Traitement du Signal (Introduction)

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1 Traitement du Signal (Introduction) «La perception d'un signal est proportionnelle au caractère acceptable, non dérangeant, du contenu.» Edgar Morin Mais qu est-ce qu un signal? P. Nayman École Analogique

2 Introduction La grande question : Temps ou fréquence? Selon ce que l on veut faire, on travaille indifféremment dans l un ou l autre espace. Espace Temporel FOURIER Espace Fréquentiel Deux représentations d un même signal. Un certain nombre d outils sont disponibles pour changer d espace : Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier à fenêtre Transformée en ondelettes Etc. P. Nayman École Analogique

3 Classification des signaux La classification des signaux en catégories peut sembler, à première vue, théorique, mais : Pour chaque rubrique de signaux on définira des traitements bien particuliers. P. Nayman École Analogique

4 Classification déterministe-aléatoire Certains outils sont bien adapter pour manipuler les signaux déterministes et d autres sont mieux adapter pour les signaux aléatoires. Déterministes Ce sont les signaux dont l évolution en fonction du temps est prévisible par un modèle mathématique approprié (signaux de test, d étalonnage, etc.). Aléatoires Ce sont les signaux qui ont un caractère non-reproductible et imprévisible. Par exemple, les signaux issus de capteurs, de détecteurs ou encore la parole. P. Nayman École Analogique

5 Classification énergétique/puissance Quelque soit le signal, on peut définir l énergie du signal (si elle existe) ou la puissance moyenne (si elle existe) : xt 2 + correspond à une énergie instantanée et E x xt 2 dt signal (somme de toutes les énergies instantanées). correspond à l énergie du et la puissance moyenne : P 1 x lim -- T T +T 2 T 2 x t 2 dt La puissance est l énergie par unité de temps Remarque : Les signaux tels que 0 E x sont des signaux à énergie finie P x 0, par exemple, les signaux transitoires. Les signaux tels que 0 P x sont des signaux à puissance moyenne finie E x. Par exemple, les signaux permanents, comme les signaux périodiques ou encore les signaux aléatoires permanents. P. Nayman École Analogique

6 Autres types de signaux La distribution de Dirac : + Propriété : t dt 1 t On peut trouver de nombreuses représentations de la distribution de Dirac. Exemple : on suppose que : 0. t 1 + t P. Nayman École Analogique

7 Le peigne de Dirac Un peigne de Dirac, représente une suite d impulsions de Dirac décalées dans le temps. Le peigne de Dirac est défini par la relation suivante : + png t t kt k 1 t t P. Nayman École Analogique

8 Les signaux nuls à gauche Exemple : l échelon unité. La figure représente l échelon unité Ut u(t) 0 t dut On remarquera que : t dt Les distributions tempérées sont infiniment dérivables (intégrables). Exemple : Pour spécifier que le signal un nouveau signal : xt Ut. xt est nul pour les temps négatifs, on peut définir P. Nayman École Analogique

9 Classification continu/discret Exemple de représentation continue. 1 0, , Exemple de représentation discrète, dans ce cas la fonction est définie par une suite d échantillons. x(tk) t L intérêt de la représentation discrète est le passage dans le monde numérique. P. Nayman École Analogique

10 Représentation vectorielle des signaux L intérêt d une représentation vectorielle Un signal peut se décomposer selon une combinaison linéaire de fonctions connues Développement en série de fonctions orthogonales Simplifie considérablement les calculs, un simple produit scalaire permet d obtenir un coefficient. Le produit scalaire est la base du traitement du signal. + * x 1 x 2 x 1 x t 2 t dt P. Nayman École Analogique

11 Approximation de xt L idée est de chercher l approximation d une fonction par un ensemble de composantes connues. On peut approcher xt par xˆ t défini comme étant la somme pondérée de fonctions : xˆ t + a i i i 1 L erreur quadratique donne une mesure absolue de l approximation : 2 +T 2 x xˆ xt T 2 xˆ t 2 dt P. Nayman École Analogique

12 Théorème de Parseval L énergie du signal xt est égale à la somme des énergies de chacune de ses composantes et ne dépend pas de son mode de représentation. Ce résultat important est très utilisé en traitement du signal. Concrètement : x 2 n 2 a i i 1 L'énergie d un signal calculée en temporelle est identique à celle calculée en fréquence (ne dépend pas du mode de représentation). P. Nayman École Analogique

13 Série de Fourier xˆ t + i 1 a i i On prend k e ikt (fonction orthogonale, bien adaptée aux fonctions périodiques). 1 +T 2 comme a k x k alors les coefficients : a k -- xt e ikt dt T T 2 Le signal (à gauche) peut être décomposé en une somme de sinus/cosinus (à droite) P. Nayman École Analogique

14 Décomposition en série de Fourier d un signal rectangulaire Un seul terme le fondamental Le fondamental et la première harmonique Le fondamental et les deux premières harmoniques Le fondamental et les trois premières harmoniques P. Nayman École Analogique

15 Décomposition en série de Fourier Problèmes de convergence pour les signaux à variation rapide : phénomène de Gibbs Approximation à l ordre 10 Approximation à l ordre 50 Cas d une rampe n10 n50 P. Nayman École Analogique

16 Conséquences du phénomène de Gibbs Comme le signal que l on étudie n est pas dans l intervalle de temps + une transition rapide au début et à la fin du signal quelque soit le signal. il peut y avoir Pour éviter ce phénomène, il faut éviter les transitions rapides sur les bords : Utilisation du fenêtrage. On multiplie le signal par une fenêtre (d apodisation) à variation douce (Hamming, Hanning, Blackman, Kaiser, etc.). P. Nayman École Analogique

17 Exemple de fenêtres P. Nayman École Analogique

18 Transformée de Fourier 1 +T 2 x a k k avec a k -- T xt e ikt dt T 2 i puis l on passe à la limite : T xˆ xt + xt e -2it dt + xˆ e 2it d (construction) (reconstruction) xˆ est la représentation spectrale de xt La transformée de Fourier est bien adaptée pour tous les types de signaux (périodiques ou non périodiques) P. Nayman École Analogique

19 Spectre unilatéral et bilatéral s(f) s(f) A A/2 Spectre bilatéral Spectre bilatéral f Spectre unilatéral f Attention : La théorie n interdit pas les fréquences négatives et l énergie du signal est donc répartie dans les 2 raies. Spectre unilatéral Le spectre du signal n est que positif et pour conserver l énergie la raie à une valeur double. P. Nayman École Analogique

20 Quelques transformées de Fourier s(t) s(f) A AT Sf AT sintf Tf -T/2 T/2 t 0-1/T -1/T f s(t) 2f0 A s(f) sin2f 0 t st 2Af f 0 t 0 t -f0 0 f0-1/2f0 1/2f0 f K s(t) K s(f) st K t Sf K 0 t 0 f P. Nayman École Analogique

21 s(t) s(f) -5t -t 0t 5t t -2/t -1/t 0 1/t 2/t f st t kt Sf + k + 1 t ---- f ---- k t k s(t) A s(f) A/2 st Acos2f 0 t Sf A A -- f f f + f t -f0 0 f0 f s(t) s(f) A/2 st Asin2f 0 t A t -f0 f0 f Sf A A ---- f f 2i f+ f 2i 0 P. Nayman École Analogique

22 L intégrale de convolution (1) Considérons le produit d une fonction ft par une impulsion D rectangulaire. On suppose que D a une largeur petite devant la variation de ft. ft 0 ft Dt t 0 0 t 0 t Le produit ft Dt t 0 est égal à la fonction au point t 0, soit ft 0. ft Dt t 0 ft 0 Dt t 0. ft 0 est le poids de l impulsion de D. Cette opération correspond à échantillonner ft par une impulsion rectangulaire. P. Nayman École Analogique

23 L intégrale de convolution (2) Approximation d une fonction par une suite d impulsions rectangulaires. On considère 2 fonctions rectangulaires : R 0 t de largeur normalisée en amplitude 1 R t --R de largeur normalisée en surface. 0 t ft fk 0 k t On peut approcher ft par f t : f t k + fk R t k P. Nayman École Analogique

24 L intégrale de convolution (3) Faisons tendre vers 0. f t k + fk R t k Dans ce cas : R t t et k et l on obtient l intégrale de convolution : ft + ft d ft est une somme continue de distributions de Dirac pondérées et décalées dans le temps. Ce produit de convolution est également noté : f f* La mesure de Dirac joue le rôle d unité pour le produit de convolution. P. Nayman École Analogique

25 Filtre linéaire et produit de convolution La réponse impulsionnelle définit complètement un filtre linéaire. t Filtre linéaire yt ht xt G yt xt *h t x ht y x G Le gain G est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle. G et ht sont 2 représentations (fréquence et temporelle) de la même quantité. P. Nayman École Analogique

26 Avantage et limitation de la transformée de Fourier + : Très bonne résolution fréquentielle (la meilleure!) - : Pas de localisation temporelle possible (on somme le signal sur toute son histoire temporelle), on a perdu la notion de temps! xt Fourier t A Transformée de Fourier à fenêtre P. Nayman École Analogique

27 Transformée de Fourier à fenêtre Le signal x t u est analysé au travers la fenêtre g : x t u g * u t xu xt Fourier à fenêtre g tv t t t Le principe est simple mais la mathématique devient rapidement compliquée! On considère une fonction analysante : g tv u + x t xt ue 2iu du Le signal peut être reconstruit par : xu g 2 g tv ux t ddt P. Nayman École Analogique

28 De la transformée de Fourier à la transformée en ondelettes La transformée en ondelettes permet d avoir une localisation en fréquence et en temps. a b t t b a a ( t) 11( t) 1.5 ondelette de Haar 1515( t) 22( t) 0 m0505( t) t a traduit le changement d échelle et b la translation x a b xt * t b 1 dt et xt C a a x t t b db da a a a 2 P. Nayman École Analogique

29 Exemple d un signal non-stationnaire échelle décalage 2 fréquences La décomposition en ondelettes montre bien les différentes fréquences (les petits blocs correspondent aux fréquences les plus élevées). P. Nayman École Analogique

30 Exemple d application (2) xt sin7 5t 3 abst t 1 1 si 0 t si -- t sinon + * x a b xt a b t d * t x* a P. Nayman École Analogique

31 Théorème de l échantillonnage (Shannon/Nyquist) Un signal physique de type analogique a son amplitude qui varie continûment en fonction du temps. Échantillonner un signal analogique consiste à prélever des échantillons à des instants kte (cas de l échantillonnage régulier). La quantification consiste à associer une suite binaire à chaque échantillon. L échantillonnage et la quantification sont des opérations effectuées lors de la Conversion Analogique Numérique (CAN). La problématique de la théorie de l échantillonnage est de connaître les conditions nécessaires pour reconstituer correctement le signal à partir de ses échantillons. Considérons xt dont la transformée de Fourier est xˆ : xt xˆ xˆ B +B P. Nayman École Analogique

32 xˆ avec : est nulle en dehors de [ B, +B]. Si l on connaît les échantillons : x0,x ,x k , 2B 2B On peut reconstituer le signal xˆ t : xˆ t k t + k x k t 2B k k sin 2Bt B k 2Bt B x(t) P. Nayman École Analogique

33 Conséquences de l échantillonnage La transformée de Fourier du signal échantillonné : xˆe xˆ * Te k + k -- T e xˆ B +B enveloppe spectrale peigne de Dirac Échantillonner dans l espace temps revient à périodiser dans l espace fréquence. P. Nayman École Analogique

34 Deux cas sont possibles : Si e 2B il y a sous-échantillonnage avec un recouvrement de spectre. Ce phénomène est également appelé repliement spectral ou encore aliasing. xˆe xˆ * Te k + k -- T e xˆ enveloppe spectrale peigne de Dirac B +B Empilement spectral Un signal sous-échantillonné apparaîtra comme ayant une fréquence inférieure à la réalité. Il existe plusieurs cas de figure, si l on a affaire à un signal dont le spectre est étalé il y aura de l empilement spectral. Si le signal a un spectre étroit (sinus par exemple) il y aura repliement spectral. Si e 2B l échantillonnage du signal est correct et autorisera une interprétation cohérente des résultats. Il n y a pas de recouvrement de spectre. P. Nayman École Analogique

35 Le recouvrement spectral xˆe xˆ * Te k + k -- T e explique bien le phénomène de l échantillonnage. Le spectre de k base est décalé autour de la fréquence -- T e k e. Pour chaque fréquence du spectre 0, il existe une fréquence apparente : avec k 0. a 0 k e Par exemple, pour k 0, on obtient les 2 fréquences de base 0 et + 0. Pour k 1 on obtient les fréquences apparentes e 0 et e + 0, etc. La fréquence apparente la plus petite est donc e 0. Cet effet est à rapprocher de l effet stroboscospique. P. Nayman École Analogique

36 xˆ e 2B B +B ˆ x e empilement spectral ˆ x e e e 2B +B +2B e 2 e e 0 e e 2 e 0 2 e 2 e + 0 e + 0 e 0 e + 0 P. Nayman École Analogique

37 Filtre anti-repliement Afin de reconstruire xt à partir de x e t, il est nécessaire de faire passer x e t dans un filtre passe bas idéal. Cette opération permet de ne conserver que le lobe principal de x e t. On utilise un filtre dont la fonction de transfert est : G T Rect e, T étant la période d échantillonnage ( T 1 e ). La transformée de Fourier de G est la réponse impulsionnelle ht du filtre passe-bas idéal. Il vient immédiatement que : ht sinc t T -- G T e lobe principal conservé 1 2T +1 2T P. Nayman École Analogique

38 Exemple 1 On considère le signal xt 5 cos100t, afin d éviter un repliement spectral, il est nécessaire d échantillonner ce signal analogique de fréquence 50Hz à une fréquence minimale de 100Hz. Si l on échantillonne le signal à une fréquence de 75Hz. Appliquons directement la relation a 0 k e : a e Hz 1/75 2/75 3/75 25Hz 50Hz Les échantillons des cosinusoïdes à 25Hz et à 50Hz sont identiques, lorsque la fréquence d échantillonnage est de 75Hz. P. Nayman École Analogique

39 Exemple 2 : Il ne faut pas utiliser la Bande passante à -3dB comme fréquence haute! Un filtre passe-bas du premier ordre est utilisé pour isoler le lobe principal. 1 G Le spectre du signal résultant est périodisé. 1 + c X c e r Comme G décroît lentement, il y a repliement spectral, les spectres sont sommés. Supposons que c 10KHz, déterminons fe qui donne un niveau de recouvrement de moins de 1%. Pour c, G Il faut avec la fréquence de recouvrement r r On trouve que r 1414KHz. La fréquence d échantillonnage doit être : e c + r 1424KHz. e» 2 c P. Nayman École Analogique

40 Cas des signaux non répétitifs Considérons des signaux issus d un détecteur : 5ns t 2.8ns t 1ns t T m 2ns entre 10 et 90% Si le système est du premier ordre BPxT m 0 35 et BP 175MHz Si l on applique le théorème de Shannon, il faudrait échantillonner à 2xBP350MHz soit un point toutes les ns ce qui est très insuffisant pour reconstituer le signal. 350 En fait si l on désire reconstituer correctement le signal il faudrait au moins 5 points, soit un point toutes les nano-secondes! P. Nayman École Analogique

41 Les moments temporels, les relations de base La transformée de Fourier d un signal aléatoire est aléatoire. Seuls les paramètres statistiques (moments) permettent de caractériser les fonctions aléatoires : Moyenne temporelle/espérance mathématique (moment d ordre 1) Corrélation/Variance/Écart type (moment d ordre 2) P. Nayman École Analogique

42 Moyenne temporelle : xt lim 1 -- T T +T/2 T 2 x t dt Auto-corrélation temporelle : xt xt + 1 lim -- T T +T/2 T 2 x t xt + dt P. Nayman École Analogique

43 Exemple : l auto-corrélation permet de trouver un signal périodique noyé dans un bruit. Pic de l auto-corrélation du bruit P. Nayman École Analogique

44 Les moments statistiques, les relations de base Moyenne statistique m x t EXt xpx tdx R pxt est la densité de probabilité de la variable aléatoire Xt. C est l espérance mathématique. de Xt Moment d ordre 2 EX 2 t x 2 pxt dx R C est l espérance mathématique. de X 2 t On n'explicite rarement l intégrale, on travaille souvent avec l opérateur E (beaucoup plus simple) P. Nayman École Analogique

45 Fonction de corrélation Fonction d auto-corrélation C est l espérance mathématique d un produit Fonction d inter-corrélation C est l espérance mathématique d un produit R xy t 1 t 2 EXt 1 Xt 2 R xy t 1 t 2 EXt 1 Yt 2 P. Nayman École Analogique

46 Exemple L inter-corrélation permet de trouver une corrélation entre y1(t) et y2(t) : 2 signaux bruités Y1 bruité Y2 bruité exemple de corrélation entre y1 et y2 P. Nayman École Analogique

47 Stationnarité Un processus aléatoire est stationnaire si ses propriétés statistiques invariantes pour tout changement de l origine des temps. Les signaux stationnaires sont beaucoup plus délicats à traiter! P. Nayman École Analogique

48 Suite aléatoire stationnaire au second ordre Propriétés EX n est indépendant de n. 2 E X n + est indépendant de n. R xx n 1 n 2 EXn 1 Xn 2 est uniquement fonction de n 1 n 2. P. Nayman École Analogique

49 Processus aléatoire stationnaire au second ordre Propriétés EXt est indépendant de t. E X t + est indépendant de t. R xx t 1 t 2 EXt 1 Xt 2 est uniquement fonction de t 1 t 2. Ou encore : R xx t 1 t 2 R xx t EXt + X t R xx t EXt Xt Pour 0, on obtient le moment d ordre 2 : R xx t 0 E X t 2 2 t P. Nayman École Analogique

50 Ergodicité (1) L équation m x t EXt xpx tdx explicite l espérance mathématique E comme une R moyenne d ensemble, soit l intégrale de toutes les valeurs de X pondérées par la densité de probabilité de la variable aléatoire. On peut essayer d estimer la quantité EXt ce qui suppose qu à l instant t 1 l on dispose de toutes les réalisations de la variable aléatoire, malgré la difficulté d une telle expérience, on peut imaginer, par exemple, une batterie de n capteurs. P. Nayman École Analogique

51 Ergodicité (2) Dans le cas de n capteurs, une estimation de la moyenne d ensemble peut être donnée par la relation suivante : m X t n 1 -- x n p t p 1 Généralement, on ne dispose que d une réalisation de la variable aléatoire et l on est tenté d estimer la moyenne d ensemble par la moyenne temporelle xt i -- xt dt. Tti 1 ti + T La fonction aléatoire est ergodique à l ordre 1 (moyenne) si : lim xt i T m X t i P. Nayman École Analogique

52 Ergodicité (2) x 1 t x 2 t x 3 t x 4 t x n t T t t t t t t i Un processus aléatoire est ergodique à l ordre n, si les moyennes temporelles jusqu à l ordre n sont indépendantes du choix de la réalisation. De plus, si les résultats obtenus à partir des moyennes statistiques sont équivalents à ceux obtenus à partir des moyennes temporelles, alors le processus est ergodique. P. Nayman École Analogique

53 Propriétés spectrales La transformée de Fourier donne de bonnes indications sur la répartition spectrale d un signal déterministe. Par contre la transformée de Fourier d un signal aléatoire est un spectre aléatoire. Un seul spectre n est pas suffisant pour rendre compte des propriétés du signal. Il est nécessaire d utiliser les propriétés statistiques (moyenne, écart type, corrélation) qui ont des caractéristiques bien définies. On supposera par la suite que les signaux sont stationnaires et ergodiques. Pour analyser la répartition spectrale des signaux aléatoires, on introduit la notion de densité spectrale (d énergie ou de puissance). Selon que l on a affaire à des signaux d énergie finie, on parlera de densité spectrale d énergie ou de densité spectrale de puissance pour les signaux de puissance moyenne finie. P. Nayman École Analogique

54 Notions de base Théorème de Parseval : + x 2 + d xt 2 dt Puissance d un signal sur l intervalle T : 1 + P x -- x d T -- xt 2 dt T 1 + P x -- x 2 + d dans ce cas T d 1 -- x 2 T est le périodogramme Unités P x est une puissance qui s exprime en Wou A 2 ou V 2... est une densité spectrale de puissance qui s exprime en Wou A 2 ou V 2... Hz 1 C est une puissance par unité de Hertz. On peut utiliser des valeurs RMS (Root Mean Square) ou efficaces : P. Nayman École Analogique

55 1 1 + Val RMS -- x 2 -- d qui s exprime en 2 T W ou Aou V... Hz 2 P. Nayman École Analogique

56 La densité spectrale de puissance (1) La transformée de Fourier donne de bonnes indications sur la répartition spectrale d un signal déterministe. Pour un signal aléatoire, un seul spectre n est pas suffisant. 1 La relation -- x 2 correspond à un spectre instantané! T 0 d puissance moyenne dans la bande de fréquence + d Il faut moyenner les spectres ou utiliser les propriétés statistiques qui sont bien définies. P est dans ce cas la puissance du signal. x P. Nayman École Analogique

57 La densité spectrale de puissance (2) Transformée de Fourier de la fonction de corrélation R : théorème de Wiener-Kinchine. + R Ext xt e 2i d d puissance moyenne dans la bande de fréquence + d d P x 0 d Wou A 2 ou V 2... Hz 1 2 R0 P x x + d Wou A 2 ou V 2... P. Nayman École Analogique

58 P. Nayman École Analogique

59 La densité spectrale de puissance (3) Considérons le filtre : xt xˆ x G yt ŷ y réponse temporelle transformée de Fourier densité spectrale Soit : x est la densité spectrale de xt. y est la densité spectrale de yt Alors, x et y sont reliées par la relation suivante : y x G 2 P. Nayman École Analogique

60 Propriétés de la fonction de corrélation La définition de la fonction de corrélation est donnée par : R x EXt Xt R x R x et pour une fonction réelle : R x R x R x R x 0 R x 0 2 R x 0 x x 2 R x 0 P. Nayman École Analogique

61 Le bruit Les signaux sont transmis ou traités par des voies qui les altèrent. Tout ce qui modifie le signal utile peut être considéré comme du bruit. Les sources de bruit ont généralement un caractère aléatoire, c est pourquoi ces phénomènes sont étudiés par des méthodes statistiques. 5 x n n. P. Nayman École Analogique

62 Le bruit blanc (1) Définition : Une fonction aléatoire Xt est appelée bruit blanc si : Xt est stationnaire au deuxième ordre EXt 0 x N La puissance moyenne du bruit blanc est infinie. x N0 2 0 P. Nayman École Analogique

63 Le bruit blanc (2) Si l on fait passer le bruit blanc dans un filtre passe bas de bande passante (-B,+B), on se ramène à un bruit de puissance moyenne finie. x xt G yt N0 2 B +B Dans ce cas, la fonction d auto-corrélation a pour valeur : R N 0 Bsinc2B R0 N 0 B N0B -5/2B 5/2B La fonction de corrélation du bruit blanc P. Nayman École Analogique

64 Le bruit de quantification (1) Amax erreur : n y n x n Quantifier une valeur analogique x n, c est remplacer cette valeur par y n qui fait partie d un ensemble dénombrable de valeurs discrètes. Amax Le pas de quantification : q avec N le nombre de bits du codeur. 2 N P. Nayman École Analogique

65 Le bruit de quantification (2) On suppose que l erreur n est uniformément répartie. n est une variable aléatoire de moyenne nulle E n 0 obéissant à une loi de probabilité uniforme : n p n u 1 -- si q q 2 -- u q sinon La variance s exprime par la relation : 2 1 +q 2 -- u 2 du q q 2 Ceci correspond à la puissance du bruit de quantification (On suppose le processus ergodique, la moyenne quadratique est équivalente à une puissance). q P. Nayman École Analogique

66 Amélioration du rapport signal à bruit (1) La puissance du bruit de quantification est uniformément distribuée et ne dépend pas de la fréquence d échantillonnage du convertisseur analogique-numérique. Rappel : Il est nécessaire d échantillonner le signal d entrée avec e 2 max, max (Shannon). gé- Un filtre passe-bas est nécessaire pour éliminer toutes les fréquences supérieures à max nérées par l échantillonnage. P. Nayman École Analogique

67 Amélioration du rapport signal à bruit (2) Considérons que l on sur-échantillonne le signal d entrée avec une fréquence k e, telle que : e 2 max. b 2 b 2 b 2 2 b k k 2 max max max k max max 2 b k max Bruit de quantification Bruit de quantification étalé par le sur-échantillonnage Bruit de quantification limité par filtrage passe-bas Si l on échantillonne à la fréquence k 2 max, avec k 1, on retrouve la limite donnée par Shannon. Si l on augmente k, la puissance du bruit est répartie sur toute la bande. Dans ce cas, le filtrage passe-bas, limite la puissance du bruit à la zone hachurée de la figure 3. P. Nayman École Analogique

68 Amélioration du rapport signal à bruit (3) Pour un signal sinusoïdal, Si l on tient compte du facteur k : -- S B db 6N log 10 k Pour un rapport signal à bruit donné, le sur-échantillonnage améliore le nombre de bits effectifs 10 de la quantité : log k k Amélioration (S/B) en db Amélioration du nombre de bits P. Nayman École Analogique

69 Le bruit thermique (ou bruit Johnson) (1) Le bruit thermique agitation thermique des électrons libres dans les matériaux. Présent dans tous les composants actifs ou passifs présentant une résistance R. La densité spectrale du bruit thermique est décrite par : th 1 h e h kt W Hz h (Plank) : J s, k (Boltzmann) : J K 1 (Joule.degré 1 Si l on considère que les fréquences simplifie : 1000GHz, la densité spectrale du bruit thermique se th 1 --kt 2 P. Nayman École Analogique

70 Le bruit thermique (ou bruit Johnson) (2) Si th 1 --kt 2 : le bruit thermique est un bruit blanc. Par exemple, la puissance totale de ce bruit dans une bande de fréquence B est : P th ktb th kt B B P. Nayman École Analogique

71 Fluctuations de tension et de courant dans une résistance (1) Dans toute bande de fréquences B, une résistance à la température T est une source de tension de bruit. La valeur moyenne quadratique de cette tension est : u 2 4kTRB V 2 et : u 2kTR R u u0 R P. Nayman École Analogique

72 Fluctuations de tension et de courant dans une résistance (2) La résistance R peut être assimilée à une source de courant de bruitdont la valeur moyenne quadratique est : i 2 4kTB A 2 R i0 i R avec : u 2kTR Remarque : La distribution statistique du bruit thermique est gaussienne. P. Nayman École Analogique

73 Bande équivalente de bruit (1) Si l on compare la puissance de bruit du circuit RC (premier ordre) à celle de la résistance R, on peut définir une bande équivalente de bruit : B eq c 1 B eq RC -- 2 c D une manière plus générale, la notion de bande équivalente de bruit permet de calculer simplement la puissance du bruit après filtrage. P. Nayman École Analogique

74 Bruit de grenaille (Bruit Schottky ou shot noise ) Ce bruit correspond aux fluctuations statistiques du nombre de porteurs de charge qui participent à la création d un courant (cas des diodes et des transistors par exemple). Ce bruit est généralement modélisé par une loi de Poisson. (instants de réalisation aléatoires). Le bruit de grenaille se superpose au courant moyen créé. La théorie de ce bruit est à la base de l étude : des bruits liés à l émission d une électrode ou encore, des fluctuations des temps de transit. i(t) t P. Nayman École Analogique

75 Expression du bruit de grenaille (1) Le bruit de grenaille peut être considéré comme un bruit impulsionnel et se mettre sous la forme : + it et t k k avec : e la charge de l électron C P. Nayman École Analogique

76 Expression du bruit de grenaille (2) d e I 0 courant moyen i 2 i I 0 distribution spectrale de la composante continue 2 B i 2 ei 0 d 2eI 0 B 0 + ei 0 fluctuations par effet de grenaille B I 0 2 ei 0 0 B P. Nayman École Analogique

77 Autres sources de bruits (exemple : le bruit en 1/f) Ce bruit est essentiellement basse fréquence, c est le cas du bruit de scintillation par exemple ( flicker noise ). Ce bruit est présent dans tous les composants (actifs et passifs) et correspond aux captures de porteurs associés à des défauts ou à la contamination par exemple. Une des caractéristique de ce bruit est son universalité, on le retrouve dans une multitude de domaines comme : en biologie (taux d insuline d un diabétique), le débit du Nil, les variations saisonnière de température ou encore le trafic routier. 0 La densité spectrale de puissance du bruit en 1/f est donnée par : k Le bruit en 1/f est généralement gaussien et stationnaire. P. Nayman École Analogique

78 Exemples Bruit thermique 20 Un chiffre utile à retenir : 4kT à la température ambiante La valeur moyenne quadratique de la tension de bruit d une résistance de 1K ambiante est de : 2 v v V 2 Hz 1 à la température v 4nV Hz (RMS) Bruit Schottky Quel est la valeur du courant quadratique moyen de bruit dans une diode parcourue par un courant de 1mA si la bande passante est de 1MHz? i 2 i qI d B A 2 i 18nA (RMS) P. Nayman École Analogique

79 Le facteur de bruit (1) Se Ss Si Q est un amplificateur idéal de gain en puissance G : : Be Bs Le rapport signal à bruit en sortie est égal au rapport signal à bruit en entrée. Le quadripôle n étant pas parfait, il génère du bruit par le biais de ses composants (résistances, transistors, etc.). Se Ss Par conséquent : Be Bs Be Se G, Bq Bs Ss P. Nayman École Analogique

80 Le facteur de bruit F (2) F Se Be Ss Bs F rapport signal à bruit en entrée rapport signal à bruit en sortie Be Se G, Bq Bs Ss P. Nayman École Analogique

81 Le facteur de bruit (3), Cas de quadripôles en cascades Soit deux quadripôles : S e B e F 1 G 1 Q1 F 2 G 2 Q2 F 2 1 F F G 1 En généralisant à n quadripôles : F 2 1 F F F F n G 1 G 1 G 2 G 1 G 2 G n 1 Remarque : Il est important de noter que seuls les bruits des premiers étages sont significatifs. Si le gain G 1 du premier étage est important, on peut généralement négliger les bruits des autres étages. Dans ce cas, il suffit uniquement d optimiser les caractéristiques en bruit du premier étage. P. Nayman École Analogique