérint l'hpothèse du point (iii) est ppelée une smétrie de glissement. Voici les grphes de deu telles fonctions. Attention : L série de Fourier n'est ps nécessirement convergente! Eemple 5 L série de Fourier de l fonction de l'eemple est S(f)(t) = ( 1) n+1 n sin(nt). / / 3. Structure préhilbertienne.. Série de Fourier Dénition 5 (Somme prtielle de Fourier). L somme prtielle de Fourier à l'ordre n N d'une fonction -périodique et continue pr morceu f : R R est S n (f)(t) = + n ( k cos(kωt) + b k sin(kωt)). k=1 Eemple 4 En reprennt l fonction de l'eemple, on S 3 (f)(t) = sin(t) sin(t) + 3 sin(3t). Dénition 6 (Série de Fourier). L série de Fourier d'une fonction -périodique et continue pr morceu f : R R est l série S(f)(t) = + ( n cos(nωt) + b n sin(nωt)). Nottion : On désigne pr C (R, R) l'espce vectoriel des fonctions de R dns R continues et -périodiques. Proposition 4 L'ppliction ( ) : C (R, R) C (R, R) R donnée pr (f, g) C (R, R), est un produit sclire sur C (R, R). Corollire 1 (f g) 1 Le couple (C (R, R), ( )) est un espce préhilbertien. f(t)g(t)dt Remrque 5 ) L'epression de l norme ssociée est pour f C (R, R) 1 f = f(t) dt. b) Si les fonctions n'étient que continues pr morceu, l'ppliction ( ) n'est ps un produit sclire : elle ne serit ps dénie positive, mis seulement positive. 3/5

4 Chpitre 1 - Séries de Fourier - Cours Lcée Blise Pscl - SI - Jérôme Von Buhren - Proposition 5 L fmille { t 1, t cos (ωkt), t sin (ωkt) k N } de C (R, R) est orthonormée. Corollire Si f C (R, R), lors l fonction S n (f) est l projection orthogonle de f sur le sous-espce vectoriel P n, = Vect{t 1, t cos(kωt), t sin(kωt) k 1, n }. Corollire 3 Si f C (R, R), on l'églité S n (f) = + 1 n k=1 4. héorèmes de convergence 4.1. Le théorème de Prsevl ( k + b ) k. héorème 1 (héorème de Prsevl). Si f : R R est une fonction -périodique et continue pr morceu sur R, lors les séries n et b n 1 convergent et f(t) dt = + 1 ( n + b ) n. Eemple 6 En ppliqunt le théorème de Prsevl à l fonction de l'eemple, on obtient + 3 = 1 n, 4.. Le théorème de Dirichlet donc 1 n = 6. Dénition 7 (Régulrisée d'une fonction). L régulrisée d'une fonction continue pr morceu f : R R est l fonction f : R R donnée pr f(t) = lim h Remrque 6 Si f est continue, on f = f. ( f(t + h) + f(t h) Illustrtion Voici un eemple de fonction f et de s régulrisée f. ). Grphe d'une fonction f Grphe de f 4/5

5 Chpitre 1 - Séries de Fourier - Cours Lcée Blise Pscl - SI - Jérôme Von Buhren - héorème (héorème de Dirichlet). Si f : R R est une fonction -périodique de clsse C 1 pr morceu sur R, lors l série de Fourier de f converge en tout point de R et S(f) = f. Illustrtion 3 Si on reprend l fonction f de l'eemple, on obtient les grphiques suivnts. Remrque 7 On ne peut ps se psser de l'hpothèse de clsse C 1 pr morceu. Il eiste des fonctions f : R R continues et -périodiques dont l série de Fourier diverge. Eemple 7 En ppliqunt le théorème à l fonction de l'eemple, on obtient f(t) = ( 1) n+1 sin(nt). n Grphe de f Grphe de f Grphe de S 3 (f) Grphe de S 8 (f) 5/5