Convergence et limite de suites numériques

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1 Covergece et limite de sites mériqes 1. Covergece d e site 1.1. Défiitio Ue site de ombres réels est covergete et admet comme limite ombre réel l si, qelqe soit le ombre ε > 0 assi petit soit-il, il existe etier N tel qe, por les rags > N, o ait l < ε. La site ( ) coverge vers l et o ote lim = l Ue site qi e coverge pas est appelée site divergete : c est e site qi a pas de limite o e site dot la limite est égale à l ifii lim = ± Ne pas cofodre covergece et mootoie d e site. Ue site pet être covergete et o mootoe (i croissate, i décroissate) vidéo cors sites covergetes 1.2. Exemples a) sites covergetes ,,,, α Les sites 2 3 a > 0 lim a = 1 b) sites divergetes avec α > 0, 1 a avec a > 1 sot décroissates et lim = 0 Les sites ( ), ( ² ), ( 3 ), ( ), ( α ) avec α > 0, a avec a > 1, ( l ) et ( e ) sot croissates et lim = + La site = ( - 1 ) a pas de limite. c) sites covergetes o divergetes a > 0 la site = a coverge vers 0 si a < 1 et diverge si a > 1 2. Détermiatio de la limite 2.1. Théorème d poit fixe Soit f e foctio cotie, stable sr itervalle I ( f(i) I) et ( ) e site récrrete défiie par 0 I et la relatio +1 = f ( ), si ( ) coverge vers l alors l vérifie f (l ) = l et l est poit fixe de f. Exemple : Soit la site ( ) défiie par 0 = 1 = 2 1 cette site est décroissate et miorée. Cors Covergece Limites de Sites 1 / 5 P 2012 Aleth Chevalley

2 Motros qe sr l itervalle [ 0, 1 ], elle coverge vers e valer l qe l o précisera? La site coverge doc vers l R Soit f : [ 0, 1 ] [ 0, 1 ] telle qe f ( x ) = x / 2 l vérifie f ( l ) = l doc l = l / 2 d où l = 0 MT19 3. Opératios sr les sites covergetes Soiet ( ) et ( v ) dex sites covergeat respectivemet vers l et l et soit réel λ La site ( + v ), somme des sites ( ) et ( v ) coverge vers l + l Si lim = l et lim v = l alors lim ( v ) + = l + l La site (λ ), prodit de la site ( ) par le réel λ coverge vers λ l Si lim = l et λ R, alors lim λ = λ l La site ( x v ), prodit des sites ( ) et ( v ) coverge vers l x l Si lim = l et lim v = l alors lim. v = l l Si tos les termes de la site (v ) e sot pas ls aisi qe sa limite l, alors la site sites ( ) et ( v ) coverge vers l l ' v qotiet des dex Si lim = l et lim v = l ' avec l ' 0, alors lim = v l l ' La site, valer absole de la site ( ) coverge vers l Si lim = l alors lim = l La réciproqe est fasse. Exemple : = ( - 1 ) cette site est divergete mais lim = 1 4. Propriétés des sites covergetes 4.1. Si e site est covergete, sa limite est iqe Tote site covergete est borée. Remarqe : Il existe des sites borées o covergetes = ( - 1 ) Cors Covergece Limites de Sites 2 / 5 P 2012 Aleth Chevalley

3 4.3. Tote site croissate majorée est covergete 4.4. Tote site décroissate miorée est covergete 5. Sites extraites 5.1. Défiitio Soit e site ( ), o appelle site extraite de ( ) tote site ( v ) avec v = φ () où φ : N N est e applicatio strictemet croissate. Ue site extraite de la site ( ) est costrite e émérat les termes de ( ) saf certais q o laisse de côté; aisi o e garde q e partie de l iformatio Exemples a) soit la site ( ), ( 2 ) est e site formée par les termes de rag pair et ( 2+1 ) est e site formée par les termes de rag impair. b) ( 2 ) et ( ² ) sot dex sites extraites de ( ). Si ( ) N * est défiie par défiie par v = ² est la site 2 1 N * 1 =, alors ( v ) N * c) ( ² - ) est pas e site extraite car l applicatio est pas strictemet croissate. φ ( 0 ) = 0 et φ ( 1 ) = Propriétés Si e site ( ) admet e limite (fiie o ifiie) alors tote site extraite ( φ () ) admet la même limite. Si lim = l alors tote site extraite de ( ), coverge vers l Remarqe : La réciproqe est e gééral fasse. Exemple : = ( - 1 ) ( 2 ) est la site costate égale à 1 et doc elle coverge vers 1 ; ( 2+1 ) est la site costate égale à 1 et doc elle coverge vers 1 alors qe la site ( ) e coverge pas. Si les sites ( 2 ) et ( 2+1 ) admettet la même limite, alors tote la site ( ) admet assi cette limite comme. O pet doc rameer l étde de covergece d e site à celle des sites de rags pair et impair qi pevet s avérer pls simples. 6. Théorème de comparaiso Soiet ( ) et ( v ) dex sites telles qe il existe etier N, tel qe por tot etier N, v Si ( ) diverge vers + alors ( v ) diverge vers + Si ( v ) diverge vers - alors ( ) diverge vers - Cors Covergece Limites de Sites 3 / 5 P 2012 Aleth Chevalley

4 7. Théorème des gedarmes (o d ecadremet) 7.1. Défiitio Soiet ( ), ( v ) et ( w ) trois sites telles qe : v w à partir d certai rag ( " N) ( ) et ( w ) coverget vers e même limite l alors ( v ) coverge vers l Exemples Motros qe les sites sot covergetes et doos ler limite : v si = v ( ) 1 = (sites alterées) 8. Site complexe 8.1. Défiitio Ue site complexe ( ), coverge vers l C si et selemet si ( Re ( )), site réelle, coverge vers Re ( l ) R et (Im ( )), site réelle, coverge vers Im ( l ) R Exemple Soit ( ) défiie par 0 = a C ( fixé) 1 = ( ) 5 Motros qe lim = Re (a)? Cors Covergece Limites de Sites 4 / 5 P 2012 Aleth Chevalley

5 Alors ( ) est défiie par 0 = a C ( fixé) 1 = (5 Re( 1 ) + i.im( 1 )) = Re( 1 ) + 1/ 5. i.im( 1 ) 5 MT19 Doc 0 = a et 1 = Re (a ) + i / 5. Im ( a ) 2 = Re (a ) + i / 5 ². Im ( a ) etc et par récrrece = Re (a ) + i / 5. Im ( a ) Il est maiteat évidet qe - Re (a ) = i / 5. Im ( a ) qi ted vers 0 lorsqe ted vers + doc lim = Re ( a ) Cors Covergece Limites de Sites 5 / 5 P 2012 Aleth Chevalley