; et un sens direct (sens positif, au

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1 I- Angles dans un cercle I- 1 : Cercle trigonométrique Définition 1: Un cercle trigonométrique, est un cercle orienté de centre O et de rayon 1, auquel, on associe un repère orthogonal direct, ( O i, j ) inverse des aiguilles d une montre) ; et un sens direct (sens positif, au I- : Le radian Définition : Soit C un cercle de centre O et de rayon R Un angle de 1 radian est un angle au centre (de sommet O) qui intercepte un arc du cercle de longueur R En particulier, sur un cercle de rayon unité, un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur unité De ce qui précède, on en déduit une correspondance (proportionnelle) entre la mesure d un angle en degré et sa mesure en radian, d une façon simple, la table de conversion suivante nous permet de transformer les degrés en radian: 180 degré radian a x Conséquence: L aire A du secteur d un disque de rayon R, intercepté par un angle au r centreα est proportionnelle à ce dernier : A = α 1 Cours trigonométrie : nde

2 I- : Enroulement de la droite autour du cercle Définition : Soit M un point d un cercle trigonométrique C On appelle l'abscisse curviligne de M, l'abscisse d un point M de la droite orientée (tangente à C en I) qui s obtient par la superposition du point M et, par l enroulement de la droite autour du cercle C Théorème 1 (admis): Soit α la mesure curviligne d un point M du cercle trigonométrique C, alors tout nombre réel de la forme α + k ( avec k Z) est aussi une mesure curviligne de M Définition : À tout point A du cercle trigonométrique, on associe l angle orienté ( OI, OA) défini par les vecteurs unitaires OI et OA tel que ( ) α OI, OA = et si B est le symétrique du point A par rapport à (OI), on définit par les vecteurs unitaires OI et OB, l angle orienté ( OI, OB) tel que ( OI, OB) = α OI, OA Remarque : Ainsi, on peut associer à l angle orienté ( ) α, d autres mesures comme ( OI, OA) = α +, ( OI, OA) = α, ( OI, OA) = α +, etc On dit alors qu un angle orienté ( OI, OA) de mesure α, admet une infinité de mesures, toutes OI, OA modulo = de la forme ( ) α + k ou ( ) α = OI, OA = [ ] On dit que ces angles sont définis Cours trigonométrie : nde

3 Définition 5: À tout point M du cercle trigonométrique C, on associe l angle orienté ( OI, OM ) Parmi les mesures possibles de ( OI, OM ), il y a une unique mesure appartenant à l intervalle ], ] ( OI, OM ) Cette mesure est appelée la mesure principale (en radian) de l angle orienté Comment calculer la mesure principale d un angle donné Exemple 1: Calculer la mesure principale de l angle dont une mesure est donnée par Solution : On sait que les autres mesures de cet angles sont de la forme + k, avec k Z On a donc parmi toutes les valeurs possibles de k, une qui vérifie, l inéquation : < + k < k Ou encore 7 19 < k, en multipliant tous les membres de cette inéquation par :, on trouve : < k Or,, et, Donc le seul entier vérifiant k dans l inéquation précédente est, d où + ( ) = Donc la la mesure principale de est Exercice 1: Calculer la mesure principale de l angle dont une mesure est donnée par Solution : 7 Cours trigonométrie : nde

4 Voici l algorithme et le programme du calcul de la mesure principale d un angle donné : Variables : ϕ, θ, k et t sont des nombres Entrées Introduire mesure de l angle Traitement k 0 t ϕ Tant que t> ; t t k k 1 Fin Tant que Tant que t ; t t + k k +1 Fin Tant que θ ϕ + k Sorties Afficher k Afficher θ (Sous Algobox, le nombre est défini par MathPI) Cours trigonométrie : nde

5 II- Lignes trigonométriques II- 1 : Les coordonnées d un point du cercle trigonométrique Définition 6: On dit que le repère ( O i, j ) ; est un repère orthonormal direct, si les deux conditions suivantes sont vérifiées simultanément : i = j = 1 ; ( i ; j ) = [ ] Remarque : Dans la définition précédente, [ ] lit modulo remplace k dans la somme + k et se Théorème :Soit M un point d un cercle trigonométrique C, de centre O, associé à un repère ( O ; i, j ) tel que (, OM ) x [ ] M ( x, sin x) cos Démonstration : OI =, alors les coordonnées du point M sont données par Conséquences :1)On a vu que si x est une mesure de l angle ( OI, OM ) réel de la forme x + k ( avec k Z) est aussi une mesure de ( OM ) ( x + k ) cos x et sin ( x + k ) = sin x cos = OI,, donc :, alors tout nombre ) Les coordonnées de tout point M du cercle trigonométrique, varient entre 1 et 1, donc 1 cos x 1 et 1 sin x 1 5 Cours trigonométrie : nde

6 II- : Angles associés Théorème : Pour tout réel x : sin x = sin x sin sin Démonstration : ( ), cos ( x) = ( + x) = sin x, cos ( + x) = ( x) = sin x, cos ( x) = cos x cos x cos x Voici quelques angles remarquables et les sinus et cosinus associés: 6 Cours trigonométrie : nde

7 II- : Angles complémentaires Théorème : Pour tout réel x : sin x = cos x sin + x = cos x Démonstration :,, cos x = sin x cos + x = sin x Exercice : 5 7 Calculer : A = sin + cos 5sin + cos Solution: Voici quelques mesures remarquables et leurs lignes trigonométriques : Masure de l angle en degré Masure de l angle en radian 0 Sin x 0 Cos x 1 Tan x = 1 _ 7 Cours trigonométrie : nde

8 Exercice : Calculer Solution: 7 B = sin n + sin + cos avec n N 6 III- Identités trigonométriques fondamentales On sait déjà que pour tout réel x, on a : sin x + cos x = 1, sin x 1 Pour tout x R\{ + k / k Z}, tan x = et 1 + tan x = cos x cos x Comment utiliser les lignes trigonométriques? 1 Exemple : On suppose que α est un réel appartenant à ; 0, tel que tanα =, calculer cosinus et sinus de α 1 Solution: On sait que pour tout réel α R\{ + k / k Z}, 1 + tan α = cos α Or, α ; 0, cos α > 0 et sinα 0, donc : tan α =, soit cos α cos 1 = 1+ α donc 1 17 = ; cos α cos α = donc cosα = = ( ce résultat n'est pas acceptable car α ; 0 ) ou 17 cos α = = donc sinα tanα = sinα = tanα cosα = = cosα Exercice : On suppose que α est un réel appartenant à calculer sinus et tangente de α Solution: ;, tel que cosα =, 8 Cours trigonométrie : nde

9 Suite de la solution de l exercice précédent : Comment démontrer une identité (égalité) trigonométrique? Méthodes : Pour démontrer une égalité trigonométrique, on transforme le membre le plus complexe de l égalité par des manipulations algébriques afin qu' il soit identique à l autre membre Un deuxième procédé consiste à manipuler algébriquement et indépendamment les deux membres de l égalité, afin qu' ils deviennent identiques(évidemment ma préférence va vers la 1 ère méthode) Exemple : Démontrer l égalité suivante pour tout réel x: sin x - cos x + cos x = Solution: Pour démontrer cette égalité trigonométrique, on transforme le 1 er membre (que est le membre le plus complexe de l égalité) par des manipulations algébriques afin qu'il soit identique au nd membre : sin x cos x + cos x = sin cos x + cos x sin sin sin sin sin x cos x cos x cos x + cos x + cos x + cos x = sin x = sin x = sin ( ) ( x cos x) ( sin x + cos x) x cos x + cos ( x + cos x) x cos x + cos x = 1 sin = 1 x cos x + cos x = 1 + cos = 1 x + cos x Exercice 5: Démontrer l égalité suivante pour tout réel a R\{ k / k Z}: Solution: sin ( a) + cos( a) sin ( a) x ( a) ( a) + 1 cos = 1 cos x (D'après l'identité a b ) 9 Cours trigonométrie : nde

10 IV- Équations, inéquations trigonométriques IV- 1 Équations trigonométriques Théorème 5: On définit les équations trigonométriques élémentaires : cosx = a sin x = b tanx = tanγ ( avec 1< a < 1 ) ( avec 1< b < 1 ) Démonstration : k Z, x = α + k cosx = cosα ou k Z, x = α + k où α est l' unique réel de [ 0, ] k Z, x = β + k sin x = sinβ ou k Z, x = β + k où β est l' unique réel de, x = γ + k avec k Z avec x + k; k Z Cas particuliers : Pour tout réel x et tout entier relatif k : cos x = 0 x = + k ; sin x = 0 x = k cos x = 1 x = k ; sin x = 1 x = + k cos x = 1 x = + k ; sin x = 1 x = + k 1 x = x = + k 6 1 sin x = sin x = sin ou k Z 6 x = + k 6 Exemple : Résoudre dans R puis dans [, [ : sin( ) Solution: ( ) ( ) 10 Cours trigonométrie : nde

11 k x = + 18 ou k Z ; 7 k x = + 18 k 7 k S IR = + ; + / k Z On fait varier k dans Z, afin de trouver, les solutions dans [, [ 7 Pour k=0, on trouve : ; ; Pour k=1, on trouve :, car l autre solution, c est-à-dire Pour k=-1, on trouve : 1 5 ; ; Pour k=-, on trouve :, car l autre solution, c est-à-dire 18 18, ; Pour k= et k= -, on ne trouve aucune solution dans [ [ Donc S [, [ = ; ; ; ; ; x Exercice 6: Résoudre dans R puis dans [, [ : sin( ) = cos x Solution: [, [ ; [, [ ; 11 Cours trigonométrie : nde

12 Suite de la solution de l exercice précédent : IV- Inéquations trigonométriques Dans cette partie du cours, on s intéresse à la résolution d'inéquations trigonométriques élémentaires à l aide d un cercle trigonométrique Exemple 5: Résoudre dans R puis dans [, [, l inéquation : cos( ) Solution: cos( x ) cos( x ) Pour résoudre cette inéquation, on pose x (1) =, donc résoudre l inéquation (1), revient à X x résoudre, d abord l inéquation: cos X On remarque que = cos ou encore = cos On retrouve les solutions de cette inéquation, sur l arc, colorié en rouge du cercle trigonométrique, ci-dessous : donc cos X + k X + k, avec k Z Ainsi, on a successivement : cos( x ) + k x + k + k x + k, avec k Z D où : S IR = U k k ; + k Z 8 8 On fait varier k dans Z, afin de trouver les solutions : 5 5 dans [, [ : [, [,,, 1 8 S = Pour k = 1 pour k= 0 Pour k= 1 1 Cours trigonométrie : nde

13 Exercice 7: Résoudre dans R puis dans [ [ ; Solution: 0 : sin x + < 0 1 Cours trigonométrie : nde

14 V- Fonctions circulaires V- 1 Définition d une fonction circulaire (trigonométrique) Définition 7: Toute fonction qui peut être associée à un cercle trigonométrique est appelée fonction circulaire, comme les fonctions x a sin x, x a cos x et x a tan x V- Fonction périodique Une fonction circulaire est définie sur R En traçant une fonction circulaire, on peut constater qu une partie de la courbe est reproduite indéfiniment à gauche et à droite sur les intervalles successifs de longueur T, ainsi, on peut logiquement penser à un moyen qui justifiera cette particularité de ces fonctions et de cette façon, on se limite à l étude de cette fonction sur cet intervalle de longueur T afin de trouver son comportement sur le reste de R O Une fonction f est de période T (la période la plus petite ) (ou T-périodique) si : pour tout x D f,, x+t D f et x-t D f et pour tout x D f, f( x+t )=f( x ) et la courbe C f est Définition 8: Le plan est muni d un repère orthogonal ( ; i, j ) globalement invariante par la translation de vecteur V = kt i Comment calculer la période d une fonction trigonométrique? Règles :1) la période T des fonctions du type: f (x)=sin(α x+β ) et f (x)=cos(α x+β ) s obtient par : T = (ici on suppose que α > 0, dans le cas contraire, on utilise les formules: α sin (-x) = -sin (x) et cos (-x) = cos (x), afin de rendre le signe de α positif) Car + f x =cos α x + + β = cos ( α x + + β) = cos(α x+β )= f (x) α α ) la période T d une somme de fonctions du type : f ( x) = sin( α 1x) + sin( α x) s obtient d abord par la recherche des périodes des fonctions : x a sin( α1x) et x a sin( α x), qui sont respectivement : T 1 = et T = puis le plus petit multiple commun des deux périodes α α 1 Exemples 6: Etudier la périodicité des fonctions f et g définies respectivement par : x x f (x) = sin²(x) sin (x) et g ( x) = cos + sin Solution: -Il est évident que est une période pour la fonction f mais nous cherchons la période la plus petite de f : En considérant =, on trouve f ( x+ )= sin²( x + ) sin ((x + )) f ( x+ ) = ( sin( x) ) sin( x) = sin²(x) sin (x)= f (x) Donc f est -périodique - Pour la fonction g : T 1 = = 6 et T = =, donc le plus petit multiple commun 1/ 1/ des deux périodes est 1, en effet 1 1 x x g ( x + 1 ) = cos ( x + 1 ) + sin ( x + 1 ) = cos + + sin + 6 x x g ( x + 1 ) = cos + sin = g( x) Donc g est 1-périodique 1 Cours trigonométrie : nde

15 V- Fonctions circulaires Le plan est muni d un repère orthogonal ( O i, j ) V- 1) Fonction sinus x a sin x est une fonction : La fonction sinus ( ) ; : - définie sur R ; - périodique de période (on l a vu auparavant avec sin ( x + k ) = sin x ), on peut restreindre l étude de cette fonction à un intervalle de longueur, ; - impaire (on l a vu auparavant avec sin ( x) = sin( x) l étude de cette fonction à un intervalle, comme [, ], comme [ ] ), on peut donc restreindre 0 En passant par un cercle trigonométrique, entre 0 et, on peut constater que cette fonction est croissante sur 0, et décroissante sur, x ( x) 0 sin De ce qui précède, par la parité, on peut affirmer que qu elle est croissante sur, 0 et décroissante sur, On complète cette étude (y compris pour la construction de la courbe), par périodicité à gauche et à droite de [ ], Remarques : Sa courbe admet :, par la translation de vecteur V = k i, où k Z - des symétries de centre A k ( k ;0) ; - des axes de symétrie d équation : x = + k, k Z 15 Cours trigonométrie : nde

16 V- ) Fonction cosinus La fonction cosinus x cos ( x) a est une fonction : - définie sur R ; - périodique de période (on l a vu auparavant avec cos ( x + k ) = cos x ), on peut restreindre l étude de cette fonction à un intervalle de longueur, ; - paire (on l a vu auparavant avec cos ( x) = cos( x) de cette fonction à un intervalle, comme [ 0, ], comme [ ] ), on peut donc restreindre l étude En passant par un cercle trigonométrique, entre 0 et, on peut constater que cette fonction 0, est décroissante sur [ ] x 0 cos ( x) De ce qui précède, par la parité, on peut affirmer que qu elle est croissante sur [,0] On complète cette étude (y compris pour la construction de la courbe), par périodicité à gauche et à droite de [ ],, par la translation de vecteur V = k i, où k Z Remarques : Sa courbe admet : - des symétries de centre A k + k ; 0 ; - des axes de symétrie d équation : x = k, k Z Remarques : On sait que de sin ( x) décalée de cos = sin x + x, on peut dire que la courbe de ( x) vers la gauche cos est celle Cette courbe est une sinusoïde 16 Cours trigonométrie : nde

17 V- ) Fonction tangente La fonction tangente f : x a tan ( x) est une fonction : - définie sur R\{ + k / k Z} ; sin - périodique de période (car, ( ) ( x + ) sin( x) sin( x) tan x + = = = = tan( x) ), cos( x + ) cos( x) cos( x) on peut donc restreindre l étude de cette fonction à un intervalle de longueur, comme, ; sin - impaire (car, x D f, x D f, ( ) ( x) sin( x) tan x = = = tan( x) ), on peut cos x cos x ( ) donc restreindre l étude de cette fonction à un intervalle, comme ( ) 0, En passant par un cercle trigonométrique, entre 0 et, on peut constater que cette fonction est strictement croissante sur 0, x 0 cos + ( x) 0 De ce qui précède, par la parité, on peut affirmer que qu elle est aussi strictement croissante sur,0 On complète cette étude (y compris pour la construction de la courbe), par périodicité à gauche et à droite de,, par la translation de vecteur V = k i, où k Z Remarque : Sa courbe admet des symétries de centre A k ( k ;0) ; k Z 17 Cours trigonométrie : nde

18 V- ) Fonctions sinusoïdales Définition 9: On appelle fonctions sinusoïdales, fonctions définies sur R, par : x asin bx + c x a a cos bx + c, où a, b R* et c R a ( ) et ( ) Définition 10: On appelle l amplitude d une fonction f, le nombre a défini par : f max f a = min Exemple 7: On sait que : le maximum des fonctions sinus et cosinus sur [ 0, ] est 1 ; le minimum des fonctions sinus et cosinus sur [ 0, ] est 1 ; 1 ( 1) Donc, ces deux fonctions, ont pour amplitude : a = = 1 Remarque : Il n y a pas d amplitude associée à la fonction tangente Conséquences : La fonction définie par : f : x a a sin( bx) (avec ( b) a, R * +), a: - pour amplitude a ; - pour période T = ; b - pour un premier maximum : f max = a, obtenu pour x = ; b - pour un premier minimum : f min = a, obtenu pour x = b Exemple 8: La fonction définie par : f x sin( x) : a, a : - pour amplitude a= ; - pour période T = = ; - pour maximum f max =, obtenu pour x = ; - pour minimum f min =, obtenu pour x = (voir la courbe suivante) : 18 Cours trigonométrie : nde

19 Conséquences : La fonction définie par : f : x a a cos( bx) (avec ( b) - pour amplitude a ; - pour période T = ; b - pour un premier maximum : f = a a, R * + ), a: max, obtenu pour x = 0 ; - pour un premier minimum f min = a, obtenu pour x = b Remarque : Cette fonction étant paire, l abscisse d un deuxième minimum est x = b Exemple 9: La fonction définie par : f : x a cos x, a : - pour amplitude a= ; - pour période T = = ; / - pour maximum f = max, obtenu pour x = 0 ; - pour minimum f min =, obtenu pour x = (voir la courbe suivante) : 19 Cours trigonométrie : nde

20 Comment étudier une fonction associée à une fonction trigonométrique? Exemple 10: Soit C f la courbe représentative d une fonction f dans un repère orthonormal ( O i, j ) ;, définie sur R par : f ( x) = + cos ( x) 1) Étudier la périodicité de la fonction f En déduire que C f est globalement invariante par une translation que l on précisera ) Étudier la parité de la fonction f Expliquez pour quelle raison, on peut étudier f sur l intervalle 0; ) Montrer que x R, f ( x) ) Étudier les variations de f sur 0; En déduire les variations de f sur l intervalle ; 0 5) Donner le tableau de variations de f sur ; Solution : 1) Périodicité de f : On peut conjecturer que la fonction f est T = -périodique, démontrons-le : ( ) { f x + = = = ( ) ( ) = f ( x) + cos x + Car cos X + = cos X + cos x + cos x + Donc f est -périodique On peut donc étudier f sur un intervalle de longueur, comme ; On en déduit que C f est globalement invariante par une translation de vecteur V = k i, k Z ) Parité de f :On sait que f définie sur R, donc x D f, x D f : f ( x) = = = + cos ( x) + cos( x) On peut donc restreindre, l étude de f à un intervalle comme l intervalle 0; ) On sait que x R, 1 cos( x ) 1 donc 1 + cos( x ) Or, la fonction x a est strictement décroissante sur ] 0,+ [, donc x + cos x En multipliant les trois membres de cette inégalité par, on trouve successivement : f ( x) + cos x ( ) f ( x) ( ) 1 0 Cours trigonométrie : nde

21 ) Étudions les variations de f sur 0; : Considérons deux réels a et b R, tels que 0 a < b 0 a < b Or, la fonction x a cos x est strictement décroissante sur [ 0, ], donc : cos( ) cos( b) < cos( a) cos( 0) 1 cos( b) < cos( a) 1, ou encore x 0; : 1 cos ( b) < cos( a), on a donc successivement + cos( b) < + cos( a) Or, la fonction x a est x 1 1 strictement décroissante sur ] 0,+ [, donc < En multipliant les trois + cos( a) + cos( b) membres de cette inégalité par, on trouve : <, donc : + cos a + cos b ( ) ( ) f ( a) < f ( b), a et b 0; On en déduit que f est strictement croissante sur 0; Or, f est paire et on sait que si f est une fonction paire que f est strictement croissante sur,b 0,+ b, a, donc f est strictement [ a ] [ [, alors elle est strictement décroissante sur [ ] décroissante sur ; 0 Et, on a f ( 0 ) =, f = f = De tout ce qui précède, on en déduit le tableau de variation suivante : 5) x 0 f ( x) 1 Cours trigonométrie : nde

22 Exercices à faire à la maison Exercice 1: Calculer : 1 1) cos 7 ) sin 11 ) tan 6 Exercice : Calculer : 5 5 1) A = sin + sin + sin cos + cos 5sin ; 5 6 ) B = sin ( + x) sin + x + sin x + + cos x Exercice : Simplifier l expression suivante : Exercice : Soit ( O i, j ) ( x) + sin ( x) ( x) + tan( x) sin( x) cos A = tan ; un repère orthonormal direct du plan On désigne par C le cercle trigonométrique 1) Placer le point M sur C, repéré par un réel x, 0 tel que cos x = 5 ) a) Calculer sin x b) En déduire tan x ) Plus généralement, soit x, 0 tel que sin x = α a) Quel est le signe du réel a? b) Calculer les réels cos x et tan x en fonction de a Exercice 5: Soit ( O i, j ) ; un repère orthonormal direct du plan On désigne par C le cercle trigonométrique 1) Placer sur le cercle trigonométrique C, à l aide d un rapporteur le point A repéré par le réel ( 1) ) On donne cos = 5 Calculer la valeur exacte de sin ) En déduire la valeur exacte de tan 1 ) a) Placer, sur le cercle trigonométrique C, les points B et C repérés respectivement par le réels et b) En déduire, les valeurs exactes des réels sin, cos, sin et 17 cos 1 Cours trigonométrie : nde

23 Exercice 6: Résoudre les équations suivantes dans R, puis dans ], ] : 1) cos( x ) = ; ) sin x = cos( x) Exercice 7: Résoudre dans R, puis dans [, [ : sin x + < 1 Exercice 8: Résoudre seulement dans [, [ : < sin( + ) 1 x Exercice 9: Déterminez la période de la fonction : x 1) f ( x) = sin ; ) ( ) = x g x sin + cos x x Exercice 10: Soit f la fonction définie sur R par : f ( x) = cos 1) Déterminez la période de la fonction f ) Déterminez les coordonnées de deux minimums et deux maximums successifs ) Représentez graphiquement sur une période Exercice 11: Déterminer par simple lecture graphique, une équation de chacune des courbes suivantes : 1) ) Cours trigonométrie : nde

24 Exercice 1: Simplifier l écriture des expressions suivantes : 10 1 a) A = cos + cos + cos + cos b) B = sin + sin + sin + sin Cours trigonométrie : nde

25 Tableaux récapitulatifs Identités trigonométriques fondamentales Pour tout réel x, on a : sin x + cos x = 1, sin x Pour tout x R\{ + k / k Z}, tan x = et cos x tan x = cos x x R, cos ( x + k ) = cos x et sin ( x k ) = sin x + x R, 1 cos x 1 et 1 sin x 1 Angles associés Pour tout réel x : sin sin sin ( x) = sin x, cos ( x) = ( + x) = sin x, cos ( + x) = ( x) = sin x, cos ( x) = cos x cos x cos x Angles complémentaires Pour tout réel x : sin x = cos x sin + x = cos x,, cos x = sin x cos + x = sin x Équations trigonométriques On définit les équations trigonométriques élémentaires : cosx = cosα x = α + k ou x = α + k k Z Et x = β + k sin x = sinβ ou k Z x = β + k tan x = tanγ x = γ + k k Z avec x R \{ + k ; k Z } 5 Cours trigonométrie : nde