Exercice 1- Régulation d un réacteur chimique Corrigé page 19

Transcription

1 2 Exercice - Régulation d un réacteur chimique Corrigé age 9 Une réaction chimique A B a lieu dans 2 réacteurs, arfaitement agités, en cascade comme indiqué Figure. Le roduit A réagit de façon irréversible our former le roduit B. La quantité de réactif A consommée ar unité de volume et de tems est roortionnelle à la concentration instantanée de roduit A dans le réacteur. On note c la concentration de roduit A dans le remier réacteur (exrimée en môles de A ar unité de volume) et c 2 la concentration de roduit A dans le second réacteur. La concentration d alimentation en roduit A est notée c 0. Le débit d alimentation en roduit A est noté φ. c 0 et φ sont les variables d entrée qui vont servir à iloter le système. On suose que les coefficients de réaction k et k 2 dans chaque réacteur restent constants (oération isotherme). On suose que les volumes V et V 2 restent constants. c 0, φ V c, φ V 2 c 2, φ k k 2 Figure : Réacteur chimique Pour les alications numériques : k = min, k 2 = 2min,V = 00m 3,V 2 =50m 3 On se lace dans les conditions de Heaviside autour du oint de fonctionnement nominal. On suose que le débit d alimentation du réactif reste constant (φ = φ 0 = 00m 3 /min). La modélisation linéaire de ce système conduit alors aux équations différentielle suivantes : V dc (t) dt V 2 dc 2(t) dt = φ 0 (c 0 (t) c (t)) k V c (t) = φ 0 (c (t) c 2 (t)) k 2 V 2 c 2 (t) On note C 0 (), C () etc 2 () les transformée de Lalace de c 0 (t), c (t) etc 2 (t). Q. Écrire les équations dans le domaine de Lalace Q2. Déterminer les deux fonctions de transfert H ()= C () C 0 () et H 2()= C 2() C () Q3. En déduire H 3 () = C 2(), faire l alication numérique. C 0 () La concentration à l entrée du roduit A est modélisée ar un échelon : c 0 (t)=c 0 H(t) avec C 0 =0,5mol m 3 et H(t) la fonction de Heaviside. Q4. Déterminer C 2 (). Q5. Déterminer la valeur finale lim (c 2 (t)), la valeur initiale, et la tangente t initiale. Q6. Montrer que C 2 () s écrit C 2 ()= 0, , ,25 Q7. Déterminer c 2 (t). Q8. Tracer c 2 (t), réciser le tems de réonse à 5%. f (t) H(t) F() δ(t) δ(t τ) e τ a a H(t) a a u(t τ) eτ f (t) H(t) F() a t H(t) t n H(t) e a t H(t) a 2 n! n+ + a

2 3 Exercice 2- Étude d une servo-valve adaté de Centrale TSI 200 Corrigé age 9 A. Présentation En France, la roduction d énergie électrique assurée ar E.D.F. est à 88% d origine nucléaire. Il y a 58 réacteurs nucléaires réartis sur 8 sites. Le générateur de vaeur est l élément où se roduit l échange de chaleur entre le circuit rimaire (radioactif) et le circuit secondaire (non radioactif). La barrière entre les deux circuits est matérialisée ar des tubes de diamètre intérieur variant entre 7 mm et 20,5 mm, et d éaisseur mm. Ils sont en forme de U et sont disosés verticalement en forêt de 3000 à 5000 éléments. La différence de ression de art et d autre de l enveloe en fonctionnement est d une centaine de bars. En conséquence, une attention toute articulière est accordée à la vérification de l étanchéité des tubes au cours des arrêts de tranche. Différents rocédés sont utilisés our contrôler les tubes : remlissage du tube ar de l hélium our vérifier leur étanchéité, utilisation de courants de Foucault our mesurer l état mécanique des tubes. Les tubes résentant des défauts, dus ar exemle à la corrosion ou à des fissures, sont obstrués our éviter que le fluide du circuit rimaire ollue le circuit secondaire. C est our effectuer ces vérifications qu un laboratoire de recherche de l INSA de Lyon s est vu confier la réalisation du rototye d un robot suscetible de rogresser à l intérieur de ces tubes verticaux. Le rincie de locomotion retenu s insire du mouvement de délacement du ver (inchworm). Ce tye d avance nécessite la résence d au moins trois arties distinctes qui assurent chacune une fonction d élongation ou de blocage. Les deux modules de blocage assurent successivement le maintien du robot dans le tube et sont séarés ar le module d élongation qui réalise le as d avance. La figure 2 résente le rincie du délacement. a : le cors du robot ver est bloqué, la tige est libre b : mise en ression de la chambre arrière du vérin, le ressort est comrimé, la tige se délace c : en fin de course, la tige est bloquée, le cors est débloqué, la ression est maintenue d : relâchement de la ression, le ressort agit et délace le cors e : le cors a avancé d un as δ. L étude du système montre qu il est nécessaire de réguler la ression dans le cors afin d obtenir le mouvement souhaité. L actionneur utilisé our le délacement est un vérin à soufflet, la ression est transmise au vérin ar une servo-valve. On se roose donc d établir le modèle du comortement du système.

3 4 x δ 3 δ δ 2 δ A O a b c d e 0 Tige 2 Cylindre Figure 2: Princie du délacement du ver B. Modélisation de l actionneur Le comortement de l actionneur à soufflet est décrit ar l équation temorelle : M s ẍ + b ẋ +K e x =( a 0 ) S x et a sont deux fonction du tems. M s : Masse totale suérieure en mouvement en kg S : Section utile du soufflet S = m 2 K e : Raideur du module d élongation en N m b :Coefficient de frottement visqueux en N m s a : ression d alimentation de l actionneur 0 : ression initiale On suosera les conditions initiales nulles, on raelle que le terme 0 S étant constant, il est sans influence sur le comortement de l actionneur en régime variable. On ose e = a 0 Q. Ré-écrire l équation différentielle reliant x(t) et ses dérivées à e (t). Q2. À artir de l équation temorelle, établir l équation symbolique en qui décrit le fonctionnement de l actionneur. Exrimer alors la fonction de transfert H ()= X() P e (). Le schéma bloc modélisant l actionneur (module d extension) eut être mis sous la forme suivante : P e () K + M s + a X() K 2 Q3. Exrimer la fonction de transfert H () à artir du schéma blocs, en fonction de M s, a, K et K 2. Q4. Comarer les deux formes de obtenues et exrimer K,K 2 et a en fonction de S, K e et b. H Q5. Mettre la fonction de transfert sous la forme H ()= 0 2 ω0 2 +2ξ + ω 0 Q6. Exrimer H 0, ξ et ω 0 en fonction de M s,s,k e et b. C. servo-valve Les équations décrivant le comortement de la servo-valve sont non linéaires, ar simlification, et en tenant comte du fait que la variation de volume de la chambre reste faible devant le volume à l équilibre, on admettra un modèle linéarisé, décrivant le comortement simlifié de la servo-valve autour d un oint d équilibre. Dans le domaine symbolique, ce comortement s exrime ar l équation :

4 5 ( + a ) P e ()=a 2 I e () a 3 X() On donne a = 0rad s ; a 3 = Pa m Ces équations jointes à celles établies our l actionneur ermettent d obtenir le schéma-bloc de la figure 3 rerésentant le système (actionneur+ servo-valve) avec en entrée le courant et en sortie la osition de la tige : K 3 I e () K 4 P e () + H2 K + M s + a X() K 2 Figure 3: Schéma blocs Q7. À artir de l équation et du schéma blocs, exrimer H 2,K 3 et K 4 en fonction de a, a 2 et a 3. Q8. Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte T() = X() en fonction des aramètres du schéma I() blocs.

5 6 Exercice 3- Asservissement d altitude d un ballon à air chaud Corrigé age 20 A. Asservissement d altitude d un ballon à air chaud L objectif est d asservir les variations d altitude d une montgolfière ar raort à une altitude de référence indiquée en traits ointillés sur la figure. Nous allons simlement nous intéresser ici à la modélisation du roblème. Le rincie de la montgolfière est le suivant : un ballon contient de l air qui est chauffé ar un brûleur (ar exemle alimenté en gaz). L air chaud étant lus léger, le ballon et la nacelle ballon s élèvent... ballon θ(t) On notera les variables suivantes (variations) : h(t) = hauteur nacelle ar raort à la hauteur de référence. u(t) = signal de commande du brûleur en volts. θ(t) =différence de temérature ballon / air extérieur. v(t) = vitesse ascensionnelle de la montgolfière. bruleur w(t) = vitesse ascensionnelle de l air (courant thermique qui eut être vu comme une erturbation. Les grandeurs seront considérées ositives vers le haut. On considère que l énergie thermique du brûleur est roortionnelle nacelle w(t) à la commande u. h(t) La temérature extérieure est considérée constante. H 0 Les équations qui régissent la dynamique de la montgolfière sont les suivantes : sol dθ(t) = a dt θ(t)+b u(t) dv(t) = a 2 v(t)+b 2 θ(t)+a 2 w(t) dh dt = v(t) avec a, a 2, b, b 2 b constantes réelles > 0; la deuxième équation est linéarisé. dt B. Fonction de transfert On note : H(), U(), Θ(), V(), et W() les transformées de Lalace de h(t), u(t), θ(t), v(t) etw(t). Q. Traduire ces trois équations dans le domaine de Lalace (factoriser si nécessaire). Q2. Reroduire et comléter sur votre feuille le schéma blocs ci-dessous, en récisant les différentes fonctions et variables. W()... U() H()... C. Asservissement de la hauteur du ballon On souhaite maintenant asservir les variations d altitude du ballon, our cela On rajoute un altimètre qui mesure la hauteur du ballon (ar raort à la hauteur de référence). m h (t)=c h(t) Le ilote eut commander la variation de hauteur (hc(t)) de la montgolfière deuis le boitier de commande. m c (t)=a h c (t) Un régulateur génère la loi de commande du bruleur en fonction de l écart de hauteur. u(t)=k (h c (t) h(t))

6 7 Le cahier des charges récise les deux exigences suivantes : Le tems de réonse du ballon à 5% doit être inférieur à 50s. Afin d éviter le «mal de mer» les délacements doivent se faire sans oscillations. Comte tenu des valeurs numériques, le schéma bloc du système asservi devient : W() 0 H c () A U() 0. + K ( + 0) H() M h () C Q3. Comment doivent être A et C? Justifier. Pour la suite, afin de faciliter les calculs, on ose A = C =. On suose dans un remier tems qu il n y a as de vent ascendant w(t)=0 Q4. Déterminer la fonction de transfert G ()= H() H c (). N() Q5. Mettre la fonction de transfert sous la forme G ()=K α. Quel est l ordre de la fonction de transfert? D() Préciser K, α La montgolfière est maintenant soumise à un vent ascendant ( w(t) 0), le ilote n alique as de consigne de hauteur h c (t)=0. Q6. Déterminer G 2 ()= H() W(). Que eut-on dire du dénominateur de G 2(). D. Réglage de K On considère de nouveau que w(t)=0 On roose deux réglages ossibles de K : K =0.2, la fonction de transfert G () devient : G () K = 5, la fonction de transfert G () devient : G () 2430 ( + 0) (25 +9) ( ) 200 ( + 0) ( ) La réonse à une consigne de hauteur h c (t)=0h(t) our chacun de ces réglages est rerésentée sur la figure 4 Q7. Pour chacune des réonses temorelles, déterminer le tems de réonse à 5%, réciser l amlitude du er déassement s il existe (réondre sur le document réonse). Q8. Justifier que la réonse corresond au réglage K =0,2.

7 8 E. Doc réonse E.. Réonses temorelles h(t)[m] t[s] (a) réonse 5 h(t)[m] t[s] (b) Réonse 2 Figure 4: Réonse temorelle du système