Module TS (Théorie de Signal)

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1 Module TS (Théorie de Signal) Conenu de Module Chap1 : Signaux, Foncions e Opéraeurs de base. Chap2 : Classificaion des Signaux. Chap3 : Séries e Transformée de Fourier. Chap4 : Convoluion e Corrélaion. Chap5 : Analyse Specrale Chap6 : Echanillonnage. Chap7: Signaux Aléaoires. Chap8 : Filrage. Chap9 : Transformées de Fourier Discrèe e Rapide Chap10 : Modulaion e Démodulaion des Signaux

2 Généraliés Définiions Signal : le signal es la représenaion physique d un phénomène qui évolue dans le emps ou dans l espace. Signal : vien du lain signe ; variaion dune grandeur physique de naure quelconque poreuse d informaion. Théorie du signal : es l ensemble des ouilles mahémaiques qui permeen de décrire les signaux émis par une source, ou modifies par un sysème de raiemen. Théorie de l informaion : es l ensemble des ouils mahémaiques qui perme de décrire la ransmission de messages véhiculés d une source vers un desinaaire. Traiemen du signal : es l ensemble des méhodes e des algorihmes qui perme d élaborer ou d inerpréer les signaux poreurs d informaion. Plus précisémen : - élaboraion : codage, modulaion, changemen de fréquence. - inerpréaion : décodage, démodulaion, filrage, déecion, idenificaion, ec ; - échanillonnage : représenaion en emps discre. - numérisaion : par conversion A/N. Théorie de l informaion Messages Mos- codes Canal Source Codeur Emeeur Récepeur Décodeur Desinaion On s inéresse à la Théorie du signal Théorie de signal Cee discipline donne une descripion mahémaique des signaux. Cee héorie fai appel à l algèbre linéaire, l analyse foncionnelle, l élecricié e l éude des processus aléaoires. Elle es apparue en 1930 avec les premiers ravaux de Wiener e Kinchin sur les processus aléaoires, e ceux de Nyquis e Harley sur la quanié d informaion ransmise sur une voie élégraphique. Les conribuions essenielles au TS n inerviennen qu après la guère mondiale. Invenion du ransisor en 1948, ravaux de Shannon sur la communicaion, de Wiener sur le Filrage e de Schwarz sur les disribuions. 2

3 Chapire :1 Signaux, Foncions e Opéraeurs de Base Inroducion Dans ce chapire on présene la descripion mahémaique de signaux élémenaires, souven idéaux (ne son pas réalisable physiquemen), mais rès praiques pour la descripion de modèles mahémaique. *signaux usuels 1- foncion signe : noeé sgn() C es une foncion réelle de la variable réelle définie par : sgn() La foncion sgn es une foncion impaire sgn()=-sgn(-), Par convenion, on défini : sgn(0)=0 2- foncion échelon unié : noée ε() ou u() -1 Echelon unié, échelon ou foncion de Heaviside, es une foncion réelle de la variable réelle défini par : ε() Avec par convenion : ε(0)=1/2 3- foncion rampe : noée r() : ε() NB : 4- foncion recangle ou pore : noée rec : П() La foncion recangle unié ou foncion pore, de largeur 1, es une foncion réelle de la variable réelle rec() définie par : 1 RQ : NB : rec()= ε(/2)- ε(-1/2) -1/2 1/2 On remarque que l aire de la foncion recangle de largeur unié vau 1. 3

4 La focion recangle, ou pore, de largeur T, noée rec T, es une foncion réelle du variable réelle définie par : rect() 1 rec T ()=rec(/t)= ε(+t/2)- ε(-t/2) NB : l aire de la foncion recangle de largeur T vau T. -T/2 T/2 5-foncion riangle : noée Tri() ou Δ() 1 La foncion riangle es une foncion réelle de la variable réelle définie par : ri() NB : l aire de la foncion riangle unié 1 e la largeur de son suppor vau 2. La foncion riangle de largeur 2T (ou d aire égale à T) es noée : -1 1 ri() 6- Impulsion de Dirac : noée δ() -T/2 T/2 Impulsion de Dirac, ou disribuion de Dirac, vérifie : 1 δ() Propriéé : 0 7- la Gaussienne : noée g() La Gaussienne ou cloche, définie par : M= g() 61%M sinc() 8- sinus Cardinal : noée sinc() 1 σ g Cee foncion es définie par : NB : la disribuion de Dirac peu êre vue comme la limie de foncions : 4

5 III-Foncions e opéraeurs de base : 1- Règle de l hopial : Soien f() e g() deux foncions coninues e dérivables en 0 e elles que : Alors : Exemple : 2- Décalage ou ranslaion : Les signaux ou foncions peuven êre reardées ou avancées d une valeur τ>0 Exemple : ε(- τ) ε(+ τ) 0 0 ) +τ δ(- τ) -τ ) 0 δ(+τ) ) ) +τ -τ 0 3- Produi d une foncion par un Dirac x(). δ(-0)= x(0). δ(-0) 4- Calcule d l inégrale d un produi avec un Dirac : 5- Valeurs caracérisiques d un sgn Soi in signal x() défini sur un inervalle [1,2] 5

6 Valeur moyenne : Valeur quadraique, ou énergie : Valeur quadraique moyenne ou puissance : - Valeur efficace : 6- Disance enre deux signaux : Soien deux signaux x() e y() don les représenaions vecorielles son : - Disance Euclidienne : - La disance enre deux sgnx sur un inervelle T es : consane de normalisaion (K=1 ou K=1/T) - Pour les signaux binaires, on uilise la disance de Hamming : : Disance en moyenne quadraique, où K : Où, : c es le ou exclusif Cee disance mesure le nombre de bis différens enre x e y. 7- Norme d un signal : Soi un signal x() défini sur un inervalle [ 1, 2 ], la norme de x() es donnée par : Soi un signal :, on défini les normes suivanes : 6

7 8- Produi scalaire de signaux : Soien deux signaux x() e y() sur [ 1, 2 ], on peu définir le produi scalaire par : Où * : indique la conjugaison complexe RQ : e 9- Foncions orhogonales : Deux signaux son orhogonaux si leur produi scalaire es nul, c-à-d., si : RQ : le choix de l inervalle [ 1, 2 ] es imporan car : dans [ 1, 2 ] n enraine pas l orhogonalié dans ous les inervalles. 10- Lien enre produi scalaire e disance enclidienne : Si : Approxinaion d un signal : Soi un signal de dimension N e une base d un sous-espace de L 2 ( 1, 2 ). On peu définir dans le sous-espace une approximaion d ordre M de x(), noée L erreur d approximaion es définie par : E on appel erreur quadraique la quanié : α m : son choisis de façon à minimiser la disance 11- Produi de convoluion L opéraeur de convoluion es rès couran. Il es associé à l opéraion de filrage d un signal x() par un filre de réponse impulsionnelle h() 7

8 x() h() y() La sorie du filre, y() vau : y()=x()*h() = (h*x)() Si x()=δ() y()=δ()*h()=h()=> d où le nom réponse impulsionnelle Propriées - Conmuaif : x 1 ()*x 2 ()= x 2 ()*x 1 () - Associaif : x 1 ()*[x 2 ()* x 3 ()]= [x 1 ()* x 2 ()]* x 3 () - Disribuif p/r à l addiion : x 1 ()*[x 2 ()+ x 3 ()]= x 1 ()* x 2 ()+ x 1 ()* x 3 () 8

9 Chapire : 2 Classificaion des Signaux I- Inroducion : Les signaux éan des grandeurs physiques représenan des phénomènes physiques peuven êre classés sous plusieurs caégories selon leurs propriéés. II- Signaux physiques e modèles : 1- Signaux réalisables : Un signal es le résula d un sysème physique réel, qui es donc réalisable, ce qui indui plusieurs propriéés : - l énergie du signal es bornée. - l ampliude du signal es bornée. - l ampliude du signal es bornée e end vers 0 lorsque la fréquence end vers l infini. 2- Modèle : Les modèles de signaux son des représenaions mahémaiques qui reposen sur des hypohèses simplificarices mais permean d effecuer des calculs héoriques (Dirac, Sinus). Le modèle es donc une approximaion de la réalié. L inérê du modèle dépend donc de la qualié de l approximaion e de sa facilié d emploi. III- Classificaion des signaux : Il exise différens modes de classificaion : 1- Morphologique : on disingue les signaux qui on des valeurs à chaque insan (signaux coninus) e les signaux qui n on de valeurs qu à cerains insans i (signaux discres). x() x(kt) kt 2- Specrale : On classe les signaux suivan la bande de fréquences qu ils occupen x() x() Signal à variaions lenes Signal basses fréquences Signal à variaions rapides Signal Haues fréquences 9

10 3- Energéique : Les signaux peuven êre à énergie finie ou à puissance moyenne finie. - Les signaux à énergie finie vérifien la condiion. On di aussi qu ils son de carré sommable. Les signaux à suppor borné, c-à-d de durée limiée, son à énergie finie. - Les signaux à puissance moyenne finie son els que : - Les signaux périodiques son à puissance moyenne finie. RQ : - Un signal à énergie finie (W x <+ ), a une puissance moyenne P x =0. - Un signal à puissance moyenne finie (non nulle P x 0 e P x <+ ), possède une énergie W x infinie. Exemple : x()=rec(/t), Sa puissance moyenne P x =0 4- Typologique : on disingue les signaux selon leur évoluion si celle-ci es déerminise ou aléaoire : a- signal déerminise : Ce ype de signal peu êre prédi par un modèle mahémaique connu. Ils exisen deux sous classes : - les signaux périodes x()=x(+t)/ T période du signal. - les signaux non périodiques. b- signal aléaoire : Ce ype de signal a un comporemen imprévisible. On le décri grâce à des ouils saisiques (densié de probabiliés, moyenne, variance, ). On disingue : Signal saionnaire : un signal aléaoire x() es saionnaire si ses caracérisiques saisiques son invarianes dans le emps. Signal ergodique : un signal aléaoire x() es ergodique si les valeurs moyennes saisiques (moyennes d ensemble) son égales aux valeurs moyennes emporelles (sur une réalisaion). 01

11 5- Dimensionnelle : Les signaux peuven êre de dimensions différenes. Signaux 1D x() : voie Signaux 2D I(x,y) : image Signaux 3D I(x,y,z) : image dans l espace. 00

12 Chapire : 3 Séries e Transformée de Fourier I- Inroducion : Les signaux de L 2 ( 1, 2 ) peuven êre approximés en uilisan une base adéquae d un sous espace de L 2. L 2 : carré sommable II- x() L 2 Séries de Fourier Tou signal x() L 2 ( 1, 1 +T), c-à-d. x() es périodique, peu êre développé en séries de Fourier à parir de signaux de base de forme exponenielle complexe :, T : la période du signal, n (k : enier) Telles que : c-à-d. les foncions son orhogonales. Le signal x() peu êre approximé par cee base s il exise une suie C n elle que : Avec Cee série converge vers x(), si x() es coninue en. Les C n son appelées : raies, composanes ou harmoniques du signal. C 1 : composane coninue C 2 : première harmonique ou fondamenale du signal x() C n : conribuion de la n ème harmonique. 1- Propriéés : - si x() réelle => C n =C -n (x()=x*()) - si x() réelle e paire => C n réel (x()=x*()=x(-)) - si x() réelle e impaire => C n imaginaire (x()=-x(-)=x*()) 2- Relaion de parseval (idenié,égalié de Parseval) La relaion de Parseval monre qu il y a conservaion de la puissance P x lorsque l on passe d une représenaion emporelle à une représenaion fréquenielle : on a : III- Transformée de Fourier La ransformaion de Fourier (TF) es une exension de la décomposiion en sérié de Fourier, mais pour des signaux quelconques. 02

13 Définiion 1 : Soi un signal cerain x(), sa TF es une foncion complexe de la variable réelle f définie par : X(f) es la superposiion d une infinié de raies qui s éenden, dans le domaine fréqueniel, de - à +. Définiion 2 : On appelle ransformée de Fourier inverse (TFI) la relaion : RQ : la TF de x() (X(f)) Ǝ si (x() es une foncion bornée) Exple : soi la foncion rec ou pore x()=rec(/t) Calculer sa TF On a : x() 1 X(f) 1 -T/2 0 T/2 TF 0 f Propriées de la TF 03

14 Soien deux sgnx x() e y() ayan pour TF, X(f) e Y(f), respecivemen : On peu vérifier les propriéés suivanes : Linéarié : α.x()+βy() α.x(f)+βy(f) parié : la TF conserve la parié x() Réelle paire Réelle impaire Imaginaire paire imaginaire impaire X(f) Réelle paire Imaginaire impaire Imaginaire paire Réelle impaire Transformée d un signal réel La TF d un signal réel x() es une foncion complexe : x()= x p () + x i () X(f)= X p(f) + X i(f) =Re{X(f)}+jIm{X(f)} X(f)= X(f). / X(f) :specre d ampliude, foncion paire. : specre de phase, foncion impaire. Specre on densié specrale de puissance = X(f) 2 Complexe conjugué : x * () X * (-f) Changemen d échelle sur : Cas pariculier : Translaion sur : Translaion sur f ou modulaion : Dérivaion p /r à : Inégraion p/r à : Convoluion : (Théorème de Plancherel), si 04

15 Dérivaion en fréquence : Transformée de Fourier (TF) des sgnx usuels : Théorème de Parseval : Soien x() e y() deux sgnx ayan pour TF X(f) e Y(f) respecivemen, alors : E dans le cas pariculier : y()=x() Ce héorème indique que l énergie es conservée dans les représenaions en emps e en fréquence. T.F.d un sgn à valeur moyenne non nulle : : la valeur moyenne de x() x 0 (): sgn à valeur moyenne nulle TF des sgnx périodiques : Un sgn x() périodique s écri sous la forme développée en série de Fourier 05

16 Où : Avec : ω=2πf D après la formule d Euler : Alors, e x() peu êre approximé par : ou Pour la 2 ème approximaion on pose : 06

17 X(f) 07

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