Chapitre 4 : Mouvement des satellites et planètes. I. Quelles sont les caractéristiques d un mouvement circulaire uniforme?

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1 Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes. Objectifs : Quelles sont les crctéristiques d un mouement circulire uniforme? Quelles sont les trois lois de Kepler? Quel est le mouement des plnètes et des stellites? I. Quelles sont les crctéristiques d un mouement circulire uniforme? I.1. Vecteur ccélértion erminle Un mouement est dit circulire uniforme si l trjectoire est un cercle prcouru à une itesse constnte. Attention le ecteur itesse n est ps constnt (ps même direction!!!!) i, en tout point de l trjectoire, le ecteur ccélértion du centre d inertie est rdile (suint le ryon) lors le mouement du centre d inertie est circulire uniforme. L réciproque est rie! Dns ce cs, l ccélértion pour expression :, s leur est constnte et ut : : l itesse du centre d inertie en m s 1 et : le ryon du cercle en m L ccélértion est dite centripète (elle pointe ers le centre du cercle). On prle églement d ccélértion «normle» (c est-à-dire perpendiculire à l trjectoire). I.. Obtention d un mouement circulire uniforme D près l deuxième loi de ewton on sit que m or pour qu un mouement soit circulire uniforme il fut que (ccélértion centripète) donc : Dns un référentiel gliléen, le mouement du centre d inertie d un solide de msse m est circulire uniforme si : - l somme des forces extérieures ext est un ecteur centripète (ou rdil ou norml) - l leur de est constnte et ut : et m (l msse m est exprimée en kg!) C ste (comme l msse de l objet ne rie ps lors l leur de l itesse est constnte : C ste ) 1 / 6 4 ème rtie : Eolution temporelle des systèmes mécniques

2 Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes erminle emrque : si l leur de l itesse n est ps constnte lors l ccélértion et l résultnte des forces d extérieures ne sont plus centripètes, le ecteur ccélértion ur pour expression : + d t II. Quelles sont les trois lois de Kepler? Johnnes Kepler ( ) formule trois lois qui décrient le mouement des plnètes utour du oleil suite ux résultts des obsertions de son mître ycho Brhé ( ). II.1. ppels sur les référentiels éférentiel héliocentrique : repère ynt pour origine le centre du oleil, ses trois xes sont dirigés ers trois étoiles fixes et lointines. éférentiel géocentrique : repère ynt pour origine le centre de l erre, ses trois xes sont dirigés ers trois étoiles fixes. Il est nimé d un mouement de trnsltion circulire pr rpport u référentiel héliocentrique. Vers étoile α oleil Vers étoile β éférentiel héliocentrique Vers étoile γ erre Vers étoile β Vers étoile α Vers étoile γ éférentiel géocentrique II.. remière loi : loi des trjectoires Dns le référentiel héliocentrique, l trjectoire du centre d une plnète est une ellipse dont l un des foyers est le centre du oleil rnd xe de longueur et sont les foyers de l ellipse + érihélie oleil Aphélie Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus. II.. Deuxième loi : loi des ires Le segment de droite relint le oleil,, à l plnète,, (le segment []) blie des ires A égles pendnt des durées Δt égles. t + Δt t A A 1 t 1 t 1 + Δt / 6 4 ème rtie : Eolution temporelle des systèmes mécniques

3 Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes II.4. roisième loi : loi des périodes erminle our toutes les plnètes du système solire, le rpport entre le crré de l période de réolution de l plnète et le cube du demi grnd xe de l orbite elliptique est constnt : est l période de réolution en s est le demi grnd xe en m k k est une constnte indépendnte de l plnète considérée. emrque : l période de réolution d une plnète utour du soleil est l durée pour qu elle effectue un tour complet utour du oleil. III. Quel est le mouement des plnètes et des stellites? III.1. ppel sur l loi de grittion unierselle our expliquer les lois du mouement des plnètes étblies pr Kepler, ewton énoncé l loi de grittion unierselle qui trduit l ttrction de deux corps : L interction grittionnelle entre deux corps ponctuels A et B, de msses respecties m A et m B, est modélisée pr des forces d ttrction grittionnelle A/B et B/A dont les crctéristiques sont : A/B B/A constnte de grittion unierselle m A et m B sont exprimées en kg m A m B 6,67 10 u 11 m est l distnce en m entre les deux centres des corps A et B u L loi s pplique églement pour : kg est un ecteur unitire (norme égle à 1) dirigé de A ers B - des corps à réprtition sphérique de msse, tout se psse comme si l msse étit concentrée u centre du corps c est le cs du oleil, des plnètes, des stellites. - des corps suffismment éloignés l un de l utre de telle sorte que l on puisse négliger leur dimension dent l distnce qui les sépre. B A/B m B. u B/A A m A u / 6 4 ème rtie : Eolution temporelle des systèmes mécniques

4 Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes III.. ouement des plnètes utour du oleil erminle Etudions le mouement d une plnète, de centre de msse m, qui tourne utour du oleil, de centre de msse, dns le référentiel héliocentrique considéré gliléen : L seule force extérieure qui s pplique sur l plnète est l force d ttrction grittionnelle exercée pr le oleil notée /. D près l deuxième loi de ewton on ur insi : / m m m ce qui conduit à u m soit u m ec : distnce entre le centre de l plnète et le centre du oleil en m. lnète u / oleil insi on troue que u donc l ccélértion est rdile (dirigée ers le centre du oleil) Or si l ccélértion est centripète d près le I. on peut écrire que ec itesse de l plnète donc on en déduit que soit donc : L itesse de l plnète est constnte et les deux conditions d un mouement circulire uniforme sont remplies. Ainsi le mouement circulire uniforme est une solution à l deuxième loi de ewton pour le mouement orbitl des plnètes à condition que l itesse du centre d inertie de l plnète érifie l expression : est en kg ; en m et en m s 1. L leur de l itesse de l plnète ne dépend ps de l msse de l plnète mis de l msse du oleil! III.. Expression de l période de réolution L période de réolution (en s) d une plnète utour du oleil est l durée que met l plnète pour effectuer un tour complet utour du oleil à l itesse. En considérnt un mouement circulire (de ryon ) uniforme (à l itesse constnte ) on en déduit que : π or soit π utrement dit : d où : 4 / 6 4 ème rtie : Eolution temporelle des systèmes mécniques

5 Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes en s ; en m et en kg erminle On retroue insi l roisième loi de Kepler (loi des périodes) pour une plnète en mouement circulire uniforme utour du oleil (le demi grnd xe correspond ici u ryon ). emrque : l connissnce de et de permet lors de clculer l msse du oleil! III.4. ouement des stellites utour de l erre Etudions mintennt le cs d un stellite en orbite utour de l erre. On se plcer donc dns le référentiel géocentrique. r nlogie u risonnement tenu dns le prgrphe III.. on troue qu un stellite est en mouement circulire uniforme utour de l erre sur une orbite de ryon à condition que l itesse du stellite érifie l reltion suinte : En ppelnt h l ltitude (en m) du stellite pr rpport à l surfce terrestre on peut écrire que : + h On rélise églement le même risonnement qu u prgrphe III.. et on obtient l reltion qui lie l période de réolution du stellite utour de l erre ec l ltitude à lquelle il se troue : ( + h) L troisième loi de Kepler s pplique églement dns le cs du mouement des stellites utour de l erre! Vitesse et période de réolution du stellite sont indépendnts de l msse du stellite mis dépendent de l msse de l erre et de l ltitude h à lquelle il se troue. our une mise en orbite circulire (ryon ) d un stellite à une ltitude h, s itesse initile de lncement est imposée pr l reltion 0 et son ecteur itesse 0 doit être perpendiculire à l + h direction de l force d ttrction grittionnelle de l erre sur le stellite /. 0 tellite / h erre 5 / 6 4 ème rtie : Eolution temporelle des systèmes mécniques

6 Chpitre 4 : ouement des stellites et plnètes III.5. tellites géosttionnires erminle Un stellite géosttionnire est un stellite qui est toujours positionné u dessus du même point de l surfce terrestre (à l même erticle). Un stellite géosttionnire est un stellite : - qui semble immobile pour un obserteur terrestre ; - qui tourne dns le même sens que celui de l erre utour du même xe de rottion (xe des pôles) - et qui une période de réolution égle à l période de rottion de l erre sur elle-même. our stisfire les conditions citées précédemment, l orbite circulire d un stellite géosttionnire est donc contenue dns le pln équtoril de l erre! Clculons l ltitude à lquelle doit se trouer un stellite pour être géosttionnire : On sit que l période de réolution du stellite est égle à l période de rottion de l erre sur elle-même qui est h 56 mn 04 s s. Or on sit que donc ( + h) ( + h) d où ( 1 + h) et h , , ,58 10 Un stellite géosttionnire se troue à une ltitude d eniron h km u dessus de l surfce terrestre (il se situe donc à une orbite de km pr rpport u centre de l erre). III.6. ouement des stellites utour des utres plnètes Le risonnement tenu dns le cs du mouement des stellites utour de l erre ou des plnètes utour du oleil reste identique dns le cs des stellites qui gritent utour d une plnète quelconque de msse. On retrouer l expression de l roisième de Kepler : étnt le ryon de l orbite du stellite en m est l msse de l plnète en kg. Cette reltion permet de déterminer l msse de l plnète considérée à condition de connître l période de réolution du stellite utour de l plnète et de connître le ryon de l orbite du stellite. III.7. L impesnteur L impesnteur est crctérisée pr l bsence pprente de pesnteur. Exemples : - Une personne dns une cbine d scenseur subit l ction de l ttrction terrestre (son poids) et l réction de l cbine soit + m. Lorsque l cbine tombe en chute libre l personne est lors soumise à l même ccélértion que l cge (chute libre g ) soit 0et l personne semble «flotter» dns l espce de l cbine. - cs d un sptionute qui se troue dns un éhicule sptil en orbite utour de l erre: le éhicule et le sptionute ont l même ccélértion, ils sont tous les deux soumis à l force d ttrction grittionnelle. Le sptionute ur donc le même mouement que s cbine et ne ressent plus les effets de l pesnteur et sembler donc «flotter» dns le éhicule sptil. 7 m 6 / 6 4 ème rtie : Eolution temporelle des systèmes mécniques