EXAMEN FINAL DE STATISTIQUES DESCRIPTIVES L1 AES - SESSION 1 - Correction -

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1 EXAME FIAL DE STATISTIQUES DESCRIPTIVES L1 AES - SESSIO 1 - Correcton - Exercce 1 : 1) Consdérons une entreprse E comportant deux établssements : E1 et E2 qu emploent chacun 200 salarés. Au sen de l'établssement E1 le salare moyen est égal à 1500 euros avec un écart-type de 00. Au sen de l'établssement E2 le salare moyen est égal à 2500 euros avec un écart-type de Dans quelle entreprse selon vous le salare est-l le plus dspersé? Dans la mesure où les salares moyens des deux établssements sont dérents, l n'est pas possble de comparer drectement les deux écarts-types. En eet, ben que l'écart-type sot une mesure de dsperson, l s'agt d'une mesure absolue. An de pouvor comparer deux ndcateurs de dsperson autour de la moyenne, dans le cas où cette dernère serat dérente l faut mesurer la dsperson relatve (en pourcentage). Il faut donc calculer le coecent de varaton dén par : CV = σ x. Le coecent de varaton est égal à 0.53 dans l'établssement 1 et sgne que la dsperson autour de la moyenne est de 53% de la valeur de cette dernère alors qu'l est égal à 0.44 dans l'établssement 2. Ans, les salares sont davantage dspersés au sen de l'établssement 1. 2) S entre 199 et l'an 2000 le cours d'une acton a été multplé par 3, quelle sera la valeur de l'ndce en 2000, base 100 en 199? De quel pourcentage le cours de cette acton aura-t-l augmenté? L'ndce en 2000, base 100 en 199 se calcule de la manère suvante : On sat que V 00 = 3 V 9, ans : I 00/9 = 100 V 00 V 9 I 00/9 = V 9 V 9 = 300 En terme d'évoluton en pourcentage : on sat que, par constructon, un ndce s'nterprète toujours par rapport à 100. Calculer un ndce base 100, c'est par dénton, xer la valeur de départ à 100 et regarder comment elle évolue s la valeur d'arrvée est nféreure à 100 : dmnuton, dans le cas contrare : augmentaton. Ic, le cours de l'acton a donc augmenté de 200%. entre 199 et ) S l'ndce du coût de la ve est 270 en l'an 2000, par comben cet ndce a-t-l été multplé? S l'ndce du coût de la ve est 270 en l'an 2000, cela mplque que : I 00/9 = 270 = 100 V 00 V 9 Ans, V00 V 9 = ) Un potentel acheteur d'un véhcule automoble se questonne quant au chox du carburant qu'l va prvléger pour sa voture. Il sat que le cours du pétrole brut vare dans le temps. A partr d'observatons sur les 6 premers mos de l'année, l en dédut la relaton suvante : P = 9, 6t + 77, 2 où P est le prx du barl de pétrole brut et t est le temps (en mos avec t = 0 en Ma 2009). Il sat par alleurs que le prx du barl de pétrole brut nue drectement sur les prx à la pompe dans les statons 1

2 servces. Il décde alors de comparer l'mpact du cours du prx du pétrole sur le prx de l'essence (noté P e) ans que sur celu du gazole (noté P g). Il trouve les relatons suvantes : P e = 0, 0049P + 0, 49 et P g = 0, 0062P + 0, Sachant que l'acheteur prévot son achat pour l'an prochan au mos de ma, quel type de carburant lu consellerez vous? Compte tenu de la relaton déne entre le prx du pétrole et le temps, l est possble d'estmer la valeur du prx du pétrole quand t = 12 c'est à dre au bout de 12 mos. P = 9, , 2 = 192, 4 Ensute, à partr des relatons dénes entre le prx du pétrole brut et les prx à la pompe du gazole et de l'essence, l est possble de calculer P e et P g avec P = 192, 4 : P e = 0, , 4 + 0, 49 = 1, P g = 0, , 6653 = 1, 6 Ans, en ma 2010, le prx de l'essence est nféreur à celu du gazole, l'essence serat donc plus ntéressante. Cependant, s l'on regarde les coecents drecteurs des deux drotes de régresson, l apparaît que le gazole semble plus sensble aux uctuatons des prx du pétrole. Ans, s le prx du pétrole contnue à augmenter alors le prx du gazole augmentera plus rapdement que le prx de l'essence. Exercce 2 : Le tableau suvant fournt les prx et les quanttés de tros produts consommés par un ménage en I P 200/2000 et I Q200/2000 représentent respectvement l'ndce élémentare des prx et des quanttés de ces denrées en 200 (base 100 en 2000). Prx en 2000 Quantté en 2000 I P 200/2000 I Q200/2000 A B C ) Calculer le taux de crossance annuel moyen du prx du produt A entre 2000 et 200. On sat que, pour le produt A, I P 200/2000 = 200, ans, l'augmentaton globale entre 2000 et 200 est de 100% pour le produt A : le prx du produt A a doublé. Le taux de crossance annuel moyen (TCAM, noté g) est le taux qu, applqué chaque année durant cette pérode ( années), condut à une aumgmentaton de 100% à l'ssue des années. Le TCAM est donc égal à 9%. p 0 = (1 + g) p 00 = 2p 00 g = 2 1/ 1 = 0, 09 2) Calculer les prx et quanttés pour l'année 200. A partr des ndces donnés dans le premer tableau : Prx en 2000 Quantté en 2000 Prx en 200 Quantté en 200 A 4 5 1,25 B C 5 5 3,75 5 3) Qu'est ce qu'un ndce synthétque de Paasche et de Laspeyres. Comment sont-ls construts pour les prx et pour les quanttés? Juster. 2

3 Vor le cours pour la dénton et la constructon. 4) Calculer et nterpréter l'ndce de Laspeyres des prx en consdérant l'année 2000 comme référence. p 0 q 00 L 0/00 (p) = 100 = 100 p 00 q , = 125, 6 Ans, s les quanttés étaent restées dentques entre 2000 et 200, la valeur globale (p*q) aurat augmenté de 25,6% : en d'autres termes, l'mpact des prx sur la valeur globale condut à une augmentaton de cette dernère de 25,6%. 5) Calculer l'ndce élémentare des valeurs globales en 200 base 100 année A partr de ce résultat, que pouvez vous en dédure (sans calcul) à propos de la valeur de l'ndce de Laspeyres des quanttés (Année 2000 comme référence)? Juster votre réponse. p 0 q 0 V G 0/00 (p) = 100 = 100 p 00 q 00 1, , = 104, 4 Ans, compte tenu des évolutons des prx et des quanttés entre 2000 et 200, la valeur globale a augmenté de 4,4%. L'évoluton assocée à la seule varaton des prx est supéreure à celle observée lorsque l'on consdère l'évoluton des prx et des quanttés, cela suppose donc qu'en consdérant seulement l'évoluton des quanttés nous aurons observé une dmnuton de la valeur globale. L'ndce de Laspeyres des quanttés est donc nféreur à ) Calculer la part budgétare de chaque denrée consommée dans la dépense totale en 200 et en dédure l'ndce de quantté de Paasche pour l'année 200 (base 100 en 2000). Exprmer le résultat en base 100. Dépenses en 200 en % A 10 11,3 B 60 67,6 C 1,75 21,1 somme, On sat que l'ndce de Paasche des quanttés est la moyenne harmonque pondérée des ndces élémentare de quantté (ndces donnés dans le tableau ntal) : R 0 [I 0/00 (q)] 1 P 0/00 (q) = R 0 1 = R 0 R 0 I 0/00 (q), 75 P 0/00 (q) = ,75 = 3, Ce résultat (ndce de quantté nféreur à 100) conrme les résultats précédents : l'ndce de Paasche des quanttés ndque que la seule varaton des quanttés aurat provoqué une dmnuton de la valeur globale de 17% envron. Exercce 3 : 3

4 Indces de volume base 100 en 2000 Produts des TIC (1) Dépense totale de consommaton , ) En consdérant que la dépense totale de consommaton peut être nuencée par les dépenses en TIC, représenter le nuage de ponts correspondant. Pour représenter correctement le nuage de ponts : les dépenses en TIC devaent être placées en abcsses et la dépense totale de consommaton en ordonnées. 2) Après avor calculé la moyenne et la varance pour chacune des deux varables, détermner l'équaton de la drote de régresson. otons x les dépenses en TIC et y la dépense totale de consommaton. x = 1 ȳ = 1 V (x) = 1 V (y) = 1 n x = 1 ( ) = 165 n y = 1 ( , ) = 109, 06 n x 2 x 2 = n y 2 ȳ 2 = , La drote de régresson a pour équaton : y = ax + b avec a = cov(x,y) V (x) donc au préalable calculer la covarance : cov(x, y) = 1 x y j xȳ = j , Après calcul, la drote de régresson a pour équaton : y = 0, 13x + 7, = 231, , 06 2 = 40 et b = ȳ a x. Il faut , 06 = 306 a. Interpréter les coecents obtenus. S les ménages ne consommaent pas de produts TIC, quel serat l'ndce de dépense totale de consommaton? S les ménages ne consommaent pas de produts TIC, c'est à dre s x = 0,alors y = 0, , 6 = 7, 6. b. Calculer et nterpréter le coecent de détermnaton. Le coecent de détermnaton fournt une ndcaton de la qualté de l'ajustement. Il est, par dénton, toujours comprs entre 0 et 1. R 2 = cov(x, y)2 V (x)v (y) = = 0, 9 231, Le modèle explque 9% de la réalté : le fat que le montant de la dépense totale de consommaton dére selon les années peut être explqué à 9% par le fat que la consommaton en produts TIC dère. 4

5 3) S l'on consdère que la dépense totale de consommaton évolue avec le temps, détermner l'équaton de la drote de régresson qu exprme l'évoluton des dépenses de consommaton en foncton du temps. Calculer le coecent de détermnaton. Il faut calculer l'équaton de la drote de régresson : y = a t + b. Pour cela, au préalable l faut calculer t, V (t) et cov(t, y). Pour smpler les calculs, l est possble (mas pas nécessare) de poser t = 0 en t = 1 n t = 1 ( ) = 3, 5 V (t) = 1 n t 2 t 2 = , 5 2 = 5, 25 cov(y, t) = , t y j tȳ = 3, 5 109, 06 = 14, 35 j La drote de régresson a pour équaton : y = a t + b avec a = cov(t,y) V (t) calcul la drote de régresson a pour équaton : y = 2, 73t + 99, 5 et b = ȳ a t. Après R 2 = cov(x, y)2 14, 352 = = 0, 9 V (x)v (y) 5, ) A partr de quelle année l'ndce de dépense totale de consommaton excèderat-l 150? En dédure l'ndce de volume assocé aux produts TIC correspondant. L'ndce de dépense totale de consommaton excèdera 150 lorsque 2, 73t + 99, 5 > 150, c'est à dre lorsque t = 1 (en 201). L'ndce de volume assocé aux produts TIC sera alors tel que 0, 13x + 7, 61 = 150, c'est à dre x = 40. Exercce 4 : L'âge moyen du personnel dans une entreprse de 0 salarés est de 41 ans avec un écart-type de 5 ans. Face aux conséquences d'une crse nancère et économque, l'entreprse est contrante de se restructurer. Le plan de lcencement prévot le départ en retrate antcpé de 4 personnes ayant 55 ans, 55 ans,60 ans et 57 ans et 3 nouveaux recrutés ayant respectvement 25 ans, 23 ans, 30 ans ntègrent l'entreprse. Calculer le nouvel âge moyen du personnel et son nouvel écart-type après restructuraton. 0 salarés au départ, restent, 4 s'en vont et 3 nouveaux arrvent (). L'objectf est donc de calculer l'âge moyen de ces salarés parm lesquels étaent déjà présents, nous noterons cette moyenne. = 1 = 1 n x = 1 n x + les tros nouveaux entrants n x Pour pouvor calculer le nouvel âge moyen l faut donc calculer n x. On sat que l'âge moyen lorsqu'ls sont 0 est 41 ans. Ans : 0 = n x = 1 n x + les 4 qu partent 0

6 n x = 0 41 ( ) = = 1 n x Le nouvel âge moyen est donc égal à : = 1 [ ] = 39, 6 ans. Pour le nouvel écart-type la démarche est la même. Dans un premer temps, calculons la nouvelle varance c'est à dre lorsqu'l y a salarés (notée V ). V = 1 n x 2 2 = 1 n x , 6 2 Pour pouvor calculer la nouvelle varance, l faut donc calculer n x 2. On sat que l'écart-type lorsqu'ls sont 0 est égal à 5 ans. Ans : V 0 = 1 n x = 1 n x = n x 2 = ( ) 0 ( ) = La nouvelle varance est donc égale à : V = 1 écart-type est égal à 4,7. [ ] = 22, 15 et le nouvel 6

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