I. Les trois lois de Kepler :

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Marie-Thérèse Bénédicte Bertrand
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1 CHAPITRE N 3 PARTIE B MOUVEMENTS DES SATELLITES ET DES PLANETES TS I. Les tois lois de Keple : Au XVIIème siècle, Johannes Keple ( ) constate que les planète tounent autou du soleil selon des tajectoies qui ne sont pas pafaitement ciculaies et énonce tois lois pou décie leu mouvement. Ces tois lois s appliquent dans le éféentiel héliocentique en considéant une planète du système solaie comme le système matéiel étudié èe loi de Keple : la loi des obites : Dans le éféentiel héliocentique, le cente de chaque planète décit une tajectoie elliptique dont le Soleil S est l'un des foyes. Mise à pat Mecue et Pluton, les planètes du système solaie on des tajectoies patiquement ciculaies. Remaque : qu est-ce qu une ellipse au sens mathématiques : Une ellipse est fomée pa l'ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes (les foyes F et F ) est constante : MF + MF' = AA = 2a (AA est le gand axe) On définie l excenticité de l ellipse pa : e= FF AA Si e=0 (FF =0), l ellipse devient un cecle 2. 2 ème loi de Keple : la loi des aies : Le ayon [SP] qui elie la planète P au soleil S balaie des aies égales en des temps égaux. Conséquences : Les aies des tiangles SBC et SDE sont égales. La potion d ellipse BC est pacouue dans le même temps que la potion DE, ce qui implique que la planète va plus vite quand elle est poche d un foye de l ellipse que quand elle est loin. 1

2 3. 3 ème loi de Keple : elation ente la péiode de évolution et le demi gand axe : Le appot ente le caé de la péiode de évolution T d une planète et le cube du demigand axe (a = AA ) de l'obite elliptique est 2 constant : T² a 3 = cst La valeu de la constante ne dépend que du Soleil (pas de la planète considéée) Pou une tajectoie ciculaie : on a T² 3 = cte. II. Le mouvement ciculaie. En pemièe appoximation, la tajectoie des planètes peut ête assimilé à un cecle, et nous veons un peu plus loin que ce mouvement a une paticulaité : il est unifome! 1. Définition : Un mouvement d un point matéiel est ciculaie unifome si sa tajectoie à la fome d un cecle et si la valeu de sa vitesse su la tajectoie est constante. 2. Rappel su la base de Fenet. Le epèe le plus appopié pou étudie ce type de mouvement est le epèe (ou base) de fenet : Le epèe de Fenet a pou oigine le point M en mouvement et compote 2 vecteus unitaie τ et n associé au point M décivant une coube - - τ vecteu tangent à la tajectoie et dans le sens du mouvement n vecteu centipète en M et nomal à la tajectoie (pependiculaie à τ ) diigé ves le cente du cecle O. Les deux axes tounent au même temps que le point matéiel le long de sa tajectoie. 2

3 3. Coodonnées des vecteus positions, vitesse et accéléation Dans le epèe de Fenet les codonnées des vecteus position, vitesse et accéléation d un point animé d un mouvement ciculaie sont : OM =- n v = v τ Soit : a = dv dt τ + v² n OM : 0 - v : v τ=v v n =0 a : a τ = dv dt a n = v² Mouvement ciculaie accéléé Mouvement ciculaie alenti 4. Cas des mouvements ciculaies unifomes Dans un mouvement ciculaie unifome la vitesse est constante, on a donc : dv dt = 0 et a = v² Ce vecteu accéléation possède les caactéistiques suivantes : Point d application : le point matéiel considéé. Diection : nomale à la tajectoie, selon le vecteu nomal n. On pale de diection nomale ou de diection adiale. ( a se confond avec le ayon du cecle) Sens : ves le cente de la tajectoie ciculaie : a est centipète. Sa valeu : a= v² a en m.s - ² ; v en m.s -1 et en m n Si la vitesse est constante su le cecle, le mobile va donc toujous pacoui sa tajectoie dans le même temps : le mouvement est péiodique. La péiode T du mouvement est égale à la duée d un tou : Vitesse = distance temps temps = distance vistesse ; on a donc : T= 2π v 3

4 III. Etude du mouvement d une planète autou du soleil : Réféentiel : héliocentique considéé comme galiléen. Système : la planète considéée. Foce appliquée : la foce de gavitation execée pa le soleil su la planète F S/P =G m Pm S d² 1. Application de la 2 ème loi de Newton et étude du mouvement : Dans la base de Fenet (P, τ, F ext = m P a F ext = m P.(a τ. τ + a n. F S/P. n = m P.(a τ. τ + a n. G m Pm S n = m P.(a τ. τ + a n. 0 G m Pm S = m P. aτ a n 0 G m S = aτ a n Les coodonnées de l accéléation de la planète dans le éféentiel de Fenet sont donc : a : a τ = 0 a n = G m S L accéléation de la planète dans son mouvement est uniquement adiale et centipète. Dans le cas d un mouvement ciculaie unifome, l accéléation est adiale et centipète, le mouvement ciculaie unifome appaaît donc comme l une des solutions de l application de la deuxième loi de Newton à une planète dans son mouvement autou du soleil. Ce qui donne : a : a τ = dv dt = 0 a n = v² = G m S 4

5 2. Retou su la 3ème loi de Keple : Repenons l expession de l accéléation nomale obtenue ci-dessus : v² = G m S (1) D une pat on peut obteni une expession de la vitesse : v = G m S D aute pat on peut etouve la 3 ème loi de Keple : Nous avons vu que l expession de la péiode du mouvement ciculaie unifome est : T= 2π v 4π² T² = G m S 2π d où v= en emplaçant dans l expession (1) on a : T d où T² 3 = 4π² Gm S = cst Cette expession taduit donc la 3ème loi de Keple pou une planète tounant autou du soleil selon une obite ciculaie. La constante ne dépend que de la masse du soleil, aste attacteu. IV. Etude du mouvement des satellites de la tee 1. Mouvement et gandeus caactéistiques : Application de la 2ème loi de Newton au satellite : Réféentiel : pou le tavail su les satellites de la tee on va tavaille dans le éféentiel géocentique considéé comme galiléen. Système : satellite (de masse m et d altitude h) Foce appliquée : la seule foce qui s exece su note système satellite est la foce d attaction gavitationnelle execée pa la tee su le satellite: F T/sat = G m m T (R T +h)² n Cette foce est adiale, diigée ves le cente de la tee, elle nous pemet d obteni (apès application de la deuxième loi de Newton) l expession de l accéléation nomale : a n = G m T (R T +h)² Le mouvement ciculaie unifome est donc aussi une solution possible pou le mouvement d un satellite autou de la tee. Gandeus caactéistiques d un satellite autou de la Tee : Vitesse du satellite : v = G m S R T +h Péiode de évolution du satellite : T= 2π(R T+h) v d où T = 2π (RT+h) 3 Gm T Ces deux gandeus caactéistiques du mouvement du satellite ne dépendent que de l altitude de celui-ci, elles ne dépendent pas de la masse du satellite. 5

6 2. Les satellites géostationnaies : Comme leu nom l indique, ces satellites sont fixes (stationnaie) pa appot à la tee (géo). Pou que ce soit le cas, il faut que : Ils décivent un mouvement ciculaie unifome dans un plan pependiculaie à l axe des pôles teestes. Ils évoluent donc dans un plan contenant l équateu. Qu ils tounent dans le même sens que la tee autou de l axe des ses pôles. Leu péiode de évolution soit exactement égale à la péiode de otation de la tee autou de l axe de ces pôles (24H envion). On peut calcule l altitude à laquelle le satellite doit se situe pou satisfaie cette denièe condition : T² 3 = 4π² Gm T avec =R T +h (3 ème loi de Keple) On a donc : = 3 Gm TT² 4π² = 3 6, , ( )² 4π² = 42, m h = - R T = 42, , = m = 36000km 3. Etat d un cops situé dans un satellite en mouvement autou de la Tee : On suppose que ce cops est tout d abod lié au satellite. Alos losque le satellite est en obite, l objet est animé du même mouvement que le satellite. Si on le libèe à un instant t, celui-ci n est plus soumis qu à la foce de gavitation execée pa la Tee. D apès la loi de Newton, le satellite et l objet qu il contient sont soumis à la même accéléation adiale qui ne dépend que de leu distance au cente de la tee. Comme leu distance au cente de la Tee est égale, ils ont exactement le même mouvement, l objet semble flotte dans le satellite. En fait, ils sont tous les deux animés du même mouvement de chute libe tout autou de la tee. C est l état d impesanteu! Rq : On ne peut pas applique le pincipe d inetie dans le éféentiel du satellite ca celui-ci n est pas galiléen. En effet, l objet est immobile pa appot au satellite, poutant il n est pas soumis à des foces qui se compensent! 6

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