Fiche méthodologique Rang d une matrice et applications

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1 Fiche méthodologique Rang d une matrice et applications BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deu définitions du rang d une matrice Le rang d une matrice M M n,p (K) est défini de deu manières : Soit comme le rang de l application linéaire f qui vérifie M Mat B,C (f), Soit comme le rang de la famille F constituée de p vecteurs de K n, qui vérifie M Mat C (F). B et C désignant les bases canoniques de K p et de K n. Le rang d une matrice se calcule en faisant des opérations élémentaires inversibles sur les lignes ou les colonnes de manière à se ramener à une matrice échelonnée. Le rang d une matrice échelonnée est alors égal au nombres de lignes qu elle contient (ou de pivots). On peut aussi utiliser la propriété rg(m) rg( t M) et calculer le rang de la transposée. Il faut bien avoir en tête que les matrices sont un support de calcul permettant de faire des calculs rapidement pour obtenir des propriétés sur les familles de vecteurs et sur les applications linéaires. Le but de cette fiche est d illustrer les informations que l on peut tirer du calcul du rang d une matrice dans le cas où on ne fait que des opérations élémentaires sur les lignes. Le calcul du rang d une application linéaire / d une famille de vecteurs n est possibles que dans le cas où on connaît l epression de f / les coordonnées des vecteurs. Si ce n est pas le cas, il faut revenir au définitions. Applications au familles de vecteurs Si on considère une famille de vecteurs F (u,... u p ), dont on connaît les coefficients sur une base, pour savoir si cette famille est libre ou génératrice, le plus simple est de mettre leurs coordonnées dans une matrice M et de faire des opérations sur les lignes, de manière à calculer le rang. On obtient alors : si le rang est égal au nombre de vecteurs que la famille F contient (ici p) alors la famille est libre, si le rang est égal à la dimension du sous-espace vectoriel E qui contient la famille F (ici n), alors la famille est génératrice de E. Eemple: On considère la famille de 5 vecteurs de R 4 donnés par : u (,,, ) u (, 4,, ) u 3 ( 3, 7,, 4) u 4 (5,,, 7) u 5 (, 3, 9, ). On calcule le rang de la matrice associée avec la réduction de Gauss : l 3 3l -7 6 l 4 l l l l 3 + l l 4 l 7l 4 + 6l 3

2 Le rang de la matrice est donc de 3. Elle n est ni libre ni génératrice. L avantage de ne faire que des opérations sur les lignes est qu on obtient plus d information. Notons E vect(f), on vient de voir que dim(e) rg(f) 3. On a alors : Etraire une base de E Considérons les vecteurs (u, u 3, u 5 ) (les colonnes qui contiennent des pivots), la matrice de cette famille correspond au colonnes,3 et 5 : 3 Mat(u, u 3, u 5 ) En refaisant les mêmes calculs, on voit que cette matrice se réduit matrice en : Cette matrice est donc de rang 3, ce qui signifie que (u, u 3, u 5 ) est une famille libre de E, donc une base de E. On peut donc dire qu une base de E est ( ) (,,, ), ( 3, 7,, 4), (, 3, 9, ). Attention : on utilise les coordonnées dans la matrice originale, et non dans la matrice réduite. Le principe est donc de considérer les vecteurs de la famille tels que les colonnes correspondantes dans la matrice réduite contiennent un pivot. De même, on voit donc que (u, u 3, u 5 ) forment une famille libre. Par contre, on ne sait rien sur (u 3, u 4, u 5 ), puisqu en refaisant les mêmes calculs, on obtient pas une matrice échelonnée. Déterminer une relation de dépendance entre les vecteurs. Il faut trouver une solution non nulle de : S : λ u + λ u + u 3 + λ 4 u 4 + u 5, ce qui s écrit sous forme matriciel comme le système : S λ Pour résoudre ce système, on va faire des opérations sur les lignes i.e. multiplier à gauche par des matrices inversibles pour se ramener à un système échelonné. Bien entendu, il est inutile de refaire les calculs (à moins que ce soit pour vérifier), on obtient directement : λ S 5 7.

3 On n a donc plus qu à appliquer la méthode de remontée : λ + λ 3 + 5λ 4 λ + λ 3 + 5λ 4 + λ λ λ λ λ 4 λ 4.. Ainsi, l ensemble des solutions de ce système est : { } ( ) S ( λ λ 4, λ, λ 4, λ 4, ) Vect (,,,, ), (,,, ). Deu eemples de relation linéaire est donc : u + u u + u 3 + u 4. (il y a bien sûr une infinité de solutions). Savoir si un vecteur v est dans l espace vectoriel engendré. On doit résoudre le système : S : λ u + λ u + u 3 + λ 4 u 4 + u 5 v, ce qui se fait encore une fois en se ramenant au même système échelonné. Attention, il ne faut pas oublier de faire des opérations sur les lignes sur le membre de droite, i.e. les coordonnées de v. Eemple: Pour savoir si (,,, 3) E, on résout le système : λ S

4 On refait donc les mêmes opérations (sur les deu membres) : λ λ l l l 3 + l 3 l 4 l λ l 3 3l 6 l 4 l λ l 4 + 6l 3 La dernière équation est 8, ainsi, (,,, 3) E. Déterminer les équations cartésiennes de E par le même principe avec un second membre générique : (, y, z, t) R 4, on fait des opérations sur le second membre, pour obtenir les équations de compatibilité. 4

5 On refait donc les mêmes opérations (sur les deu membres) : λ y z 4 7 t λ y l l z + l 3 + l t l 4 l λ y z + 7 3y l 3 3l 6 t + y l 4 l λ y z + 7 3y 7(t + y) + 6(z + 7 3y) 7l 4 + 6l 3 Le système admet alors une solution si et seulement si l équation de compatibilité est vérifiée. Inutile de résoudre. On obtient l équation : 7(t + y) + 6(z + 7 3y) 49 5y + 6z + 7t Ainsi : E {(, y, z, t) R y + 6z + 7t }. Attention, ces applications ne sont valables que si l on a fait uniquement des opérations sur les lignes. Applications au applications linéaires Pour déterminer si une application linéaire f est injective ou surjective, le plus simple est de calculer le rang de la matrice M associée, par eemple dans les bases canoniques : Si le rang est la dimension de l espace d arrivée, alors l application est surjective, Si le rang est la dimension de l espace de départ, alors l application est injective, Le théorème du rang donne le rapport entre le rang de l application f et la dimension du noyau. Pour calculer le rang d une application, on calcule le rang de la matrice associée. Cela permet de déterminer si l application linéaire f est surjective et/ou si elle est injective (en utilisant le théorème du rang). Eemple: Si on considère l application linéaire : f : { R 3 R 3 (, y, z) ( + 3y z, + y, 7y z). 5

6 3 La matrice associée est : On calcule son rang avec la méthode de Gauss : l + l 3 7. l 3 l Le rang est donc, donc le noyau a pour dimension. L application n est ni injective ni surjective. L avantage de ne faire que des opérations sur les lignes est qu on obtient plus d information : Déterminer une base de l espace image On sait déjà que dim(im(f)), or les deu vecteurs (f(e ), f(e )) dont on lit les coordonnées dans les deu premières colonnes de la matrice forment une famille libre de l espace image. Puisque si on avait pris que les deu premières colonnes, on aurait obtenu une famille de rang. Ainsi, une base de Im(f) est : ( ) (,, ), (3,, 7). On peut aussi choisir (f(e ), f(e 3 )), mais on ne sait rien sur (f(e ), f(e 3 )). Déterminer les équations cartésiennes de Im(f) Ici encore, il suffit de refaire les mêmes opérations sur le système : 3 λ S λ y 7 z Le second membre devient y + puis y +. z z y On en déduit l équation cartésienne de Im(f) : Im(f) {(, y, z) R 3 z y }. Déterminer une base du noyau On sait déjà que dim(ker(f)). Il s agit de résoudre l équation 3 f() qui se ramène au système : S :, que l on résout en faisant des 7 3 opérations sur les lignes, i.e. encore une fois en multipliant à gauche par des matrices de manière à obtenir : 3 7. système qui se résout facilement par remontée. 3 6