Calcul littéral - Développement

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1 Calcul littéral - Développement C H A P I T R E 7 Énigme du chapitre. 7 personnes se rencontrent et se serrent la main, elles s échangent en tout 21 poignées de main. Combien de poignées échangent entre elles 160 personnes? Objectifs du chapitre. Calculer la valeur d une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. Réduire une expression littérale à une variable, du type : 3x (4x 2), 2x 2 3x + x 2,... Développer une expression de la forme de la forme (a + b)(c + d).

2 I/ Rappels sur les expressions littérales Activité A. Développement simple 1. Dans la figure ci-contre, l unité est le centimètre et x est un nombre positif. D C 2,5 A B x+3 À la question «Quel est le périmètre du rectangle ABCD?», Amélie répond «2(x + 5,5) et Vincent répond «2x + 11». Que peut-on dire de ces deux réponses? Justifier. 2. Développer les expressions suivantes : (a) A = 3(x + t) (b) B = 2,5 (3x + t) (c) C = x(2 + 2t) 3. Remplacer dans chaque expression la valeur des variables x et t respectivement par 3 et 2. Définition Une expression littérale est une expression dans laquelle certains nombres sont représentés par des lettres. Si une lettre apparaît plusieurs fois, elle désigne toujours le même nombre. Une expression littérale traduit un programme de calcul. Exemple Dans l expression 5x 2 + 8x, la valeur de cette expression pour x = 2 s obtient en remplaçant x par 2 dans 5x 2 + 8x et en effectuant les calculs : = = 36. La valeur de l expression pour x = 2 est donc égale à 36. Propriété k, a et b étant trois nombres quelconques, on a : k(a + b) = ka + kb. Remarque Une différence peut toujours se ramener à une somme. Par exemple a b = a + ( b). Exemples

3 A = 3(5x + 7) A = ( 3) 5x + ( 3) 7 A = 15x 21 Le produit 3(5x + 7) a été développé. On obtient la somme 15x 21. B = 12x + 20 B = 4 3x B = 4(3x + 5) La somme 12x + 20 a été factorisée par 4. On obtient le produit 4(3x + 5). Faire les exercices

4 II/ Réduction d une expression littérale Activité B. Réduire des sommes et des produits 1. (a) Anaïs affirme que 4x + 5x = 20x 2, Imen n est pas d accord et écrit que 4x + 5x = 9x. Mais Lucas dit que 4x + 5x doit être égal à 9x 2. Qui a raison? Expliquer la réponse en précisant la propriété utilisée. (b) En factorisant, réduire, lorsque cela est possible, le nombre de termes des sommes ci-dessous : 2x + 3x 12x 2 a + 9a 11a + 5b 4x 2 + 9x 2 2x + 3x 2 6x 2. (a) Lucie affirme que 6 x 3 = 18x, comment a-t-elle obtenu ce résultat? Comment le justifier? (b) Réduire les produits ci-dessous : 2 y 2 a 3 a 9 x x 2 4 ( 7x) 5 ( 5b 2 ) 3. Dans les expressions ci-dessous, réduire, si possible, les produits puis réduire, toujours si possible, les sommes obtenues : 5x 3x 7 3x 2 xy 2x 2 + 9x 2 ( 2) a 2 ( 3) a 2 2a 3 a 6 ( 5) Définition Réduire une expression littérale, c est écrire cette expression avec le moins de termes possible. Exemples A = 8x 3x A = (8 3)x A = 5x L expression A comportait deux termes, elle n en comporte plus qu un, elle a été réduite. B = x x x 2 B = 7 + 3x x 2 B = 3x 2 + 2x B = (3 + 2)x B = 5x 2 2 L expression B comportait quatre termes, elle n en comporte plus que deux, elle a été réduite.

5 Remarque Certaines expressions comme 7x 2 + 2x, ne peuvent pas être réduites. Faire les exercices

6 III/ Supprimer des parenthèses Activité C. Réduire une expression littérale avec des parenthèses 1. Récopier et compléter : (a) 8 + (x + 9) = (x + 9) (b) y (a + 5) = y +... (a + 5) (c) 2b (3 + a) = 2b +... ( 3 + a) (d) 6 + (5x + 9) = (5x + 9) (e) 3a (y 3) = 3a +... (y 3) (f) y + ( a 2) = y +... ( a 2) (g) (y + 3) =... (y + 3) (h) ( 9 a) =... ( 9 a) 2. Développer et réduire les expressions ainsi obtenues. 3. Comment réduire uen expression entre parenthèses précédée d un signe «+» ou d un signe? Propriété L opposé d une somme est égal à la somme des opposés de chaque terme. Exemples A = (2x + 7) A = ( 2x) + ( 7) A = 2x 7 B = (3x 8) B = (3x + ( 8)) B = ( 3x) + (+8) B = 3x + 8 Propriétés Pour ajouter une somme, on ajoute séparément chacun de ses termes. Pour soustraire une somme, on ajoute séparément l opposé de chacun de ses termes. On supprime ainsi les parenthèses situées autour de la somme que l on ajoute ou que l on soustrait.

7 Exemples A = 3x + (2x 5x 2 + 1) A = 3x + 2x + ( 5x 2 ) + 1 A = 3x + 2x 5x On ajoute séparément chaque terme de la somme 2x 5x Les parenthèses ont ainsi été supprimées dans l expression A. B = 7x (3x 2 4x + 9) B = 7x + ( 3x 2 ) + (+4x) + ( 9) B = 7x 3x 2 + 4x 9 On ajoute séparément les opposés de chaque terme de la somme 3x 2 4x +9. Les parenthèses ont ainsi été supprimées dans l expression B. Faire les exercices

8 IV/ Double distributivité Activité D. Á la découverte de la double distributivité Partie A : Conjecture Sur la figure ci-dessous, le rectangle ACDF est partagé en quatre rectangle ABJI, BCKJ, IJEF et JKDE. Une unité de longueur étant choisie, on pose AB = a, BC = b, AI = c et IF = d. A B C I J K F E D 1. (a) Exprimer en fonction de a, b, c ou d l aire des rectangles intérieurs. (b) En déduire une expression de l aire A du rectangle ACDF en fonction de a, b, c et d. 2. (a) Exprimer la longueur AC en fonction de a et b et la longueur AF en fonction de c et d. (b) En déduire l expression de l aire de A sous la forme d un produit. 3. Recopier et compléter l égalité suivante : (a + b)(c + d) = Partie B : Démonstration Soient a, b, c et d des nombres relatifs quelconques. 1. Écrire l égalité obtenue en remplaçant dans l égalité (a + b)k = ak + bk le nombre k par la somme c + d. 2. Quelle propriété doit-on encore appliquer pour obtenir l égalité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd? Propriété Soit a, b, c et d quatre nombres quelconques, on a :

9 Exemples Remarque 6 + x 40x 2 est la forme développée et réduire de A. A = (2 5x)(3 + 8x) A = x + ( 5x 3) + ( 5x) 8x A = x 15x 40x 2 A = 6 + x 40x 2 Faire les exercices Problèmes : Faire les exercices