Licence «Droit Economie Gestion» Magistère «Développement économique»

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1 Licence «Droit Economie Gestion» Magistère «Développement économique» Chapitre 2. Optimisation sous contrainte en équation Pascale Combes Motel Cerdi CNRS Clermont Université

2 Table des matières Table des matières... i Table des illustrations... ii Bibliographie... iii CHAPITRE 2. OPTIMISATION SOUS CONTRAINTE EN EQUATION RAPPELS La méthode de Lagrange Un cas particulier : n variables de choix, une contrainte Le problème posé Exemples max f(x 1, x 2) = x 12 x 2 sous g(x 1, x 2) = 0 défini par 2x x 2 2 = max f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1x 2 x 3 sous g(x 1, x 2, x 3) = 0 défini par 3 - x x x 2 3 = Le cas général : n variables de choix, m contraintes Le problème posé La condition de qualification Exemple Conditions du deuxième ordre Un cas particulier : 2 variables de choix et une contrainte Démarche Interprétation géométrique : la courbure relative des courbes de niveau de la fonction d objectif et de la contrainte Interprétation dans le cas d un problème de maximisation sous une contrainte linéaire : la quasi-concavité de la fonction d objectifs Définition Exemple Interprétation dans le cas d un problème de minimisation avec un objectif linéaire et une contrainte quasi-concave Un cas particulier : n variables de choix, 1 contrainte Le cas général : n variables de choix, m contraintes Démarche Exemples Théorème de l enveloppe et statique comparative Le théorème de l enveloppe Interprétation du multiplicateur Un cas particulier : 2 variables de choix, 1 contrainte, 1 paramètre Exemple Le cas général : n variables de choix et m contraintes Théorème de l enveloppe dans le cas de 2 variables de choix et un paramètre Portée du théorème de l enveloppe Minimisation du coût Allocation efficace des ressources La statique comparative APPLICATION : LE COMPORTEMENT DU PRODUCTEUR i

3 2.1. Conditions du premier et deuxième ordre Les demandes conditionnelles de facteurs Les fonctions de coût Les propriétés des fonctions de demande conditionnelle Homogénéité des fonctions de demande d intrant et de coût Fonction de coût homothétique Fonctions de coûts de long et de court terme EXEMPLES Le théorème de Lagrange Exemples non économiques Exemple Exemple La courbe de Kuznets environnementale Le problème A résoudre Le système de dépense linéaire Les déterminants de l allocation de l aide Quasi-concavité et concavité Quasi-concavité Concavité Interprétation du multiplicateur Allocation efficace des ressources productives Le prix de la pollution Minimisation du coût Cas particuliers Hypothèse d une technologie de production Cobb-Douglas Conditions du premier ordre Condition du second ordre Fonctions de demande et de coût Minimisation du cout à court et à long terme Fonction de coût généralisé de Leontief Maximisation du surplus collectif Exploitation d une ressource naturelle épuisable Table des illustrations Définition 1. Rang d une matrice... 9 Définition 2. Point régulier... 9 Définition 3. Fonction quasi-concave Définition 4. La fonction de coût Définition 5. Fonctions monotones, homothétiques Définition 6. Définition d une fonction concave selon les propriétés de ses dérivées secondes Figure 1. Optimisation sous contrainte en équation : optimum et tangente... 4 ii

4 Figure 2. Fonction d une variable quasi-concavité Figure 3. La minimisation du coût, 2 facteurs de production Figure 4. Effet d une modification de w1 sur les demandes d intrants Figure 5. La fonction de coût de long terme comme courbe enveloppe de fonctions de coût de court terme, évolution en fonction de y Figure 6. La fonction de coût de long terme comme courbe enveloppe de fonctions de coût de court terme, évolution en fonction de w Figure 7. La fonction de coût de long terme comme courbe enveloppe de fonctions de coût de court terme, évolution en fonction de w Figure 8. Géométrie des coûts marginaux de dépollution et niveaux optimaux d émissions Figure 9. Fonctions de coût de court et de long terme en fonction de w Figure 10. Fonctions de coût de court et de long terme en fonction de Y Figure 11. Fonction de production de Leontief Tableau 1. Les variables et paramètres dans un modèle de ménage agricole... 2 Tableau 2. Les fonctions de demande d intrant dans les problèmes de maximisation du profit et de minimisation du coût de production Tableau 3. Allocation efficace des ressources productives dans une économie Théorème 1. Le théorème de Lagrange : n variables et une contrainte... 5 Théorème 2. Le théorème de Lagrange, n variables et m contraintes... 8 Théorème 3. Matrice non singulière... 9 Théorème 4. Condition suffisante du deuxième ordre pour un maximum (minimum), 2 variables et 1 contrainte Théorème 5. Conditions du deuxième ordre, n variables, une contrainte Théorème 6. Conditions du deuxième ordre, n variables, m contraintes, m < n Théorème Théorème 8. Interprétation du multiplicateur de Lagrange, 2 variables de choix, une contrainte Théorème 9. Interprétation du multiplicateur de Lagrange, n variables de choix, m contraintes Théorème 10. Interprétation du multiplicateur de Lagrange, n variables de choix, m contraintes Théorème 11. Les propriétés de la fonction de coût Théorème 12. Le théorème de Shephard Bibliographie Andreoni, J. & Levinson, A., The simple analytics of the environmental Kuznets curve. Journal of Public Economics, 80(2), pp Anon, Lagrange multiplier. Wikipedia, the free encyclopedia. Available at: [Accessed August 10, 2014]. Arrow, K.J. & Enthoven, A.C., Quasi-Concave Programming. Econometrica, 29(4), pp Bardhan, P.K. & Udry, C., Development microeconomics, Oxford University Press, USA. Benjamin, D., Household Composition, Labor Markets, and Labor Demand: Testing for Separation in Agricultural Household Models. Econometrica, 60(2), pp Cadoret, I. et al., Économétrie appliquée: Méthodes - Applications - Corrigés, De Boeck Supérieur. Chong, A. & Gradstein, M., What determines foreign aid? The donors perspective. Journal of Development Economics, 87(1), pp Diewert, W.E., An Application of the Shephard Duality Theorem: A Generalized Leontief Production Function. Journal of Political Economy, 79(3), pp Dixit, A.K., Optimization in Economic Theory 2nd ed., Oxford University Press. Dudley, L. & Montmarquette, C., A Model of the Supply of Bilateral Foreign Aid. The American Economic Review, 66(1), pp Jehle, G.A., Advanced Microeconomic Theory, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall International. Available at: Klein, L.R. & Rubin, H., A Constant-Utility Index of the Cost of Living. The Review of Economic Studies, 15(2), pp Léonard, D. & Long, N. van, Optimal control theory and static optimization in economics, Cambridge: Cambridge University Press. Mishra, S.K., A Brief History of Production Functions. SSRN elibrary. Available at: [Accessed September 17, 2012]. Perman, R. et al., Natural resource and environmental economics 3rd ed., Harlow: Pearson Education. Silberberg, E., The structure of economics: a mathematical analysis 2nd ed., McGraw-Hill Pub. Co. Simon, C.P. & Blume, L., Mathématiques pour économistes, De Boeck Supérieur. iii

5 Tietenberg, T.H. & Lewis, L., Environmental and Natural Resource Economics 9th ed., Pearson. Available at: Truchon, M., Programmation mathématique et théorie économique. L Actualité économique, 64(2), pp Varian, H.R., Analyse microéconomique, Bruxelles: De Boeck Supérieur. iv