Révisions juin : 6 ème math 6

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1 Révisions juin : 6 ème math 6 1) On suppose que, dans un livre de 500 pages, il y a 300 fautes d'impression distribuées au hasard. Calculer la probabilité pour que la page 36 contienne a. Exactement deux fautes d'impression. Sol : 0,0988 b. Au moins deux fautes d'impression. Sol : 0,1219 2) Le nombre moyen de chiens abandonnés chaque semaine au bord d'une route cantonale au mois de juillet est 2.5. a. Calcule la probabilité qu'aucun chien ne soit abandonné entre le 7 et le 14 juillet. Sol : 0,082 b. Quelle est la probabilité que plus de 5 chiens soient abandonnés entre le 14 et le 21 juillet? Sol : 0,042 3) En moyenne, 5 clients par heure entrent dans un magasin. La vendeuse ferme boutique pendant 5 minutes. Quelle est la probabilité que plus d'un client trouve porte close? Sol : 0,067 4) On mesure la taille en cm de 2500 hommes ; la distribution obtenue suit une loi normale de moyenne égale à 169 cm et d écart-type égal a 5,6 cm. a. Quel est le pourcentage d hommes dont la taille est inférieure à 155 cm? b. Quel est le pourcentage d hommes dont la taille est comprise entre 155 cm et 175 cm? c. Quel est l intervalle, centré sur la valeur moyenne de la taille, qui contient 60 % de la population en question? 5) Une étude effectuée auprès de jeunes enfants montre que les premiers mots apparaissent, en moyenne, à 11,5 mois avec un écart-type de 3,2 mois. La distribution des âges étant normale, évaluer la proportion d enfants ayant acquis leurs premiers mots a. Avant 10 mois. b. Après 18 mois. c. Entre 8 et 12 mois 6) En 1955, Wechler ( ) propose un test de mesure de QI (Quotient Intellectuel) des adultes auprès d un échantillon représentatif de la population d un âge donné. Les performances suivent une loi normale de moyenne égale à 100 et d écart-type égal à 15. a. Quel est le pourcentage de personnes dont le QI est inférieur à 100? b. Quelle chance a-t-on d obtenir un QI compris i. entre 100 et 110? ii. entre 95 et 100? iii. entre 105 et 110? c. Une personne avec un score de 69 fait-elle partie des 5% inférieur de la distribution? d. En dessous de quel QI se trouve le tiers des individus? e. Quel QI minimum faut-il obtenir pour faire partie des 5% d individus les plus performants? 7)

2 8) 9) Sur un grand nombre de personnes on a constaté que la répartition du taux de cholestérol suit une loi normale avec les résultats suivants : - 56% ont un taux inférieur à 165 cg ; - 34% ont un taux compris entre 165 cg et 180 cg ; - 10% ont un taux supérieur à 180 cg. Quelle est le nombre de personnes qu il faut prévoir de soigner dans une population de personnes, si le taux maximum toléré sans traitement est de 182 cg? 10) Un composant électronique ne fonctionne que si sa tension est comprise entre 22 Volts et 26 Volts. Son alimentation est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 24 Volts et d'écart type Volts où est un paramètre qu'on ajustera. a. Dans cette question, on suppose que = 1,8. i. Calculer la probabilité que le composant fonctionne. ii. On suppose que le composant est détruit définitivement si sa tension dépasse 29 Volts. Calculer alors la probabilité qu'il soit détruit. b. Quelle valeur faudrait-il donner à pour que la probabilité que le composant fonctionne soit de 85%? Solutions : 0,7330 ; 0,0027 ; 1,39 11) Dans une certaine population, la proportion de gauchers est de 10%. a. On choisit, de manière indépendante, un lot de 20 personnes. On considère la variable aléatoire X qui représente le nombre de gauchers dans ce lot. i. Quelle est la loi de X? ii. Calculer l'espérance ( ) et la variance ( ). iii. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 2 gauchers dans le lot. 12) Solution : (20 ; 0,1) ; ( ) = 2 ; ( ) = 1, 8 ; ( > 2) = 0,608 Détermine la moyenne et l écart type de la variable X sol : = 2,74 = 2 13) Dans une usine d'emballage, un automate remplit des paquets de café de 250g. On sait que l'automate verse en fait une quantité de café variable, régie par une loi normale de moyenne réglable et d'écart-type 3. Quelle doit être la moyenne théorique choisie pour que 90% des clients achètent bien au moins 250g de café? Solution : 253,84

3 14) On considère le jeu suivant : le joueur lance d abord un dé non truqué. Il tire ensuite un jeton dans une urne choisie en fonction du résultat du dé. L urne A est choisie quand le dé donne 1, 2 ou 3, l urne B quand on obtient 4 ou 5 et l urne C quand on obtient 6. Les urnes contiennent les jetons suivants : - urne A : deux jetons rouges, trois jetons bleus ; -urne B : deux jetons bleus, quatre jetons verts ; -urne C : un jeton vert, un jeton rouge. a. Quelle est la probabilité d obtenir un jeton rouge par ce procédé? Sol 0,283 b. On obtient un jeton vert. Quelle est la probabilité que ce jeton soit issu de l urne B? Sol : 0,727 c. On obtient un jeton bleu. Quelle est la probabilité que le lancer du dé ait donné 3? Sol : d. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir un jeton vert, sachant que le lancer du dé a donné 3 ou 6? Sol : e. Est-ce que l évènement «choisir dans l urne C» et l évènement «obtenir un jeton rouge»sont indépendants? Justifiez votre réponse. Sol : déependants 15) Solutions : 30 ; 0,2138, 0, ) Solutions : 0, ; 0,0103 ; 0,0821 ; 0, ) Un pépiniériste conditionne des bulbes de fleurs. On conviendra qu un bulbe germe s il donne naissance à une plante qui fleurit. On considère que le pépiniériste dispose d un très grand nombre de bulbes et que la probabilité qu un bulbe germe est de 0,83. Il prélève au hasard successivement quinze bulbes de ce stock. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de bulbes qui germent. a. Quelle est la loi de X? Sol : Bi(15,0,83) b. Quelle est la probabilité qu exactement 5 bulbes choisis germent? Sol : 0, c. Quelle est la probabilité qu au moins 9 bulbes germent? Sol : 0,9315 d. En moyenne, sur un prélèvement de 15 bulbes, combien vont germer? Sol : 12,45

4 18) 19) 20) 21) On lance un dé parfaitement équilibré. On définit les événements suivants : A = "le score obtenu est un nombre impair" B = "le score obtenu est au plus 2" C = "le score obtenu est 6"

5 Définissez A,B et C en extension. Ensuite, définissez les événements suivants : A, B, A B, A B, A C, A B, A C, A B, A C, A B C 22) Trois étudiants Albert, Bernard et Charles disputent une compétition de natation. Albert et Bernard ont la même probabilité a priori de gagner et chacun d'eux a deux fois plus de chance de gagner que Charles. Quelle est la probabilité a) pour chacun de gagner? b) que Bernard ou Charles gagne? c) qu'albert et Bernard perdent? d) qu'albert ou Bernard perdent? 23) Avant l'examen de probabilité, le professeur distribue 10 problèmes dont il affirme qu'il en tirera 5 au hasard pour l'examen. Vous êtes sur(e) de pouvoir répondre correctement à 7 d'entre eux. 3 vous restent complètement obscurs et vous ne pourrez pas y répondre s'ils vous sont posés. a) Quelle est la probabilité que vous répondiez correctement aux problèmes tirés au hasard le jour de l'examen? b) Quelle est la probabilité que vous répondiez correctement à au moins 4 de ces 5 problèmes? 24) Dans une population, 30 de personnes sont atteintes d'une affection des voies respiratoires supérieures. Il y a 60 de fumeurs parmi les malades et 10 de fumeurs parmi les personnes non atteintes par la maladie. a) Si on désigne au hasard une personne dans la population, quelle est la probabilité qu'elle soit fumeuse? b) Sachant qu'une personne est non fumeuse, qu'elle est la probabilité qu'elle soit atteinte par la maladie? c) Quelle est la probabilité qu'un fumeur soit atteint de l'affection? 25) Pour composer un jury, on choisit au hasard 8 personnes dans un groupe de 30. Aline et Pierre font partie des 30 personnes. Calculer les probabilités pour que : a) Aline fasse partie du jury b) Aline et Pierre fassent partie du jury c) au moins l'un des 2 fasse partie du jury d) l'un fasse partie du jury, l'autre non.

6 26) Dans la classe de 6 H, 25% des élèves n'ont pas réussi l'épreuve de math, 15% celle de chimie et 10% des élèves n'ont pas réussi en chimie ni en maths. Un élève est choisi au hasard. a) S'il n'a pas réussi en chimie, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas réussi en maths? b) S'il n'a pas réussi les maths, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas aussi réussi en chimie? c) Quelle est la probabilité qu'il ait au moins un échec? 27) Un laboratoire a mis au point un test pour dépister une certaine maladie. Des essais cliniques prouvent que : a) 96 fois sur 100, le test donne un résultat positif quand la maladie est effectivement présente. b) 94 fois sur 100, le test donne un résultat négatif quand la maladie n'est pas présente. Dans une population comptant 3% de malades, on pratique le test sur une personne choisie au hasard et on constate un résultat positif. Quelle est la probabilité que la personne soit atteinte de la maladie? 28) Dans la cantine de l'école, on sait que par jour de grande chaleur, 40% des élèves achètent une glace à la récréation de midi. Certains l'achètent parce qu'ils ont chauds, d'autres par imitation. On a également remarqué que les filles achètent proportionnellement plus de glaces que les garçons. Après de nombreuses observations, on a même pu établir que 75% des acheteurs de glaces étaient des filles et que 90% des non-acheteurs étaient des garçons. a) Quelle est la probabilité qu'une fille choisie au hasard le matin d'un jour de grande chaleur achète une glace à midi? b) Quelle proportion de la population totale des élèves de l'école représente le groupe des garçons qui n'achètent pas de glaces ce même jour? c) Supposant que l'école compte 720 filles, quelle est la population totale de l'école? Combien de glaces pense-t-on vendre au total à la cantine un jour de grande chaleur? 29) Dans un sac, il y a 9 boules blanches ou noires, petites ou grosses. On sait qu'il y a 5 grosses et 4 petites, et que 6 sont blanches et 3 sont noires. De plus 3 boules sont blanches et grosses. On tire une boule au hasard; chaque boule ayant la même probabilité d'être tirée, déterminer les probabilités pour qu'elle soit : a) blanche et petite b) blanche c) blanche ou petite d) ni blanche, ni petite.

7 30) On dispose d'un dé cubique pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note p i la probabilité d'obtenir la face numérotée i à l'issue d'un lancer. Sachant que : p 1 p2 = 0,25 p 1 p3 = 0,6 p 1 p 2 p3 0, 85 p 4 p5 p6 calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair. 31) Au jeu de poker, on utilise un jeu de 32 cartes. On tire simultanément 5 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir: a) exactement une paire? (2 cartes de la même valeur) b) 2 paires c) un carré? (4 cartes de même valeur) d) une échelle royale?(5 cartes de la même famille qui se suivent) 32) Une loterie de 150 billets est organisée. On suppose que 7 billets seulement sont gagnants. a) Un participant achète un billet. Quelle est la probabilité pour qu'il reçoive un billet gagnant? b) Le participant achète 2 billets. Quelle est la probabilité qu'il reçoive au moins un billet gagnant? On suppose qu'un tiers des billets est gagnant. a) En achetant 3 billets, est-on certain de gagner? b) Quelle est la probabilité de recevoir au moins un billet gagnant en achetant 3 billets? 33) 5 personnes se donnent rendez-vous dans un des cafés du village qui en possède 5. Chaque personne choisit au hasard l'un des 5 cafés. a) Calculer la probabilité que les 5 personnes se retrouvent dans 5 cafés différents. b) Calculer la probabilité que les 5 personnes se retrouvent dans le même café. c) Calculer la probabilité pour qu'au moins 2 personnes se retrouvent dans le même café. 34) Un code d'ouverture d'une serrure est une suite de 4 chiffres choisis parmi les 10 chiffres : 0, 1, 2, 3,..9 (le même chiffre peut-être utilisé plusieurs fois) Si aucun des chiffres tapés n'est le bon, l'alarme se déclenche. c'est-à-dire, (a ; b ; c ; d) étant le bon code, si on tape (a ';b ';c ';d ') avec a a' ; b b'; c c'; d d'

8 On sait que le code est constitué des chiffres : et 9. On essaie un code au hasard. Quelles sont les probabilités : a) de taper le bon code. b) de ne pas déclencher l'alarme. 35) Sur le comptoir d'une fête foraine se trouvent 6 cases numérotées de 1 à 6. Un joueur peut placer 1F sur la case de son choix. Il place son argent sur la case 2. Le forain jette 3 dés discernables (R-V et B)dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Il note le résultat en respectant l'ordre R-V-B. - Si le numéro de la case apparaît sur un seul dé, le joueur gagne 2 F - Si le numéro de la case apparaît sur 2 des dés dé, le joueur gagne 3 F - Si le numéro de la case apparaît sur les 3 dés, le joueur gagne 5 F - Evidemment, si le numéro n'apparaît sur aucun des dés, le joueur perd sa mise. On suppose l'équiprobabilité d'apparition de chaque face pour chacun des dés. Calculer les probabilités pour le joueur de gagner (mise déduite) a) 1F b) 2F c) 4F 36) Un sac contient 9 jetons numérotés respectivement de 1 à 9. On suppose que tous les jetons ont la même probabilité d' être tirés. On tire, successivement et sans remise, 3 jetons du sac. On obtient un nombre de 3 chiffres : le premier jeton tiré donne le chiffre des unités; le second donne le chiffre des dizaines le troisième donne le chiffre des centaines. Calculer la probabilité pour que : 1) le chiffre des unités soit 9 2) le chiffre 9 figure dans le nombre 3) la somme des chiffres du nombre soit 9. 37) Dans le tiroir de son armoire, Robin possède 5 paires de chaussettes noires, 3 paires de chaussettes vertes et 2 paires de chaussettes rouges. Ces chaussettes se trouvent mélangées dans le plus grand désordre. Robin, pressé, prend, parfaitement au hasard, 2 chaussettes dans le tiroir. a) Calculer la probabilité pour que Robin ait pris 2 chaussettes noires. b) Calculer la probabilité pour que Robin ait pris 2 chaussettes de la même couleur. c) On suppose que les nombres de chaussettes vertes et rouges restent inchangées. Déterminer le nombre n de chaussettes noires devant se trouver dans le tiroir pour que Robin prenne 2 chaussettes noires avec une probabilité de 2/7.

9 38) On jette une pièce de monnaie truquée, telle que la probabilité d'obtenir Pile soit égale à 1/3 (et la probabilité d'obtenir Face est de 2/3). Si l'on obtient Face, on choisit au hasard, par tirage, un nombre entier de 1 à 9. Si l'on obtient Pile, on choisit au hasard un nombre entier de 1 à 5. 1 Calculer la probabilité pour que le nombre choisi soit impair. 2 Quelle est la probabilité pour qu'on ait obtenu Pile en lançant la pièce, sachant que le nombre obtenu est pair? 39) Un sac contient 100 pièces d'apparence identique. 25 de ces pièces sont équilibrées, les 75 autres sont fausses et la probabilité d'obtenir Pile pour l'une de ces pièces est égale à 3/5. On tire au hasard une pièce du sac ; on considère les événements : E = " la pièce tirée est équilibrée." F = "la pièce tirée est fausse" 1 Donner les probabilités des événements E et F 2 On lance la pièce précédemment tirée. Calculer la probabilité d'obtenir Pile. 3 Sachant que le résultat du lancer est Pile, quelle est la probabilité pour que la pièce tirée soit équilibrée. 4 On décide de déclarer fausse toute pièce tirée dont le résultat du lancer est Pile. Calculer la probabilité de déclarer fausse une pièce équilibrée. 40) Sachant que 55% de la population est féminine et que 5% des hommes et 2% des femmes ont une taille dépassant 1,85m, quelle est la probabilité qu une personne prise au hasard parmi celle dont la taille dépasse 1,85m a) soit un homme? b) soit une femme? 41) Robin joue avec un jeu électronique. Une partie consiste en un duel entre Robin et un des 3 monstres M 1, M 2, M 3, choisi par la machine. Le jeu est programmé de telle sorte que, pour chaque partie, le monstre M 1 a une chance sur 2 d'apparaître, les 2 autres monstres ayant la même probabilité d'apparition. On admet que lors d'un combat, la probabilité pour Robin de gagner est respectivement de 0.3 contre M 1, 0.4 contre M 2 et 0 contre M 3. 1 Robin joue une partie. Calculer la probabilité pour qu'il gagne cette partie. 2 Sachant que Robin a perdu la partie, quelles sont les probabilités pour : a) qu'il ait joué contre M 1 b) qu'il ait joué contre M 3 3 Robin joue 4 parties consécutivement. On admet que les parties sont jouées indépendamment. Calculer les probabilités pour que : a) Robin gagne au moins une partie c) Robin gagne exactement une partie.

10 42) Une population peut être atteinte par 2 maladies A et B. Une étude statistique révèle que : - la probabilité pour qu'une personne de la population soit atteinte par la maladie A est de 0,2 et celle d'être atteinte par la maladie B est 0,3. - si une personne n'est pas atteinte par la maladie B, la probabilité qu'elle soit atteinte de la maladie A est 0,1 a. Sachant qu'une personne est atteinte de la maladie B, calculer la probabilité pour qu'elle soit atteinte de la maladie A. b. Les maladies A et B frappent-elles indépendamment les individus de cette population. 43) En France, en fin de première S, chaque élève choisit une, et une seule, spécialité en Terminale suivant les répartitions données ci-dessous : Math Sciences SVT Math Sciences SVT 2/5 ¼ 7/20 F G 45% 55% 24% 76% a) Modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré. b) Etudier l'indépendance des événements F et M, F et V. 60% 40% 44) 45) 46) 47)