Rapport de similitude k =

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1 SAVOIRS Les solides semblables Deux solides sont semblables si l un est un agrandissement, une réduction ou la reproduction exacte de l autre. Par exemple, les homothéties et les reproductions à l échelle produisent des solides semblables. Dans deux solides semblables : les angles homologues sont isométriques ; les mesures des arêtes homologues sont proportionnelles. Le rapport des mesures des arêtes homologues de deux solides semblables est appelé rapport de similitude et s exprime de la façon suivante. Rapport de similitude k = mesure d'une arête du solide image mesure de l'arête homologue du solide initial Dans deux solides semblables : le rapport des aires est égal au carré du rapport de similitude (k 2 ) ; le rapport des volumes est égal au cube du rapport de similitude (k 3 ). Exemple : Les prismes rectangulaires A et A' sont semblables. Rapport de similitude = Rapport des aires = Rapport des volumes = mesure d'une arête du solide image mesure de l'arête homologue du solide initial aire totale du solide image aire totale du solide initial = volume du solide image volume du solide initial = 18 = 3 6 2( ) 2( ) = = 3240 = 27 = = 1332 = 9 =

2 RENFORCEMENT Les solides semblables 1 Complète chacun des tableaux suivants. a) Mesure d un côté du solide initial A Mesure du côté homologue du solide image A' Rapport de similitude Rapport des aires Rapport des volumes 16,6 mm 41,5 mm 24 mm 31 mm b) Mesure d un côté du solide initial A Mesure du côté homologue du solide image A' Rapport de similitude Rapport des aires Rapport des volumes 43,8 m 32,8 m 6,96 m 1,44 5,2 m c) Mesure d un côté du solide initial A Mesure du côté homologue du solide image A' Rapport de similitude Rapport des aires Rapport des volumes 5 cm 8 7 cm cm 2 CHAPITRE 2 Renforcement , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

3 2 Parmi les solides suivants, lesquels sont semblables? A B C D Ab = 129,96 cm 2 V= 8230,8 cm 3 Réponse : 3 Dans chaque cas, sachant que les deux solides sont semblables, détermine la mesure manquante. a) b) AT = 221,8 m 2 AT =? V = 3,5 cm 3 V = 28 cm 3 a =? Réponse : Réponse : 2012, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Test 6 3

4 4 5 Si l on multiplie le diamètre d une boule par 10, par quel nombre sera multiplié le volume de la boule? a) 10 b) 100 c) 1000 d) Dans chaque cas, sachant que les deux solides sont semblables, détermine la mesure manquante. a) b) r =? r = 3,8 cm V = 15 m 3 V = 9 5 m 3 AT = 11,7 m 2 AT =? Réponse : Réponse : 4 CHAPITRE 6 Test , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

5 1. Résous les problèmes suivants en laissant les traces de ta démarche. a) Les hauteurs de deux cylindres semblables sont de 4 et 18 cm. Quelle est la mesure du diamètre du grand cylindre si le petit cylindre a un rayon de 5 cm? b) Deux triangles rectangles sont semblables. Les cathètes du premier triangle mesurent 0,7 dm et 2,4 dm. L hypoténuse du deuxième triangle mesure 35 dm, quelle est la mesure de sa plus grande cathète? 2012, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Test 6 5

6 2. Trouve le rapport de similitude des paires de figures semblables ci-dessous, en considérant chaque fois que la figure de gauche est la figure initiale. a) A = 16 cm 2 12 cm 12 cm b) 12 dm A = 12 dm 2 8 dm c) A = 9 m 2 r = 2 m 6 CHAPITRE 6 Test , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

7 3. Pour chaque situation, détermine le rapport de similitude entre les deux solides semblables. a) b) c) d) 2012, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Test 6 7

8 4. Deux cylindres semblables ont des hauteurs de 4 cm et 16 cm. Quel est le rapport : a) des longueurs? b) des aires? c) des volumes? 5. Les aires latérales de deux prismes semblables sont 36 cm 2 et 49 cm 2. Quel est le rapport : a) des longueurs? b) des aires? c) des volumes? 6. Deux sphères ont des volumes de 10 m 3 et 0,27 cm 3. Quel est le rapport : a) des longueurs? b) des aires? c) des volumes? 8 CHAPITRE 6 Test , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

9 7. L aire latérale d un prisme droit est de 400 cm 2. Un prisme droit semblable a une capacité 125 fois plus grande. a) Trouve le rapport des longueurs et des aires. b) Quelle est l aire latérale du second prisme? c) Quelle est hauteur du petit prisme si le grand a une hauteur de 22 cm? 2012, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Test 6 9

10 8. Voici le volume de deux solides semblables. Trouve le rapport de similitude simplifié. 9. Voici l aire totale de deux cubes semblables. Trouve le rapport des volumes de ces deux solides. 10. Le rapport des volumes de deux cylindres est. La hauteur et le rayon du cylindre image mesurent respectivement 12 cm et 3,4 cm. Calcule l aire totale du cylindre initial. 10 CHAPITRE 6 Test , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

11 11. L aire latérale d une pyramide à base carrée est de m 2. La capacité d une pyramide semblable est 1000 fois plus petite et sa hauteur est de 78 m. a) Quel est le rapport des hauteurs et des aires totales de ces deux pyramides? b) Quelle est la hauteur de la grande pyramide? c) Quelle est l aire latérale de la petite pyramide? 2012, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Test 6 11

12 12. Deux pyramides semblables ont des volumes de 54 m 3 et 128 m 3. a) Quelle est la hauteur de la petite pyramide si celle de la grande pyramide est de 30 m? b) Quelle est l aire latérale de la grande pyramide si celle de la petite pyramide est de 100 m Deux boîtes cadeaux sont semblables et le volume de la première correspond au quart de celui de la seconde. Quelle est, au centième près, l aire totale de la grande boîte si celle de la petite est 125 cm 2? 12 CHAPITRE 6 Test , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

13 14. Deux contenants cylindriques sont semblables. Si les aires des couvercles de ces contenants sont de 50 cm 2 et 32 cm 2. a) Quel est le volume du plus petit contenant si celui du plus grand est de 2000 cm 3? b) Quelle est la hauteur du plus grand contenant si celle du plus petit est de 32 cm? 2012, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Test 6 13

14 15. Les solides ci-dessous sont semblables. Détermine la mesure manquante. a) b) Trouve la hauteur de la grande pyramide. Trouve la hauteur du petit cône. 14 CHAPITRE 6 Test , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

15 c) V = 168 m 3 V =? d) V = 576 m 3 V =? 2012, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Test 6 15

16 e) A = 1512 m 2 A = 42 m 2 f) A = 13,5 cm 2 A = 30,375 cm 2 V =? V = 63 m 3 V = 17 cm 3 V =? 16 CHAPITRE 6 Test , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

17 g) Trouve l aire totale du grand cône dont le rayon est de 9 cm. Le petit cône a une hauteur 3 cm et son volume est de 16π cm , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Test 6 17

18 16. Si le rapport de similitude entre deux pyramides est de a) Quel est le rapport des périmètres de leurs bases? b) Quel est le rapport des aires latérales? c) Quel est le rapport des volumes? 17. Si le rapport des aires entre deux sphères est de a) Quel est le rapport de similitude? b) Quel est le rapport des volumes? 18 CHAPITRE 6 Test , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

19 18. Si le rapport des volumes de deux cylindres est de a) Quel est le rapport des aires? b) Quel est le rapport de similitude? 19. Soit deux boules. La première a une aire de cm 2 et la deuxième a une aire de cm 2. a) Quel est le rapport de similitude? b) Quel est le rapport des aires? c) Quel est le rapport des volumes? 2012, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Test 6 19

20 20. Complète le tableau suivant : 20 CHAPITRE 6 Test , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée