ESPACES DE SOBOLEV, FORMULATION VARIATIONNELLE DES EDP.

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1 ESPACES DE SOBOLEV, FORMULATION VARIATIONNELLE DES EDP. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 1 / 42

2 PLAN DU COURS 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 () Notion de trace au bord 3 FORMULATION VARIATIONNELLE Problème de Dirichlet Régularité des solutions faibles Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 2 / 42

3 PLAN 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 () Notion de trace au bord 3 FORMULATION VARIATIONNELLE Problème de Dirichlet Régularité des solutions faibles Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 3 / 42

4 DÉFINITIONS. DÉFINITION Un espace de Hilbert est un espace vectoriel H muni d un produit scalaire u, v et qui est complet pour la norme u, u 1/2 Un produit scalaire u, v est une forme bilinéaire de H H dans R symétrique, définie positive. THÉORÈME DE PROJECTION Soit K H, H Hilbert, K convexe fermé non vide. Alors pour tout u H, il existe v K unique t.q. u v = inf w K De plus v caractérisé par u w = min u w. w K v K, u v, w v 0, w K. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 4 / 42

5 THÉORÈME DE STAMPACCHIA. DÉFINITION Une forme bilinéaire A : H H R est continue s il existe C t.q. pour tout (u, v), A(u, v) C u v ; coercive s il existe α > 0 t.q. pour tout u, A(u, u) α u 2. THÉORÈME Soit A bilinéaire continue et coercive. Soit K convexe fermé non vide. Pour φ H, il existe u K unique t.q. v K, A(u, v u) φ(v u). Si A est symétrique, alors u caractérisé par u K, ( ) 1 1 A(u, u) φ(u) = min A(v, v) φ(v). 2 v K 2 A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 5 / 42

6 THÉORÈME DE LAX-MILGRAM. THÉORÈME Soit A bilinéaire continue et coercive. Pour φ H, il existe u H unique t.q. v H, A(u, v) = φ(v). Si A est symétrique, alors u caractérisé par u H, ( ) 1 1 A(u, u) φ(u) = min A(v, v) φ(v). 2 v K 2 A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 6 / 42

7 PLAN 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 () Notion de trace au bord 3 FORMULATION VARIATIONNELLE Problème de Dirichlet Régularité des solutions faibles Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 7 / 42

8 INTRODUCTION. PROBLÈME : pour c L () et f L 2 () : { u(x) + c(x)u(x) = f (x), x, u(x) = 0, x. INTÉGRATION PAR PARTIES : si u et sont assez réguliers, pour φ Cc () : u(x). φ(x)dx + c(x)u(x)φ(x)dx = f (x)φ(x)dx. RÉGULARITÉ de u : u L 2 () et u (L 2 ()) d espaces de Sobolev. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 8 / 42

9 PLAN 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 () Notion de trace au bord 3 FORMULATION VARIATIONNELLE Problème de Dirichlet Régularité des solutions faibles Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 9 / 42

10 PREMIÈRES DÉFINITIONS. Soit R d ouvert. DÉFINITION L espace de Sobolev H 1 () est défini par { H 1 () = u L 2 (), g 1,..., g d L 2 () t.q. u φ } = g i φ, φ Cc (). x i On pose u x i = g i. NORME : pour u H 1 (), u H 1 () = u 2 + d u x. i 2 i=1 A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 10 / 42

11 REMARQUES. H 1 () est muni du produit scalaire : d u, v H 1 () = u, v L 2 () + u, v x i x L 2 (). i Si u L 2 () C 1 u (), et si L 2 (), alors les deux définitions x i de dérivée coïncident. ( ) 1/2 d Norme équivalente : u u 2 x. i i=1 i=1 Espaces de fonctions-tests : C 1 c () convient aussi. C c () H 1 () et si borné, C 1 () H 1 (). 2 A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 11 / 42

12 RÈGLES DE DÉRIVATION. PROPOSITION (PRODUIT) Soient u et v dans H 1 () L (). Alors uv H 1 () L () et PROPOSITION (COMPOSITION) (uv) = u v + u v. x i x i x i Soient G C 1 (R) t.q. G(0) = 0 et G (s) M, s R ; et u H 1 (). Alors G u H 1 () et (G u) = (G u) u. x i x i A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 12 / 42

13 RÈGLES DE DÉRIVATION. PROPOSITION (CHANGEMENT DE VARIABLES) Soient et deux ouverts de R d et H : une application bijective, x = H(y) t.q. H C 1 ( ), H 1 C 1 (), Jac H L ( ), Jac H 1 L (). Soit u H 1 (). Alors u H H 1 ( ) et j = 1,..., d, y j (u H)(y) = d i=1 u x i (H(y)) H i y j (y). A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 12 / 42

14 ESPACES H m (). Soit m 2 entier. DÉFINITION Espace de Sobolev H m () défini par récurrence H m () = { } u H m 1 u (); H m 1 () x { i = u L 2 (), α t.q. α m, g α L 2 () t.q. } u α φ = ( 1) α g α φ, φ Cc (). On pose α u = g α. NORME : pour u H m (), u H m () = 0 α m α u 2. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 13 / 42

15 ESPACES H m (). PROPOSITION H m () muni du produit scalaire u, v H m () = α u, α v L 2 (), 0 α m est un espace de Hilbert. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 13 / 42

16 PLAN 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 () Notion de trace au bord 3 FORMULATION VARIATIONNELLE Problème de Dirichlet Régularité des solutions faibles Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 14 / 42

17 CAS OÙ = R d ET 2 < d. THÉORÈME (SOBOLEV, GAGLIARDO, NIRENBERG) Si 2 < d, alors H 1 (R d ) L p (R d ), avec 1 p = d. Il existe C = C(p, N) t.q. u L p (R) C u L 2, u H1 (R d ). COROLLAIRE Si 2 < d, alors H 1 (R d ) L q (R d ), pour tout q [2, p ] avec injection continue. COROLLAIRE H 1 (R 2 ) L q (R 2 ), pour tout q [2, + [ avec injection continue. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 15 / 42

18 CAS OÙ = R. THÉORÈME (MORREY) Alors H 1 (R) L (R), avec injection continue. De plus pour tout u H 1 (R) : u(x) u(y) C x y 1/2 u L 2, p.p. x, y R. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 16 / 42

19 CAS OÙ = R d. COROLLAIRE (ESPACES H m ) Soient m 1 entier. Avec injections continues : Si 1 2 m d > 0, alors Hm (R d ) L q (R d ) où 1 q = 1 2 m d. Si 1 2 m d = 0, alors Hm (R d ) L q (R d ), q [2, + [. Si 1 2 m d < 0, alors Hm (R d ) L (R d ). De plus si m d > 0 non entier, k = [m d/2] et θ = m d/2 k, 2 H m (R d ) C k (R d ) et : α u L C u H m, α avec α k α u(x) α u(y) C u H m x y θ, p.p. x, y R d. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 17 / 42

20 CAS OÙ R d. HYPOTHÈSES : ouvert de classe C 1 avec borné, = R d + = {x = (x 1,..., x d ) R d, x d > 0}. COROLLAIRE Avec injections continues : Si 2 < d, alors H 1 () L p () où 1 p = d. Si d = 2, alors H 1 () L q (), q [2, + [. Si d = 1, alors H 1 () L (). De plus si d = 1 pour tout u H 1 () : u(x) u(y) C u H 1 x y 1/2, p.p. x, y. Donc H 1 () C(). A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 18 / 42

21 CAS OÙ R d. HYPOTHÈSES : ouvert de classe C 1 avec borné, = R d + = {x = (x 1,..., x d ) R d, x d > 0}. COROLLAIRE Les conclusions du corollaire (Espaces H m ) restent vraies en remplaçant R d par. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 18 / 42

22 PLAN 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 () Notion de trace au bord 3 FORMULATION VARIATIONNELLE Problème de Dirichlet Régularité des solutions faibles Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 19 / 42

23 DÉFINITION. DÉFINITION H 1 0 () désigne la fermeture de C1 c () dans H 1 (). PROPOSITION H 1 0 () muni de la norme induite par H1 () est un espace de Hilbert séparable. REMARQUE Si = R d, H0 1(Rd ) = H 1 (R d ). En général, H0 1() H1 (). H0 1() est aussi la fermeture de C c (). A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 20 / 42

24 COMPORTEMENT AU BORD. THÉORÈME Soit ouvert de classe C 1. Soit u H 1 () C(). Alors : PROPOSITION u = 0 sur u H 1 0 (). On suppose de classe C 1. Soit u L 2 (). Alors équivalence entre u H 1 0 () ; il existe une constante C t.q. : u φ x C φ 2, φ Cc 1 (R d ), i = 1,..., d; i la fonction u(x) = u(x) pour x et u(x) = 0 pour x R d \ est dans H 1 () et u = u. x i x i A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 21 / 42

25 INÉGALITÉ DE POINCARÉ. THÉORÈME Soit ouvert borné (ou borné dans une direction). Alors il existe C = C() t.q. u 2 C u 2, u H0 1 (). Donc u 2 est une norme sur H0 1() équivalente à la norme u H 1. Autrement dit, u v est un produit scalaire qui induit la norme u 2 équivalente à u H 1. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 22 / 42

26 PLAN 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 () Notion de trace au bord 3 FORMULATION VARIATIONNELLE Problème de Dirichlet Régularité des solutions faibles Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 23 / 42

27 CAS OÙ = R d +. LEMME Il existe une constante C t.q. pour tout u Cc 1 (R d ) : ( u(x, 0) ) 1/2 2 dx C u H 1(). R d 1 DÉFINITION γ 0 : C 1 c (R d ) L 2 ( ) qui à u associe u, avec = R d 1 {0}, est continu. Donc se prolonge en un opérateur linéaire continu de H 1 () dans L 2 ( ). Cet opérateur est la trace sur. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 24 / 42

28 CAS D UN OUVERT BORNÉ RÉGULIER. Si est une ouvert borné de classe C 1, alors il existe γ 0 : H 1 () L 2 ( ) opérateur linéaire continu t.q. 1 noyau de γ 0 = H 1 0 () ; 2 image de γ 0 : W 1/2,2 ( ) et W 1/2,2 () = u W 1/2,2 ( ) C u H 1 (). { u L 2 (), u(x) u(y) x y (d+1)/2 L2 ( ) }. 3 Formule de Green : pour u et v dans H 1 () : u v = u v + (uv)(σ)(ν.e i )(σ)dσ. x i x i Pour u et v dans H 2 () : ( u)v = u u v ν (σ)v(σ)dσ. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 25 / 42

29 PLAN 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 () Notion de trace au bord 3 FORMULATION VARIATIONNELLE Problème de Dirichlet Régularité des solutions faibles Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 26 / 42

30 PLAN 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 () Notion de trace au bord 3 FORMULATION VARIATIONNELLE Problème de Dirichlet Régularité des solutions faibles Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 27 / 42

31 INTRODUCTION. PROBLÈME DE DIRICHLET HOMOGÈNE : pour ouvert borné de classe C 1, c L () et f L 2 () : (1) { u(x) + c(x)u(x) = f (x), x, u(x) = 0, x. DÉFINITION LEMME Une solution classique est une fonction u C 2 () vérifiant (1). Une solution faible de (1) est une fonction u H0 1 () t.q. : v H0 1 (), u. v + cuv = fv. Toute solution classique est une solution faible. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 28 / 42

32 FORMULATION VARIATIONNELLE. PROBLÈME : pour ouvert borné de classe C 1, c L () et f L 2 () : (2) v H0 1 (), A(u, v) = L(v), avec A(u, v) = u. v + cuv, et L(v) = fv. DÉFINITION Le problème (2), dont on cherche une solution dans l espace de Hilbert H0 1 (), est appelé formulation variationnelle du problème (1). PROPOSITION Si u est solution de (2), alors u est solution de (1) presque partout. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 29 / 42

33 PROBLÈME DE DIRICHLET HOMOGÈNE. HYPOTHÈSES : 1 H = H0 1 () : espace de Hilbert. 2 L(v) = fv : forme linéaire continue sur H. 3 A(u, v) = u. v + cuv : forme bilinéaire continue et coercive si c est positive, ou c < 1, où K KP 2 P est la constante dans l inégalité de Poincaré. THÉORÈME (APPLICATION DE LAX-MILGRAM) Il existe une unique solution u H0 1 () au problème (2). De plus u L 2 (). A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 30 / 42

34 PROBLÈME DE DIRICHLET NON HOMOGÈNE. PROBLÈME : ouvert borné de classe C 1, c L () et f L 2 () : { u(x) + c(x)u(x) = f (x), x, (3) u(x) = g, x. HYPOTHÈSE Il existe g H 1 () t.q. γ 0 g = g. C est le cas si : g C 1 ( ) g W 1/2,2 () = H 1/2 (). NOTATION : K = {v H 1 (), v g H0 1 ()}. DÉFINITION On appelle solution faible de (3) toute fonction u K t.q. v H0 1 (), ( u. v + cuv) = fv. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 31 / 42

35 APPLICATION DU THÉORÈME DE STAMPACCHIA. PROPOSITION u K solution faible de (3) si et seulement si v K, A(u, v u) L(v u). ( ) : pour v K, v u H 1 0 (). ( ) : avec v = u ± w et w H0 1 (), v K et ( u.(± w) + cu(±w)) = f (±w). A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 32 / 42

36 APPLICATION DU THÉORÈME DE STAMPACCHIA. HYPOTHÈSES : 1 H = H 1 () : espace de Hilbert. 2 K = {v H 1 (), v g H0 1 ()} convexe fermé non vide de H 1 (). 3 L(v) = fv : forme linéaire continue sur H. 4 A(u, v) = ( u. v + cuv) : forme bilinéaire continue et coercive si c est minorée par une constante strictement positive. THÉORÈME Il existe un unique u K unique t.q. v K, A(u, v u) L(v u). A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 32 / 42

37 AUTRE MÉTHODE PAR RELÈVEMENT. RELÈVEMENT : si on sait calculer g H 1 () t.q. γ 0 g = g, alors chercher u sous la forme u = ũ + g avec ũ H 1 0 (), avec ũ solution de v H 1 0 (), et f + g + c g L 2 (). ( ũ. v + cũv) = EN DIMENSION 1 : g(x) = a + (b a)x. (f + g + c g)v A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 33 / 42

38 PLAN 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 () Notion de trace au bord 3 FORMULATION VARIATIONNELLE Problème de Dirichlet Régularité des solutions faibles Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 34 / 42

39 DANS H m+2 ET C 2. THÉORÈME Soit un ouvert de classe C 2 avec borné (ou = R d +). Soient f L 2 () et u H0 1 () vérifiant : v H0 1 (), ( u. v + uv) = fv. Alors u H 2 () et u H 2 () C() f L 2 (). COROLLAIRE Si est de classe C m+2 et si f H m (), alors u H m+2 () et u H m+2 () C() f H m (). COROLLAIRE Si m > d/2, alors u C 2 (). A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 35 / 42

40 PRINCIPE DU MAXIMUM. THÉORÈME Soient un ouvert de classe C 1, f L 2 () et u H 1 () vérifiant : v H0 1 (), ( u. v + uv) = fv. Alors ( ) min inf u, inf f ( u(x) max sup ) u, sup f. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 36 / 42

41 PLAN 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 () Notion de trace au bord 3 FORMULATION VARIATIONNELLE Problème de Dirichlet Régularité des solutions faibles Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 37 / 42

42 PROBLÈME. DONNÉES : ouvert de R d de classe C avec borné ; Q =]0, T [, Σ =]0, T [ ; u 0 L 2 () ; f L 2 (Q). PROBLÈME : trouver u : [0, + [ R t.q. (4) u u = f t sur Q, (5) u = 0 sur Σ, (6) u(0, x) = u 0 (x) sur. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 38 / 42

43 SOLUTION FAIBLE. POINT DE VUE : une solution faible sera vue comme une fonction u : [0, T ] H0 1 (), avec u(t)(x) = u(t, x). DÉFINITION Une fonction u telle que u L 2 (0, T ; H0 1()), u L 2 (0, T ; L 2 ()), t est une solution faible du problème (4), (5) et (6) si 1 pour tout v H0 1 () et presque tout t [0, T ], u (t, x)v(x)dx + u(t, x) v(x)dx = f (t, x)v(x)dx; t 2 u(0, x) = u 0 (x). A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 39 / 42

44 EXISTENCE ET UNICITÉ. THÉORÈME Il existe une unique fonction u vérifiant (4), (5) et (6) et u C([0, T ]; L 2 ()) L 2 (0, T ; H0 1 ()), u L 2 (0, T ; L 2 ()). t THÉORÈME Si u 0 H0 1(), alors la solution faible vérifie u L (0, T ; H0 1 ()) et u L 2 (0, T ; H 2 ()), avec ( T ) esssup u(t) 2 H 1 0 t T 0 () + u(t) 2 H 2 () + u 0 t (t) 2 dt L 2 () ( ) T C f 2 L 2 () + u 0 2 H0 1(). 0 A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 40 / 42

45 ÉQUATION HOMOGÈNE HYPOTHÈSE : f 0. THÉORÈME Il existe une unique fonction u vérifiant (4), (5) et (6) et u C([0, T ]; L 2 ()) C(]0, T [; H 2 () H 1 0 ()), u C 1 (]0, T [; L 2 ()) ; u C ([ε, T [ ), pour tout ε > 0 ; u L 2 (0, T ; H0 1 ()) avec 1 T 2 u(t ) 2 L 2 () + u(t) 2 L 2 () dt = u 0 2 L 2 (). Si de plus u 0 H 1 0 (), alors u C([0, T ]; H1 0 ()). A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 41 / 42

46 RÉGULARITÉ. THÉORÈME Supposons que u 0 H 2 () et t f L 2 (). Alors u L (0, T ; H 2 ()) ; t u L (0, T ; L 2 ()) L 2 (0, T ; H 1 0 ()) ; 2 t u L 2 (0, T ; L 2 ()), les normes dans ces espaces étant contrôlées par la norme de f H 1 (0, T ; L 2 ()) et la norme de u 0 H 2 (). A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 42 / 42

47 RÉGULARITÉ. RÉGULARITÉ SUPÉRIEURE Supposons que u 0 H 2m+1 () et k t f H2m 2k pour k = 0,..., m. Supposons que les relations de compatibilité soient satisfaites : u 0 H 1 0 () ; g 1 = f (0,.) + u 0 H 1 0 () ; etc. g m = m 1 t f (0,.) + g m 1 H0 1(). Alors pour tout k = 0,..., m : t k u L 2 (0, T ; H 2m+2 2k ()). PROPOSITION Si u 0 L 2 () et f C ([0, T ] ), alors u C ([ε, T ] ) pour tout ε > 0. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 42 / 42

48 RÉGULARITÉ. POUR L ÉQUATION HOMOGÈNE : RÉGULARITÉ SUPÉRIEURE Supposons que u 0 H k () pour tout k et vérifie : u 0 = u 0 =... = j u 0 =... = 0 sur, j. Alors u C ([0, T ] ). A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 42 / 42

A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 1 / 52

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