ANGLES ORIENTES+TRIGONOMETRIE

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1 ANGLES ORIENTES+TRIGONOMETRIE LISTE DES COMPETENCES CODE DENOMINATION T0 T0 T0 T0 T05 T0 T07 T08 T09 T0 T T T T T5 T T7 T8 T9 T0 T T T 99 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

2 Exercice n. Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants à : 0 ; ; ; ; ; ; ;. Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants à : 9 5 ; ; ; ; ; - ; ; 5 Exercice n Déterminer les mesures principales des angles dont les mesures sont : ; ; ; ; ; ; ; 5 ; ; ; 00 8 Exercice n Placer sur le cercle trigonométrique les points d abscisse ) ) ) ) 5) 0 ) 7) 8) 9) 0) ) ) 5 5 ) ) 5) ) 7) 8) 9) 0) ) ) 0 Exercice n Déterminer les mesures principales des angles dont les mesures sont : ) ) 7 8 ) ) 5 8 Exercice n 5 Dans le plan rapporté au repère orthonormé O; i, j placer les points M M M et M tels que : ) OM ) et i ; OM OM et i ; OM 7 ) OM et i ; OM ) OM et i ; OM Exercice n Soit ABCD un carré de centre O tel que AB, AD (on dit que ABCD est un carré direct). Déterminer une mesure (en radians) de chacun des angles (aucune justification n est demandée) : ) AB; AC ) CO; DA 5) DC; DA 7) OA; OC ) BO; BC ) OC; BC ) DB; AB 8) AO; CB 5) ) 0 8 7) 8) 5 00 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

3 Exercice n 7 Donner la valeur exacte des nombres suivants : 7 sin cos 5 cos sin cos cos Exercice n 8 On considère deux vecteurs u et v tels que u; v Déterminer : ) u; v ) u; v ) v; u ) u; v Exercice n 0 ) Soit ABC un triangle. Démontrer que AB; AC BC; BA CA; CB ) Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB; AC. Montrer qu'il n'est pas possible d'avoir BC; BA. En déduire que BC; BA Justifier de même que CA; CB ) Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB; AC. Soient A', B'; C'les milieux respectifs de [BC]; [AC]; [AB]. Déterminer AC; AC ; BA; BA' ; CA'; CB ' ; A' C; C ' A ; B ' A; C ' B (on justifiera) Exercice n ) x est un réel tel que 0 x et cos x. Calculer la valeur de sin x. ) x est un réel tel que x et sin x. Calculer la valeur de cos x. ) x est un réel tel que x et cos x. Calculer la valeur de sin x. ) x est un réel tel que 0 x et sin x. Calculer la valeur de cos x. Exercice n Exprimer en fonction de cos x et sin x : ) ) ) ) cos x sin x cos x cos x 5) ) 7) 8) sin x sin x cos x sin x 9) cos x 0) sin x ) cos x ) sin x ) ) cos x sin x 0 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

4 Exercice n Résoudre dans R les équations suivantes d inconnue x puis placer sur le cercle trigonométrique les points images des solutions. ) ) cos x 0 5) cos x sin x sin x ) cos x ) sin( x) cos x ) 7) cos x cos x cos x 8) 9) sin x 0 sin x sin x Exercice n On considère un réel α tel que et sin = Calculer les valeurs exactes de cos α ; sin α; cos α; sin α; cos α Exercice n 5 Résoudre dans IR les équations et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique. ) sin x 5) cos x cos 0) cos xsin x 7 ) cosx sin x ) cos x ) sin x ) sin x 0 ) cos x 7) cos x ) cos x cos x 0 8) cos x 0 ) cos x cos x 0 ) sin x 9) sin x 5) sin x sin x 0 Exercice n En utilisant les formules de duplication, déterminer les valeurs de cos et sin. Vérifier que cos et sin Exercice n 7 a) Résoudre dans l équation b) En déduire la résolution dans ; de cos x cos x 0. Exercice n 8 -)Calculer A x x 0 -)Résoudre dans l équation (E) : x x 0. -)En déduire dans ; la résolution de l équation : sin x sin x 0. 0 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

5 Exercice n 9 On considère dans 0; les équations: ( ) :sin cos cos cos E x x x x ( E ') :sin x sin xcos x 0. (a) Montrer que les équations (E) et (E') sont équivalentes dans 0; (b) Résoudre dans 0; l'équation (E).. Placer sur le cercle trigonométrique les points images des solutions de cette équation. On prendra cm comme unité de longueur. Exercice n 0 - a) vérifier que. b-) Résoudre dans l équation x x 0. c-) En déduire les solutions de l inéquation a)déduire de ce qui précède les solutions dans de l équation : cox cos x 0. b) Représenter les images des solutions de cette équation sur un cercle trigonométrique Exercice n a) Développer cos x b) En déduire la résolution dans ; de cos x sin x c) En déduire la résolution dans ; de cosx sin x Exercice n -Calculer ) Déterminer une valeur exacte de cos ) En déduire une valeur exacte de cos x x 0 Exercice n ) x étant un réel tel que cos x0, montrer que tan x cos x ) Pour chacun des systèmes suivants, déterminer cos x et sinx : tan x tan x a) ; 0 x tan x b) ; ; c) 0 d) x x tan x x 0 0 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

6 Exercice n Soit x un réel quelconque. Réduire les expressions : ) cosx cos5x sin x sin 5x ) cos x cos x sin x sin x ) cos7x sin x sin 7xcosx ) cosx sin x cos x sin x 5) cos x sin x cos x sin x ) 7) 8) 9) 0) cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x cos(5 x) sin(5 x) cos(7 x) cos( x) cos(5 x) cos( x) Exercice n 5 Simplifier au maximum les expressions suivantes: A( x) cos( x )sin x sin x B( x) tan x tan x pour x - ; C x x x x ( ) sin sin( )sin( ) D( x) sin x sin x Exercice n Démontrer que pour tout x sin sin sin sin x x x Generalisation : sin( )sin( ) sin sin a b a b a b Exercice n 7 Soit x un réel qui n est pas un multiple entier de. Calculer l expression sin x cos x A sin x cos x Exercice n 8 A cos x cos x cos x Exercice n 9 Soit x un réel tel que Exercice n 0. Calculer On note ale réel de l intervalle 0; tel que. cos a Calculer cosa ; en déduire la valeur de a. Exercice n Soit x un réel quelconque. Démontrer les égalités ) cos x cos x cos x( cos x) ) sin x cos x sin x( sin x) ) ) cos x cos x sin x sin x cos sin cos x x x cosx Exercice n B sin x sin x sin x 0 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : ) ) cos sin cos x x x cos xsin x cos xsin x cos x sin x

7 Soit x un réel qui n est pas un multiple entier de. cos x ) Simplifier sin x ) A l aide du ), calculer tan et tan 8 Exercice n Donner une factorisation des expressions A cos x sin x B cos x sin x Exercice n Soit x un réel quelconque. Exprimer cos x en fonction de cos x ; En déduire cos x en fonction de cos x. Exercice n 5 Soit x un réel quelconque. En écrivant x = x + x, exprimer cos x en fonction de cos x et sin x en fonction de sin x. Exercice n Démontrer que la représentation graphique de la fonction f définie, sur, par: f ( x) cos( x) sin x est située entre les droites d'équation y et y. Exercice n 7 Résoudre, dans, l'équation sin x 7sin x 7 sin x 8 0 Exercice n 8 Résoudre, dans ;, les équations: cos x 7cos x 0 sin x cos x 5sin x 0 Exercice n 9 Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan. Soit x 0; Démontrer que : tan x tan x 5. En déduire que: tan 05 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

8 Exercice n 0 Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan 8 sin x On rappelle que tan x pour tout x D où D \ k où k cos x. Démontrer que pour tout x D : tan( x) tan x 9 En déduire la valeur exacte de tan. 8. Démontrer que pour tout x D : tan x En déduire la valeur exacte de cos 8 puis de sin 8.. Calculer la valeur exacte de 5 cos 8. cos x Exercice n. Démontrer que, pour tout x 0; [: cos( x) tan x. sin( x). En déduire les valeurs exactes de tan et tan. 8 Exercice n ABC est un triangle non rectangle. tan A B tan C.. Démontrer que: tan A tan B (que l'on pourra redémontrer au passage), tan Atan B prouver que: tan A tan B tan C tan A tan B tan C.. À l'aide de la relation tan A B Exercice n On considère l expression () = cos 5 cos dans laquelle est un nombre réel appartenant à l intervalle,.. Exprimer () en fonction de cos seulement.. Résoudre alors dans,, l équation, cos² 5 cos 7 = 0. Placer les solutions sur le cercle trigonométrique. Exercice n. (a) Résoudre dans R l équation (E ) cos = cos. Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique. (b) En déduire dans π ; π les solutions de l équation (E ).. (a) Exprimer cos et cos en fonction de cos. (b) En posant X = cos, montrer que l équation (E ) devient (E ) X X X + = 0. (c) Résoudre dans R l équation (E ). (d) En déduire les valeurs exactes de cos et de sin Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

9 Exercice n Les réels et repèrent-ils un même point 5 5 sur le cercle trigonométrique? Si oui, placer ce réel sur le cercle. 5. Déterminer les lignes trigonométriques des réels et.. Sachant que t an x et x, déterminer les valeurs exactes de et. ; cos x sin x. Soit x un réel différent de k, k, montrer que tan x tan tan. cos x x cos x x 5. On considère deux vecteurs non nuls u et v tels que u, v. Déterminer la mesure principale des angles : u, v, v, u et u, v où est un réel non nul A-t-on? Interpréter. Même question avec les réels : et Placer sur le cercle trigonométrique les points M et N associés aux réels et. 8. C est le cercle trigonométrique de centre O et muni du point I de coordonnées ( ; 0) 7 7 a. Déterminer la mesure principale des angles orientés de vecteurs de mesures respectives ; ; et 007. b. Placer ces points sur C. 9. Compléter les pointillés : sin x... cos x... sin x... sin x... cos a b... sin a b... sin a... cos a... en fonction de cos a 0. Compléter les cases blanches : en radians cos x sin x. Déterminer les lignes trigonométriques du réel Exercice n Placer sur le cercle trigonométrique suivant les points représentatifs des réels suivants : 7 5 ; ; ; 5 O 07 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

10 Exercice n 7. a. Enoncer la relation de Chasles avec les angles orientés de vecteurs. b. Démontrer cette relation.. ACD est un triangle équilatéral direct. ABC et ADE sont des triangles rectangles isocèles directs en B et E. a. Compléter la figure. Le but de cet exercice est de démontrer que les droites CD et BE sont parallèles. b. En utilisant la relation de Chasles, déterminer une mesure des angles CD, CB et AB, AE. A c. Justifier que le triangle ABE est isocèle puis en déduire la mesure de EBA. d. En déduire la mesure principale de l'angle BA, BE. e. Déterminer alors une mesure de l'angle CD, BE puis conclure. Exercice n 8 5 La valeur exacte de cos est. 5. a. Calculer la valeur exacte de sin. 5 b. En déduire : cos et cos a. Soit et deux réels. Vérifier que a b a b ab. b. En déduire que cos x sin x sin x cos x. c. En déduire la valeur exacte de cos sin. Exercice n 9 Pour chacune des équations, on fera la résolution dans IR, puis on donnera les solutions appartenant à l'intervalle [0 ; π]. ) sin x cos x ) x a b cos cos x 0 B D C Exercice n 50 On donne u ; v et f. Calculer la mesure principale de chacun des angles : w; v v w; w; v Exercice n 5 Démontrer les égalités suivantes : 5 7 ) sin sin sin sin 0 ) 5 7 sin sin sin sin 08 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

11 Exercice n 5 Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes. Pour chaque question, il y a au moins une bonne réponse. Le candidat doit cocher sur cette feuille les bonnes réponses. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Si par application de ce barème, le total des points est négatif, la note à cet exercice est ramené à zéro. Question On note une mesure de l'angle et sa mesure principale. et et et et 7 7 Question ABCDE est un pentagone régulier. AE ; DE 5 OA ; OD 5 AB ; OA 0 AO ; AE 5 B A O + E C D Question On sait que y ; et. sin y sin y cos y 5 5 cos y 9 cos y Question Soit ( O ; i, j) un repère orthonormal. Dans le repère polaire ( O ; i ), les points A et B ont respectivement pour coordonnées polaires ; et. ; OB ; OA AB 7 OB ; OA 09 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0 Exercice n 5 Rappeler les expressions de cos a et sin a en fonction de cos a et sin a.. Démontrer que cos = cos.. Résoudre dans [0 ; [ l équation trigonométrique () cos = cos.. En posant = co, montrer que l on obtient une équation du è degré d inconnue puis résoudre cette équation.. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de : cos ; cos puis de sin ; sin 5 AB

12 Exercice n 5 En utilisant les angles associées, exprimer les expressions suivantes en fonction de cos x et sin x :. A cos( x ) sin( x) cos( x) sin( x).. B sin x cos x cos x sin x C( x) cos x sin x sin x. D( x) cos 5 x sin 9 x sin x 9 Calculer les expressions suivantes en utilisant les angles associées : 5. 5 E sin sin sin sin F cos cos cos cos G cos cos cos cos Exercice n 55 Pour chacune des équations on fera la résolution dans et on donnera la solution dans ) sin x 0 Exercice n 5 Résoudre les équations et les inéquations suivantes : ) Sur 0; : cos x ) Sur0; : cos x cos ) ) 5) Exercice n 57 Donner la valeur exacte des expressions suivantes : Exercice n 58 Exprimer en fonction de cos x ou de sin x les nombres suivants : ) cos x ) sin x Sur ; :cos x 0 Sur ; :sin xsin x 0 Sur ; :sin x sin cos sin cos ) sin x ) cos x 0; 0 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0 ) ) 7) 8) cos x 0 : cos x Sur 0; Sur ; :sin x Sur ; : sin x sin 5) sin x ) cos x

13 Exercice n 59 Soit un point A de coordonnées polaires ; dans un repère orthonormé direct O; i ; j. Donner ses coordonnées cartésiennes. Exercice n 0. Résoudre dans ; :. Résoudre dans R : Exercice n Soit la fonction polynôme définie par : () =. (a) Calculer () et conclure. (b) Déterminer les réels, et tels que : () = ( )(² + + ) (c) Résoudre dans R l équation () = 0 (d) En déduire dans ; les solutions de l équation (): = 0.. Placer les images des solutions de () sur un cercle trigonométrique. Soit un réel tel que + et +, Z. (a) Démontrer que tan = ². (b) En déduire la valeur exacte de tan.. et sont deux réels tels que > 0 et 0;. (a) Déterminer les réels et tels que : cos sin = cos( + ). (b) En déduire dans R les solutions de l équation co si =. Exercice n ) Calculer : A = cos 8 sin 8 Exercice n + cos 5 8 sin 8 a ) Résoudre dans ] ; ], l'équation suivante : cos x = sin ( x + ) b ) Résoudre dans [ 0 ; ] l'inéquation suivante : cos x < Exercice n Résoudre les équations ci-dessous et placer leurs solutions sur un cercle trigonométrique. Exercice n 5 cos x Donner les valeurs exactes de A = cos ; cos x x cosx 0 cos(x) cos( x) ; sin x cos cos ( ) + cos ( 7 sin ( 7 ) + sin ( 5 x ; sin ) + cos ( ) ) + sin ( 7 ) x Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

14 Exercice n ( O, i, j ) est un repère orthonormal direct. ) Donnez les coordonnées cartésiennes des points de coordonnées polaires suivantes : 5 A ( ; ) ; B ( ; ) et C ( ; ). ) Donnez les coordonnées polaires des points de coordonnées cartésiennes suivantes : E ; ; et F ( ; - ). Exercice n 7 a. Montrer que pour tout réel x, cos x cos x sin x b. Résoudre l'équation cos x sin x. Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique. Exercice n 8 On considère l'équation E : cos x 0.. a. Résoudre cette équation dans, puis dans l'intervalle ;. b. Facultatif : représenter les solutions sur un cercle trigonométrique. Unité graphique : cm.. a. Vérifier que pour tout réel x, cos x 8 cos x 8 cos x. b. En déduire que l'équation est équivalente à : cos x cos x 0 et donner les solutions de dans l'intervalle ;. X cos x. a. Montrer que l'équation E est équivalente au système. X X 0 b. Résoudre l'équation : X X 0. E E E E 5 7 c. En déduire les valeurs exactes de, cos, et. cos cos cos Exercice n 9 Résoudre dans chacune des équations suivantes : ) cos x ) ) ) 5) ) 7) 8) sin x 0 sin x cos x sin x sin 5x sin x 0 cos x 7 cos x 0 cos x sin x 0 9) cos x sin x 0) cos x 0, ) cos x = ) cos x = ) cos x = 0,5 ) cos x = 0,5 5) cosx = ) cos x = tan 7) cos 5 x x = cos 8) cos t = 9) cos x cos x = 0) cos x = 0 ) cos t 5cost = 0 ) cos x = cos x ),5cos x,5cos x, = 0 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

15 ) cos x cos x cos x = 0 5) cos 5x cos 5x = 0 ) cos x ( ) cos x = 0 7) cos x 7cos x = 0 8) sin cos = 0 9) sin x = 0) sin x = ) sin x sinx = 0 ) sin x = 0 ) sin x = 0,77 ) sin x = 0,9 5) sin x = ) sin x = 7) sin x = sin 8) sin x = sin 9) sin 5x sin x = 0) sin x = ) sin x = 0 ) sin x sin x = (sin x ) sin x ) sin t 5sint = 0 ) sin x 9 sin x 0 = 0 5) sin x ( )sin x = 0 ) sin x sin x sin x = 0 7) sin 7sin sin = 0, [, ] 8) sin x sin x = 0 9) cos x sin x = 0 50) 50cos x 5sin x 5 = 0 5) sin x sin x = 0 t t 5) 5sin sin = 0,cost > 0 5) (cos x ) cos x sin x(cos x ) = 5) sin x sin x = 0 55) sin x cos x = 0 5) cosx = cos x 57) cosx = cosx 58) cosx cosx = 8sin x 59) sinx sin x cos x = 0 0) sin x cos x = ) cos x sin x = ) cos x sin x = ) cos x sin x = ) cost sin t = 5) cos sin = ) cos x sin x = 7) sin x cosx = 8) cost sin t = 9) cos sin = 0 70) cos x sin x = 7) cos x <, x[0, ], x [, ] 7 7) sin x, x [, ], x, 7) tan x >, x [0, ], x, 7) cos x 0 75) tant < 0 7) sin x 0 77) sin x 0 et cos x 0 78) cos x <, x [0, ], x, Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : ) sin x 0, x [, ], x 7,9 80) cos x cos x > 0, x[0,70 ] 8) sin 7sin < 0, [, ] 8) cos x 0 8) cos t cost > 0 8) cos x cos x < 0, x [0, ], x [, ] 85) sin x sin x sin x 0 8) cos x ( ) cos x 0, x [, ] 87) tan x tan x 0, x [, ] 88) tan x tan x < 0, x [0, ], x [ 5, ]

16 Exercice n 70. Developper ( sin x cos x) et montrer l identité : sin x cos x = (5 cos ) 8 x. Déduire de la question précédente la résolution de l équation sin x cos x = Exercice n 7 On donne cos x =. Calculer cos x et en déduire la résolution de l équation Exercice n 7 IV) ) Résoudre dans [0 ; Л[, l équation : tan ²(x) ( ) tan(x) 0. ) Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique. Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0 cos x = 5 On donne cos x =. Calculer cos x, puis cos x. Comparer cos x et cos x. En déduire une équation permettant de déterminer x. Exercice n 7 On considère la fonction f définie par : f ( x) = sin x cosx.. Montrer que f (x) peut se mettre sous la forme f ( x) = k sin( ax b), où les constantes k, a et b sont à déterminer.. Resoudre alors l équation f (x) =, puis l équation f ( x) = Exercice n 7 x x On considère la fonction f définie par : f ( x) = sin sin.. Montrer que f (x) peut se mettre sous la forme f ( x) = k sin( ax b), où les constantes k, a et b sont à déterminer.. Resoudre alors l équation f ( x) =, puis l équation f ( x) = Exercice n 75. Montrer que quel que soit ke réel x : cos x cosx cos x = 0. Exprimez sin a en fonction de cos a et en déduire que que que soit le réel x, sin x sin x sin x est constant. Déterminer cette constante. Exercice n 7 C Cos ; I) Le plan est muni du repère orthonormé direct O i; j. On considère les points ; B et ) a) Calculer AB AC et Sin AB; AC. b) En déduire la mesure principale de l angle orienté AB; AC. ) Quelle est la nature du triangle ABC? II) Soit (С) le cercle de centre O et rayon, (С ) le cercle de centre O (0 ;) et de rayon. ) Justifier que les cercles (С) et (С ) sont sécants en deux points E et F. Trouver les coordonnées des points E et F. ) Démontrer qu aux points E et F, les tangentes à (С) et (С ) sont perpendiculaires. ) Déterminer une équation normale, de chacune des tangentes à (С) et (С ). III) Démontrer que pour tous réels a, b ; on a : sin( a b)sin( a b) sin ² a sin ² b. ; A 0

17 Exercice n 77 Soit x un nombre réel. On donne : A( x) cos x sin x cos x. ) a) Montrer que pour tout réel x, on a : A( x) cosx sin x. b) Montrer que pour tout réel x, on a A( x) cos x. ) a) Résoudre dans l intervalle ;, l équation E: A( x) 0. b) Représenter sur le cercle trigonométrique, les images les solution de (E). Exercice n 78. Soit la fonction polynôme définie par : () =. (a) Calculer () et conclure. (b) Déterminer les réels, et tels que : () = ( )(² + + ) (c) Résoudre dans R l équation () = 0. (d) En déduire dans ; les solutions de l équation (): = 0. (e) Placer les images des solutions de () sur un cercle trigonométrique.. Soit un réel tel que + et +, Z. (a) Démontrer que tan = ². (b) En déduire la valeur exacte de tan. 5. et sont deux réels tels que > 0 et 0;. (a) Déterminer les réels et tels que : cos sin = cos( + ). (b) En déduire dans R les solutions de l équation cos sin =. Exercice n 79. On veut résoudre dans R l équation sin x cos x (a) Montrer que pour tous réels a et b, a b ( a b) ab (b) Exprimer sin x en fonction de sin x et de cos x. (c) En déduire que : sin x cos x sin x (d) Résoudre dans R l équation (E). (e) Placer les points images des solutions de (E) sur un cercle trigonométrique.. Résoudre dans R l équation (E ) sin sin = 0. Exercice n 80. Sachant que, calculer les valeurs exactes de cos et sin. Résoudre dans R l équation ( E) : cos x sin x.. Placer les points images des solutions de () sur un cercle trigonométrique.. Quelle est la nature du polygone obtenu? Calculer son aire. Exercice n 0 On considère l équation = 0 ( ) où m est un paramètre réel.. Résoudre ( )On discutera suivant les valeurs de m.. Donner les solutions de ( ) pour =.. Démontrer que cos = Déduire l expression exacte de cos puis celle de sin. 5 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

18 Exercice n 8 A.. Montrer que tan cos x x.. Montrer que cos x 0 tan x Résoudre (E) et placer les solutions sur le cercle trigonométrique.. Soit (E) l équation. En déduire dans B. On considère l application f : cos x 0 tan x, x cos x sin x 0; la solution de l inéquation. Montrer que x f ( x) sin x ; l équation f ( x) 0. Résoudre dans Exercice n 8 Soit A et B deux points fixés du plan. Déterminer le lieu géométrique des points M vérifiant les relations suivantes : faire une représentation d une telle situation en précisant les emplacements possibles du point M. ) MA; MB k ) 5) MA; MB k MA; MB k ) MA; MB 0 k ) MA; MB k Exercice n 8 Compléter le tableau ci-dessous : k k Sur un des cercles trigonométrique ci-dessous, représenter l ensemble des points M vérifiant la relation : OI; OM k où k appartient à Exercice n 8 Dans chaque cas, représenter l ensemble des points M vérifiant la relation précisée : k ) OI; OM ) OI; OM k Exercice n Démontrer que pour tout nombre réel a : cos5a = cos a 0 cos a 5cos a 5. Vérifier que pour tout nombre réel x : x 0x 5x = ( x )(x x ) t = cos. On pose 5. Démontrer que le nombre réel t est solution de l équation 5 x x = 0, puis que t = sin cos sin cos sin. En déduire 5, 5, 5, 0, 0 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

19 Exercice n 8 On considère un triangle AEC inscrit dans le rectangle AEF D. A l intérieur du rectangle, on trace le triangle équilatéral DAJ ; on note I sont centre. Attention, la figure ci-dessous n a pas été tracée correctement ; le but de l exercice est de montrer que les point I et J appartiennent respectivement aux segments [AC] et [BC]. On utilisera la propriété suivante : u; v u; w alors u et v sont colinéaires et de même sens.. a. Justifier que AC; AD b. Justifier que l angle au centre mesure c. En déduire que les vecteurs AI et AC sont colinéaires.. a. Justifier que le triangle DCJ est isocèle en J. b. En déduire la mesure de l angle CA; CJ c. En déduire que les points J, E, C sont alignés. Exercice 87 Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O; i, j. On considère les points : A( ; 0) et B ;. ) Faire un graphique que l on complètera au cours de l exercice. ) Déterminer les coordonnées polaires du point B. Que peut-on en déduire pour le triangle BOA? ) Calculer les coordonnées cartésiennes du point I milieu de [AB]. OA, OI. En déduire les coordonnées polaires de I. ) Calculer la longueur OI et une mesure de l angle IA; ID 5) Déduire des questions précédentes que : cos 8 On admettra que et ) a) calculer 8 b) Déterminer les lignes trigonométriques de 8 et sin 8 Exercice n 88. D une des formule de linéarisation, déduisez que cos x = cos(x) cos(x) Calculer alors cos cos cos cos Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

20 Exercice n 89 Montrer que pour tout réel x d un ensemble que l on précisera :.. sin(x) cos(x) = sin x cos x sin(x) cos(x) = cos x sin x cos sin x x sin(x) cos(x). = sin x cos x Exercice n 90. En remarquant que =, déterminer les valeurs exactes de sin et cos. En déduire la resolution de l équation cosx sin x = Exercice n 9. Déterminer les valeurs exactes de cos 75, sin 75, tan 75. En déduire la resolution de l équation cos x sin x = 0 Exercice n 9 On donne cos x =. Calculer cos x, puis cos x. Comparer cos x et cos x. En déduire une équation permettant de déterminer x. Exercice n 9 Résoudre dans l équation : sin x 7 sin x 7sin x 8 0 Exercice n 9 Résoudre dans ; les équations suivantes : cos x 7 cos x cos x 0 sin x cos x 5sin x 0 Exercice n 95. (a) Résoudre dans l équation d inconnue x : cosx = 0 (b) Déterminer les mesures principales des solutions (c) Representer les images des solutions sur un cercle trigonométrique! unité graphique cm. Exprimer cos x en fonction de cos x. Soit le polynôme f ( x) = 8x x. Démontrer que les racine de f (x) sont les nombres : cos 5, cos 7, cos Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

21 Exercice n 9. (a) Résoudre dans l équation d inconnue x : cos x = 0 (b) Déterminer les mesures principales des solutions (c) Representer les images des solutions sur un cercle trigonométrique! unité graphique cm. Exprimer cos x en fonction de cos x. Soit le polynôme f ( x) = x x (a) Déterminer les racines de f (x) (b) Démontrer que les racine de f (x) sont les nombres : (c) En déduire la valeur exacte de Exercice n 97 On ne cherchera pas à calculer les racines de f. (a) Factoriser f (x) (b) Developper f (x) (c) En deduire la valeur exacte de : cos, 5 cos, 7 cos, cos, cos 5 cos, 7 cos, cos 5 7 A = cos cos cos ; B = cos cos cos cos cos cos ; C = cos cos cos Exercice n 98 En considérant l équation cos x = cosx, Calculer les nombres A = cos cos cos B = cos cos cos cos cos cos C = cos cos cos Exercice n 99 Démontrer que la représentation graphique de la fonction f définie sur par : f ( x) cos( x) sin x est située entre les droites d équation y et y. Exercice n 00 Dans un repère orthonormé O; i, j, on considère les points A et B dont les coordonnées polaires sont : A( ; 0) ; B ; C ;. ) Préciser, sans justification, les coordonnées cartésiennes de A. ) Calculer les coordonnées cartésiennes de B. ) Calculer les coordonnées polaires de C. ) Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon. 5) Placer précisément les points A, B et C sur une figure. ) Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier. On considère également le point C dont le coordonnées cartésiennes sont : 9 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

22 Exercice 0 Un avion part de O et se dirige vers A. Son cap est défini par l angle i, OA où i indique la direction de l Est. Après km de vol, il se trouve en C mais un incident technique l oblige à se détourner vers l Est pour atterrir en B, tel que CB = km. Lorsqu il repart vers A, son nouveau cap est : i, BA Le pilote souhaite déterminer la distance qui lui reste à parcourir et, s il a le temps, en profitera pour déterminer les lignes trigonométriques de et quelques angles associés... O; i, j orthonormé direct. Donner les coordonnées de ) L unité choisi étant le km, on introduit le repère C. ) a) Etablir que les coordonnées cartésiennes de B sont B 9;. b) En déduire que les coordonnés polaires de B sont B ;. ) a) Justifier les égalités suivantes : CB, CA ; CO, CB ; OB, OA b) Prouver que le triangle OAB est rectangle isocèle. c) Calculer alors la valeur de la distance BA. ) a) Données les coordonnées polaires puis cartésiennes du point A. b) En écrivant le vecteur BA de deux façons différentes, établir que : cos et sin 7 c) En déduire les lignes trigonométriques de et Exercice n 0. ABC est un triangle non rectangle inscrit dans un cercle (C); D est le point d'intersection des Tangentes à (C) en B et en C. Soit θ une mesure de l'angle orienté (, ). Déterminer en Fonction de θ une mesure de l'angle orienté (, ).. A, B, C et D sont quatre points distincts du plan. Démontrer que (, ) +(, ) +(, ) +(, ) = 0. +, Z, on a tan( + ) =..a) Montrer que pour tout + et b) En déduire quetan =.. Résoudre dans [0, π] les équations suivantes: a) cos sin + = 0. b) sin( ) = cos( ). 5. Résoudre dans [-π, π] l'inéquation sin( + ) < 0. 0 Douala Mathematical Society : : Workbook : Premières C & D : 05-0

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