MECANIQUE DYNAMIQUE D UN SOLIDE EN ROTATION EQUILIBRAGE. 1 Etude dynamique d un solide en rotation autour d un axe fixe O G

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1 Sciences Indusielles Dynamique d un solide en otation - Equilibage MECANIQUE DYNAMIQUE D UN SLIDE EN RTATIN EQUILIBRAGE Etude dynamique d un solide en otation autou d un axe fixe Paamétage du poblème : n considèe un solide S quelconque de cente d inetie G, de base liée à son mouvement ( x, y, ), de masse m tounant autou d un axe fixe, c est à die en liaison pivot avec le bâti auquel R x,, y,. on lie le epèe d étude ( ) Pou les besoins du calcul, considéons que cet axe de otation soit l axe (, ) =., on peut pende Le solide S étant de géométie quelconque, son cente d inetie n a aucune aison d ête su l axe de otation. Pa conte, on peut tès bien, c est un choix de paamétage, choisi d aligne la doite othogonale et sécante à l axe de otation passant pa G avec x (voi figue). G n peut donc paaméte la position de G cente de gavité du solide S pa : uuu G = ax + c x = Posons ( x, x ) ϑ =, on a alos la figue de tavail suivante : Page Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

2 Sciences Indusielles Dynamique d un solide en otation - Equilibage S ne possède aucune symétie paticulièe, donc sa x, y, est de la matice d inetie en dans la base ( ) fome généale : A F E I ( S ) F B D = E D C ( x; y; ) y ϑ = y ϑ x x Bilan des actions mécaniques extéieues s exeçant su le solide S : n distingue les actions mécaniques extéieues tansmises pa des liaisons que l on connaît, des actions mécaniques extéieues (autes que pa des liaisons) : Le solide S est en liaison uniquement avec le bâti pa une liaison pivot. n a donc l action mécanique tansmissible pa une liaison pivot, soit : X L { T( bati S )} = Y M Z ( x, y, ) L ensemble des actions mécaniques extéieues (autes que celle povenant de liaison) sont egoupées dans un seul toseu amené en, qui a donc la fome la plus généale (pas d hypothèses paticulièe su ces actions mécaniques : X L { T( ext S) } = Y M Z N ( x y ),, Déteminons, avant d applique le pincipe fondamental de la dynamique, le toseu dynamique en du solide S dans son mouvement pa appot au bâti. Calcul de la ésultante dynamique : uuu uu u d G Rd ( S/ ) = mγ( G S/) = m dt uu R S / = aϑ&& y aϑ& x d ( ) dg dx d o uuu a c = + dt dt dt = aϑ& y, d où : Calcul du moment dynamique en : Le moment cinétique en (point fixe dans le mouvement de otation autou de l axe (, ) égal u au poduit u de la matice d inetie en pa le vecteu vitesse de otation de S / : Ω ( S/) =Ω ( /) =ϑ&. Soit la quantité suivante : A F E Eϑ& uuu σ ( S/) = F B D = Dϑ& = Eϑ& x Dϑ& y + Cϑ&. E D C ϑ& Cϑ& ) est Page Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

3 Sciences Indusielles Dynamique d un solide en otation - Equilibage Puisque est un point fixe dans le mouvement considéé, le moment cinétique en est la déivée pa appot au temps (dans la base d étude, ici ) du moment cinétique. Soit la quantité suivante : uu uu dσ ( S /) δ ( S /) = Soit : dt δ uu ( S /) = Eϑ && x Dϑ && y + Cϑ && Eϑ & y + Dϑ & x n peut donc désomais écie le pincipe fondamental de la dynamique en pojection dans la base, de la façon suivante : aϑ& Eϑ&& + Dϑ& X L X L X + X L+ L aϑ&& Dϑ&& Eϑ& = Y M + Y M = Y + Y M + M Cϑ&& Z Z N Z + Z N Soit les 6 équations suivantes : Ces équations coespondent aux équations du mouvement de ce solide en otation autou de l axe, : fixe ( ) Les 3 qui coespondent au théoème de la ésultante dynamique en pojection dans la base : aϑ& = X + X aϑ&& = Y + Y = Z + Z Les 3 qui coespondent au théoème du moment dynamique ésultant en en pojection dans la base : Eϑ&& + Dϑ& = L+ L Dϑ&& Eϑ& = M + M Cϑ&& = N Equilibage But de l équilibage : Evite les vibations pou le buits qu elles engendent mais aussi pace qu elles fatiguent considéablement les éléments mécaniques extéieus à S pouvant ainsi entaîne des uptues de pièces pa un mode de sollicitations qualifié pa les ingénieus de «fatigue» Pou éalise cet objectif, il suffit de ende l action mécanique ente le solide S et le bâti la plus constante possible, c est à die indépendante du mouvement de S / : C est l équilibage. 3 Conditions d équilibage Les actions mécaniques venant de l extéieues n étant pas maîtisable (petubations, difféentes oigines possibles, ), il este à ende indépendant du mouvement de S les quantités X, Y, Z, L et M. Cela signifie que l on doit les ende indépendantes du mouvement, c est à die des quantités ϑ& et ϑ &&. Page 3 Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

4 Sciences Indusielles Dynamique d un solide en otation - Equilibage Pou cela il faut : Pou ende X et Y indépendants de ϑ& et ϑ&& quel que soit X et Y, il faut avoi a= (voi les équations de la ésultante dynamique : aϑ & = X + X et aϑ && = Y + Y ) Z ne dépend pas du mouvement : = Z+ Z Pou ende L et M indépendants de ϑ& et ϑ&& quel que soit L et M, il faut avoi D=E= (voi les équations du moment dynamique ésultant en : Eϑ && + Dϑ & = L+ L et Dϑ && Eϑ & = M + M ) La pemièe condition d équilibage touvée, a=, signifie que le cente d inetie G du solide S doit ête situé su l axe de otation. Si cette condition est satisfaite, on pale d équilibage statique La seconde condition d équilibage touvée, D=E=, signifie que la matice d inetie en du solide S, dans la base liée au solide est de la fome : A F I ( S ) F B =, est un axe C, c est à die que l axe de otation ( ) ( x; y; ) pincipal d inetie pou le solide S : En se epotant au cous de dynamique (patie.6.3), cette condition est satisfaite si le plan x y = x y, est un plan de ( ) ( ), soit le plan de nomale l axe de otation ( ) symétie pou le solide S. L ensemble de ces deux conditions constitue l équilibage dynamique du solide S. 4 Cas patique bjectif : Moyen : Rende un solide quelconque équilibé dynamiquement. Change la épatition des masses de ce solide en lui ajoutant judicieusement des masselottes, considéées comme des masses ponctuelles, afin que l ensemble { Solide + Masselottes } soit équilibé dynamiquement. Montons que dans la patique, deux masselottes (masses ponctuelles) suffisent pou ende l ensemble équilibé dynamiquement : Repenons le paamétage pécédent : Soit S le solide à équilibe de cente uuu d inetie G avec G = ax+ c et de masse M Soit la pemièe masselotte epéée, de cente d inetie en son point noté G G x Page 4 Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. =

5 Sciences Indusielles Dynamique d un solide en otation - Equilibage uuuu G = xx + yy +, de avec masse m Soit la seconde masselotte epéée 3, de cente d inetie en son point noté G 3 avec uuuu G = xx + yy +, de masse m3 3 3 Equilibage statique : n veut que le cente d inetie que l on notea G de l ensemble {S +masselotte+masselotte3} soit su l axe de otation (, uuuu uuuu ).Soit les deux pojections suivantes nulles : G'. x = G'. y = uuu uuuu uuuu uuuu MG+ mg + mg G ' = M + m + m3 n a donc les deux elations : uuuu uuu uuuu uuuu G'. x = = MGx. + mg. x ++ mg. x, soit l équation scalaie suivante : = Ma uuuu uuu uuuu uuuu G'. y = = MG. y + mg. y ++ mg. y, soit l équation scalaie suivante : = my + my L équilibe statique se taduit donc pa le système d équations suivant : = Ma = my + my Equilibage dynamique : n doit satisfaie en plus des conditions d équilibage statique ci-dessus, les conditions suivantes : D' = E' =, soit les poduits d inetie de l ensemble {S +masselotte+masselotte3}nuls. Rappel : Les poduits d inetie D et E du solide à équilibe sont : D = y dm et E = x dm. n en déduit les poduits d inetie coespondant de l ensemble {S +masselotte+masselotte3} : D' = D+ my + my 3= et E' = E 3=. L équilibage dynamique est donc éalisé losque l on a satisfait le système d équations : D+ my + my 3 = n a donc 4 équations d équilibage avec 8 inconnues E + m3x = ( m, m3, x, y,, x3, y3, 3). Il suffit d en fixe 4 abitaiement = Ma (ou pa facilités d implantation technique) pou détemine les 4 = my + m3y estantes afin d équilibe la pièce. 3 Page 5 Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.