I Suites et intégrales

Transcription

1 Cerale MP U corrigé de Mahémaiques 16 I Suies e iégrales I.A - Éude d'ue iégrale à paramère { [, + [ ], + [ R I.A.1) O cosidère la focio ϕ : x, ) 1 cos i Soi ], + [. La focio x ϕx, ) es coiue sur [, + [. ii Soi x [, + [. La focio ϕx, ) es coiue sur ], + [. iii Soi x [, + [. O cosidère la focio g : 1 cos qui es déie, posiive e coiue sur ], + [ De sore que : e x [, + [, x [, + [, ϕx, ) g) Quad, g) = / + o ) doc g) 1/ Aisi g es prologeable par coiuié e, doc g es iégrable sur ], 1] Pour 1, g) /, or / es iégrable sur [1, + [ doc par comparaiso à ue focio posiive g es iégrable sur [1, + [ Aisi g es iégrable sur ], + [ e o a l'hypohèse de domiaio : Avec i, ii e iii, f : x ϕx, )d es déie e coiue sur [, + [ Moros maiea la classe C de f avec le héorème de Leibiz : i Soi ], + [. La focio x ϕx, ) es de classe C sur ], + [ de dérivées successives : x ϕ cos 1 x, ) = x e x e x ϕ x, ) = 1 cos )e x x ii Soi x [, + [. La focio ϕx, ) es coiue e iégrable sur ], + [ d'après la domiaio précédee. Les focios ϕ x x, ) e ϕ x, ) so coiues sur ], + [. x ϕ ϕ De faço aalogue à ci-dessus : o a lim x, ) = ce qui doe l'iégrabilié de x, ) sur ], 1] x x De plus par croissace comparée lim ϕ ϕ x, ) = doc x, ) = x x o 1/ ) doc par comparaiso à ue focio posiive ϕ x, ) es iégrable sur [1, + [ x aisi ϕ x, ) es iégrable sur ], + [ x iii Soi a < b das ], + [ e o pose G : e a La focio G es coiue sur [, + [ e G) = o 1/ ) doc G es iégrable sur sur [, + [ e o a l'hypohèse de domiaio : Avec i, ii e iii, e o a f : x x [a, b],, f : x ϕx, )d es de classe C sur [, + [ cos 1 e x d e f : x 1 cos )e x d ϕ x, ) x G) I.A.) Pour x 1, je cosidère les focios ψ x : 1 cos e x e g de la quesio précédee. i Pour x 1, ψ x es coiue sur ], + [ 1/1

2 Cerale MP U corrigé de Mahémaiques 16 ii Pour >, lim x ψ x) = doc la famille ψ x ) x 1 coverge simpleme quad x + vers la focio sur ], + [. iii La focio es coiue sur ], + [ iv e o a l'hypohèse de domiaio avec la focio g de la quesio précédee iégrable sur ], + [ : Coclusio : x 1, ], + [, ψ x ) g) Avec i, ii, iii e iv, o peu appliquer l'exesio du héorème de covergece domiée qui doe l'iégrabilié de sur ], + [ e lim x ψ x = Pour la limie de f e +, o uilise égaleme l'exesio du héorème de covergece domiée avec la focio de domiaio cos + 1 e pour x 1 O rouve aisi lim fx) = e lim f x) = x + x + I.A.3) Soi x >. O a f x) = 1 cos )e x d = Re 1 e i )e x) d or 1 e i )e x es iégrable sur ], + [ car coiue e ], + [, 1 e i )e x e x doc f x) = Re or e x e i x) )d = e x e i x) )d [ e i x) x i doc f : x x x sur l'iervalle ], + [ x ] e x = 1 x x i + 1 x = x + i x x = Doc o peu rouver K R el que f : x lx) 1 lx + 1) + K De plus quad x +, o a lx) 1 lx + 1) = 1 ) x l x + 1 x e x + 1 x x = 1 doc x x par composiio 1 ) x l x + 1 doc f x) K doc K = d'après la quesio précédee O e dédui que x >, f x) = lx) 1 lx + 1) I.A.4) O oe g : x x lx) 1 x lx + 1) arcax) + π g es de classe C 1. Soi x > O a g x) = lx) lx + 1) x x +1 1 x +1 = f x) doc o g f es cosae sur ], + [. quad x +, x lx) 1 x lx + 1) = x ) x l x = x + 1 l ) x 1 x doc x lx) 1 x lx + 1) e arcax) + π aisi gx) or fx) x x doc gx) fx)) = aisi x >, fx) = gx) lim x + de plus quad x +, x lx) e 1 x lx + 1) arcax) + π π doc lim x +gx) = π or f e g coïcide sur ], + [ doc limfx) = π or f es coiue sur [, + [ x x /1

3 Cerale MP U corrigé de Mahémaiques 16 Aisi { x >, fx) = x lx) 1 x lx + 1) arcax) + π f) = π I.A.5) O a π = f) = 1 cos u u du Soi s >. La focio s es de classe C 1, sriceme croissae e bijecive de ], + [ sur ], + [ O eecue alors le chageme de variable u = s ; du = sd qui doe l'exisece de la ouvelle iégrale) doc π = 1 coss) s) sd = 1 1 coss) s d doc s = π 1 coss) d e s = s pour s =, c'es évide doc s R +, s = π or les focios s s e s π ce qui doe s R, s = π 1 coss) d so paires 1 coss) d 1 coss) d I.B - Éude d'ue suie d'iégrales I.B.1) Soi N 1 cos ). O cosidère la focio g : qui es coiue sur ], + [ De plus [1, + [, g ) 1 e quad, g ) = 1 1+O )) = O1) comme e I.A.1), o coclu à l'iégrabilié de g sur ], + [ d'où l'exisece de u e u + u = cos ) cos ) + d = d'où l'exisece de la suie u ) N e la croissace de la sous-suie u ) N. I.B.) O a u 1 = e u = doc u = 1 cos d = f) = π 1 cos d or cos = 1 + cos) 1 cos d = 1 cos) d e uilisa I.A.5, o a doc 4 π u = cos ) si ) d O a moré que u 1 = u = π I.C - Calcul d'u équivale de u I.C.1) Soi N. La focio u u/ es de classe C 1, sriceme croissae e bijecive de ], + [ vers ], + [ O eecue le chageme de variable = u/ ; d = du u 3/1

4 Cerale MP U corrigé de Mahémaiques 16 1 cos ) d = 1 cos ) u/) du u doc u = u/ 1 cos ) u/) O a moré que N, u = v avec v = u du u I.C.) Soi N. O cosidère la focio ϕ : u cos ) u/) Soi u ], 1]. O a ϕ u) = u si u/) cos ) 1 u/) doc ϕ si u/) cos 1 siθ) u) = u/) u/ θ où θ = u/ Par iégalié de covexié, o a 1 doc a ϕ u) 1 siθ) θ doc par iégalié des accroissemes is appliquée à ϕ es coiue sur [, 1] e dérivable sur ], 1] o a ϕ) ϕu) 1 u O a moré que, u) N ], 1], 1 cos u/)) u 1 cos ) u/) I.C.3) O oe la focio ψ : u ) Les focios ψ so coiues sur ], + [ ) Soi u >. Quad, o a cos u/) = 1 u + ou/) doc cos ) u/) = exp lcos ) u/)) = exp l1 u + ou/))) or l1 u + ou/)) u doc l1 u + ou/)) u doc par composiio exp l1 u + ou/))) e u aisi lim ψ u) = 1 e u + doc la suie de focios ψ ) coverge simpleme vers la focio u 1 e u ) la focio u 1 e u es coiue sur ], + [ { u 1 si u ], 1] ) O cosidère la focio h : u sio sur ], + [ O more facileme que h es coiue par morceaux e iégrable sur ], + [ e o a l'hypohèse domiaio sur ], 1] o uilise I.C.) N, x ], + [, ψ x) hx) Avec ), ), ) e ), o peu appliquer le héorème de covergece domiée qui doe : l'iégrabilié de u 1 e u sur ], + [ e lim + ψ = Aisi la suie v ) N adme ue limie ie l véria l = 1 e u du 1 e u du I.C.4) Sous réserve d'exisece, o eecue das l ue iégraio par paries avec les focios de classe C 1 u 1 e u e u u 1/ : 4/1

5 Cerale MP U corrigé de Mahémaiques 16 O a l = 1 e u [ ] u du = u 1/ 1 e u ) u e u u 1/ )du O a par produi lim u u 1/ 1 e u )) = e quad u, o a 1 e u u doc u 1/ 1 e u ) u doc le bloc ere croches vau ce qui valide l'iégraio par paries doc l = e u u du = π selo la relaio admise doc l aisi d'après la quesio précédee e I.C.1, o a u v l π O coclu que u II Auour du pile ou face II.A - Éude de E S ) II.A.1) Toues ces variables aléaoires cosidérées admee des momes d'ordre car elles pree u ombre i de valeurs. Il es clair que EX 1 ) = e par liéarié ES) = De plus VX 1 ) = EX 1 ) EX 1) = E1 Ω ) = 1 espérace d'ue variable aléaoire cosae) e comme les X k so idépedaes deux à deux car muuelleme idépedaes, o a VS ) = VX 1 )+ +VX ) doc ES ) = e VS ) = Remarque : Das la suie pour k R, je oerai Ek 1 Ω ) = Ek) = k pour ue variable aléaoire cosae. II.A.) O a EcosS + T)) = EcosS) cost) sis) sit)) = EcosS) cost)) EsiS) sit)) Par lemme des coaliios coss) e cost) so idépedaes e il e es de même pour sis) e sit), aisi EcosS + T)) = EcosS))EcosT)) EsiS))EsiT)) O remarque que T T doc sit) si T) = sit) doc EsiT)) = E sit)) = EsiT)) aisi EsiT)) = ce qui perme de coclure que EcosS + T)) = EcosS))EcosT)) II.A.3) Soi R. O eecue ue récurrece sur N, pour morer que ϕ ) = cos ) Iiialisaio : O a : ϕ 1 ) = EcosS 1 )) = EcosX 1 )) = Ecos)) = cos) 1 Hérédié : Soi N el que ϕ ) = cos ). O a ϕ +1 ) = EcosS + X +1 )) O peu appliquer la quesio précédee car S e X +1 so des variables aléaoires ies e que X +1 X +1 doc ϕ +1 ) = EcosS + X +1 )) = EcosS ))EcosX +1 )) = ϕ )EcosX 1 )) car X +1 X 1 doc ϕ +1 ) = cos ) +1 e uilisa l'iiialisaio Coclusio : O a moré par récurrece que ϕ ) = cos ) pour ou eier N e ou réel II.A.4) À l'aide de la quesio I.A.5, o a E S ) = E 1 coss ) π d Par le lemme du rasfer : E S ) = 1 coss) π d PS = s) s S Ω) PS = s) coss)ps = s) doc E S ) = π s S Ω) s S Ω) d somme ie) 5/1

6 Cerale MP U corrigé de Mahémaiques 16 doc E S ) = π 1 EcosS )) d par le lemme du rasfer à ouveau 1 ϕ ) d = E 1 cos) π d d'après II.A.3 doc E S ) = E π ) doc E S ) = E π u aisi pour ou N, E S ) = π u II.A.5) Comme les X k pree leurs valeurs das {1, 1}, alors S +1 = +1 X k e pred que des valeurs eières e impaires e S + e pred que des valeurs eières e paires Comme S + = S +1 + X + aisi o a S +1 ) = S +1 1) S + ) e de même S +1 ) S + ) doc S + S +1 = S + S +1 doc S+ S +1 pred ses valeurs das {1, 1} e S + S +1 = 1) = S +1 >, X + = 1) S +1 <, X + = 1) Le lemme des coaliios s'applique par idépedace des X k, o doc PS +1 >, X + = 1) = PS +1 > )PX + = 1) De plus comme X k X k o a S +1 X k X k ) S +1 doc PS +1 > ) = PS +1 < ) or PS +1 > ) + PS +1 < ) = 1 car S +1 e s'aule pas doc PS +1 >, X + = 1) = 1.1 d'où PS +1 >, X + = 1) = 1 4 e de même PS +1 <, X + = 1) = 1 4 doc P S + S +1 = 1) = 1 e de même P S + S +1 = 1) = 1 doc E S + S +1 )) = 1 1 = d'où E S + ) = E S +1 )) O dédui de la quesio précédee que, pour ou N, u +1 = u + II.B - Éude de S II.B.1) O va morer par récurrece sur N que ES 4 ) = 3 Iiialisaio : O a ES 4 1 ) = EX4 1 ) = E1) = 1 e = 1 La propriéé es vraie au rag 1 Hérédié : Soi N el que ES 4 ) = 3. Moros ES 4 +1 ) = 3 + 1) + 1) O a 3 + 1) + 1) = e ES 4 +1) = E S + X +1 ) 4) = E S 4 + 4S 3 X S X S X X 4 ) +1 comme EX +1 ) = EX 3 +1 ) = e EX +1 ) = EX4 +1 ) = E1) = 1 e par idépedace de S e X +1, o a ES 4 +1) = ES 4 ) + 4ES 3 )EX +1 ) + 6ES )EX +1) + 4ES )EX 3 +1) + EX 4 +1) = ES 4 ) + 6ES ) + 1 or ES 4 ) = 3 e ES ) = VS ) + ES ) = + doc ES 4 +1) = = Coclusio : O a moré que ES 4 ) = 3 pour ou N 6/1

7 Cerale MP U corrigé de Mahémaiques 16 II.B.) Soi N. ) 4 S Comme U = es ue variable aléaoires ies à valeurs posiives e o peu doc appliquer l'iégalié de Markov : P U 1 ) EU ) or EU ) = ES4 ) 4 = 3 4 II.B.3) Soi N. O a Z = k Pour ou k N, 3 doc pour ou N, P U 1 ) U k 1 ) k U k 1 k ) A car U k es ue variable aléaoire doc Z A car A es sable par réuio déombrable De plus o a P U k 1 ) 3 k k 3/ Aisi par réuio déombrable PZ ) + k= k= 1 >, 3 3/ P U k 1 ) + 3 k k3/ la série coverge car 3/ > 1 doc lim k3/ k 3/ = k 1 k= Aisi Z A pour ou N e lim PZ ) = par héorème d'ecadreme II.B.4) O a : Z = ) Z = Z k N N La famille Z k es ue famille décroissae d'évéemes ) N ) de plus P Z k car P + Soi ω Ω \ Z ce qui ous fouri N N el que ω Z N Soi N, o a U ω) < 1. O a doc S4 ω) 4 < 1 doc S ω) < 1 1/4 doc par héorème d'ecadreme o a moré ω Ω \ Z, ) S or PZ) = doc coverge presque sûreme vers Z k ) PZ ) doc par coiuié décroissae PZ) = S ω) III D'aures sommes aléaoires III.A - Éude de E T ) III.A.1) Soi N. O remarque que pour a e b R, o a a + b a + b avec égalié si e seuleme si ab 7/1

8 Cerale MP U corrigé de Mahémaiques 16 doc a + b a b avec égalié si e seuleme si ab Aisi T X +1 ) = T +1 T = a +1 ) car a +1 X +1 es ue variable éléoire cosae égale à a +1 o a aussi a + b a b aisi a + b a b Aisi T +1 T a +1 ) = Ω O a Ω = T X +1 ) T X +1 < ) uio disjoie) De plus, T T doc PT > ) = PT < ) aalogue à II) e doc PT > ) 1 O a T X +1 > ) = T <, X +1 = 1) T >, X +1 = 1) doc P T X +1 > ) = P T <, X +1 = 1) + P T >, X +1 = 1) icompaibilié) doc P T X +1 > ) = PT < )PX +1 = 1) + PT > )PX +1 = 1) idépedace) doc P T X +1 > ) = PT > ) e de même P T X +1 < ) = PT > ) Aisi PT X +1 ) PT X +1 < ) Ω { R O cosidère la variable aléaoire W : a+1 si T ω X +1 )ω) a +1 sio de sore que W T +1 T car - si T ω)x +1 ω), alors Wω) = a +1 = T +1 ω) T ω) - si T ω)x +1 ω) <, alors Wω) = a +1 T +1 ω) T ω) comme PT X +1 ) PT X +1 < ), o a EW) or EW) E T +1 T ) doc E T +1 T ) aisi la suie E T )) N es croissae III.A.) O suppose que la série a es covergee O a VT ) = Va k X k ) par idépedace doc VT ) = a k VX k) = + a k + a k = M où o a oé M = O a doc ET ) = VT ) + ET ) = VT ) M O oe W = T. O a T = W e E T ) = doc E T ) = w WΩ) wpw = w) w WΩ) w WΩ) wpw = w) w PW = w) par covexié de e car les PW = w) ombre i) e comme W, o a aisi E T ) w WΩ) w WΩ) doc la suie E T )) N w PW = w) = w WΩ) w PW = w) = ET ) M w PW = w ) = w WΩ) a k PW = w) = 1 T Ω) PT = ) es majorée par M) e croissae d'après la quesio précédee doc si la série a es covergee, alors la suie E T )) N es covergee III.A.3) O a E T 1 ) = a 1 car T 1 = a 1 X 1 Premier cas : Si a 1 =, alors pour ou k [1, ], a k = car a 1 a + + a e les a k doc E T ) = = E T 1 ) = a 1 Deuxième cas : Si a 1 >, 8/1

9 Cerale MP U corrigé de Mahémaiques 16 Si X 1 ω) = 1 alors T ω) = a 1 + a k X k ω) doc T ω) = a 1 + k= si X 1 ω) = 1 alors T ω) = a 1 + a k X k ω) k= a k X k ω) doc T ω) = a 1 k= ) das les deux cas T ω) T 1 ω) = X 1 ω) a k X k ω) doc E T T 1 ) = E X 1 a k X k ω) k= ) k= ) a k X k = E X 1 ) E a k X k par lemme des coaliios k= doc E T ) E T 1 ) = aisi E T ) = E T 1 ) = a 1 III.B - Applicaio à ue suie d'iégrales III.B.1) Soi N La focio ψ : 1 cos) cos ) ) 3 cos 1 k= es coiue sur ], + [ E [1, + [, ψ ) qui doe l'iégrabilié de ψ sur [1, + [ Quad, o a 1 cos) cos ) ) 3 cos 1 = O ) ) 1 + O ) ) 1 + O ) ) doc 1 cos) cos ) ) 3 cos 1 = O ) = O ) produi i) doc ψ ) = O1) doc ψ es borée au voisiage de doc iégrable sur u iervalle ], 1] ceci assure l'exisece J = ψ Aisi J ) N es ue suie bie déie O choisi a k = 1 k 1 pour k 1 aisi o a la covergece de la série d'où d'après II.A., la covergece de la suie E T ) N Soi N. À l'aide de la quesio I.A.5, o a E T ) = E π Soi R. O a comme e II.A.3 e II.A., doc comme e II.A.3 : a k k que l'o sai croissae d'après II.A.1. 1 cost ) d E cost ) = E cos a 1 X 1 )) E cos a X )) E cos a X )) E cost )) = cos) cos ) ) cos 3 1 Avec la méhode de la quesio II.A.4. : E T ) = 1 E cost )) π d deux fois ; lemme du rasfer) O a E T ) = 1 cos) cos ) ) 3 cos 1 π d doc E T ) = π J doc J = π E T ) aisi J ) N es ue suie croissae e covergee III.B.) O reouvelle les mêmes choix e oaios qu'à la quesio précédee : 7 7 O a a k, à la calcularice doc a k a 1 = 1 k= doc 1 = a 1 = E T 1 ) = E T 7 ) d'après III.A.3 k= 9/1

10 Cerale MP U corrigé de Mahémaiques 16 Par croissace de la suie E T )) o a [1, 7], E T ) = 1 doc comme J = π E T ), o a J = π pour 1 7 Pour pouvoir coclure, il rese à éablir la srice croissace de E T ) 7. Pour cela o cosidère 7, o veu morer E T ) < E T +1 ) éape 1 : u résula combiaoire : O va morer que pour p 7, il exise K [1, p] el que k < k Ka k Ka k e a p+1 + k Ka k > a k où K = [1, p] \ K k K Je oe pour p 7 e K [1, p], : S p K) = a k k K O remarque que S p K) = S p K) Il s'agi alors de morer la propriéé E p : il exise K [1, p], el que < S p K) < a p+1 pour p 7 Premièreme : Soi p 7 e K [1, p], o more que S p K). Par l'absurde si il exise K [1, p], el que S p K) = alors je cosidère l = max { j N / 3 j } a p e b = 3 l e o a 1 3 l = k K,a k b k K a k a k k K,a k b E mea au même déomiaeur le erme de droie e e simplia sous forme irréducible, o obie 1 3 l = N 3 l D où N, D Z, D 3 = 1 e l [, l 1] Absurde) Esuie : la E p e me semble pas hérédiaire je 'ai pas rouvé) E revache pour p 7 je cosidère la propriéé suivae : P p : il exise K [1, p] el que S p K) a p+1 Avec ce qu'o vie de faire, o a P p = E p e cee propriéé es hérédiaire de la faço suivae : P p = P p+ pour p 7 E ee, si il exise K [1, p] el que S p K) a p+1 Je peux supposer < S p K) a p+1 quie à remplacer K par so complémeaire. Je cosidère alors K = K {p + } O a alors a p+ a p+1 S p+ K ) a p+ a p+1 Par décroissace de a k ) k, il su alors d'éablir que a p+1 a p+ < a p+3 e a p+ < a p+3 + a p+1 La deuxième iégalié provie de la srice cocavié de la focio 1 car a k = 1/k 1) Pour la première a p+1 a p+ = 4p + 8p + 3 e a p+3 1 = 4p + 1 ; o calcule alors 4p + 8p + 3 4p + 1) = 4p 7 > pour p 7 O vie de prouver S p+ K ) a p+3 Il s'agi maiea de chercher N N véria P N e P N+1 e de vérier que : p [7, N 1], E p Pour cela, o exécue le scrip e Pyho qui sui. L'idée es de ou mere au déomiaeur e uilisa l'arihméique exace des eiers e pyho versio 3.4). def iv_ak): reur *k-1 a k def essai): grad=1 # o y me le produi des a_k 1/1

11 Cerale MP U corrigé de Mahémaiques 16 for k i rage1,+): grad*=*k-1 Ak=[grad//iv_ak) for k i rage1,+)] res=[false,false] es_k= **-1# esemble k es ecod\'e par u eier #l\'ecriure e base doe la focio caracérisique while o res[]) ad es_k>: # iuile de eser l esemble vide somme= rese=es_k for i i rage1,+1): if rese%==1: somme +=Ak[i-1] else: somme -=Ak[i-1] rese=rese// if abssomme) <Ak[-1]: res[1]=true #res[1] es le es de la propri\'e\'e voulue par le suje if *abssomme) <Ak[-1] ad <*abssomme) : res[]=true #res[] es le es de la propri\'e\'e h\'er\'ediaire es_k-=1 reur res #o cherche \'a parir de 7, l\'a o\'u la propriee herediaire P_k es vraie # sur deux eiers cos\'ecuifs =7 es_=essai) es_s=essai+1) es_=es_[] es_s=es_s[] while oes_ ad es_s): pries_) +=1 es_=es_s es_s=essai+1) es_=es_[] es_s=es_s[] pries_) pries_s) Le résula corme la propriéé aedue : [False, True] # [P_7,E_7] [True, True] # [P_8,E_8] [False, True] # [P_9,E_9] [True, True] # [P_1,E_1] [True, True] # [P_11,E_11] Dicile d'eecuer ou cela e emps limié... 11/1

12 Cerale MP U corrigé de Mahémaiques 16 éape : P < T < a +1 ) : L'éape 1 ous fouri K [1, ] el que k < k Ka k Ka k e a p+1 + k Ka k > k K O a X +1 = 1) X k = 1) X k = 1) T <, T +1 > ) or par idépedace : k K k K P X +1 = 1) X k = 1) X k = 1) = 1 k K k K a k +1 doc PT <, T +1 > ) or T <, T +1 > ) < T < a +1 ) O a bie P < T < a +1 ) éape 3 : E T +1 T ) > : Comme T pred u ombre i de valeurs e que P < T < a +1 ) >, o peu doc cosidérer Λ = max { T ω) / T ω) < a +1 } Aisi T Λ) = T < a +1 ) e < Λ < a +1 O cosidère la variable aléaoire Ω R W : a ω +1 si T X +1 )ω) a +1 si T ω) a +1 e T X +1 )ω) < a +1 Λ si T ω) < a +1 e T X +1 )ω) < Par cosrucio o a W T +1 T ; e ee - si T ω) < a +1 e T X +1 )ω) <, alors T +1 ω) T ω) = a +1 T ω) T ω) Wω) - si T ω) a +1 e T X +1 )ω) <, alors T +1 ω) T ω) = a +1 + T ω) T ω) = Wω) - si T X +1 )ω), alors T +1 ω) T ω) = a +1 + T ω) T ω) = Wω) Il su alors d'éablir que EW) >. Je oe A = T a +1, T X +1 > ), B = T a +1, T X +1 < ), C = T < a +1, T X +1 > ), D = T < a +1, T X +1 < ) e F = T = ) A, B, C, F, D) es u sysème comple d'évéemes e o remarque que doc W = a +1 1 A a +1 1 B + a +1 1 C + a +1 Λ)1 D + a +1 1 F EW) = a +1 PA) a +1 PB) + a +1 PC) + a +1 Λ)PD) + a +1 PF) Comme T T e X +1 X +1 e vue l'idépedace de T e X +1, o more comme plus hau que PA) = PB) = 1 P T a +1 ) e PC) = PD) = 1 P < T < a +1 ) doc doc EW) > ce qui perme de coclure EW) a +1 Λ)PC) FIN 1/1