DÉVELOPPEMENT D ALGORITHMES ET D UN CODE DE CALCUL POUR LES PROBLÈMES DE L IMPACT ET DU CHOC. Benoît Magnain

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1 Thèse de doctorat spécialité : mécanique DÉVELOPPEMENT D ALGORITHMES ET D UN CODE DE CALCUL POUR LES PROBLÈMES DE L IMPACT ET DU CHOC Benoît Magnain 28 novembre 26 Laboratoire de Mécanique et d Énergétique d Évry Université d Évry - Val d Essonne

2 Problématique 2 Simulation numérique des problèmes d impact Deux grandes sources de difficultés : gestion du contact avec frottement intégration des équations du mouvement Objectifs : précision des résultats stabilité de la méthode performance (temps de calcul) Introduction

3 Idée directrice 3 Traitement du contact : Couplage de deux méthodes originales méthode du bi-potentiel ( DE SAXCÉ et FENG 1991 et 1998) vérifie de manière exacte les conditions de contact résolution dans un système réduit réactions normales et tangentielles liées par le bi-potentiel de contact méthode éprouvée en statique Intégration des équations du mouvement : θ-méthode du premier ordre (JEAN 1999) ne fait pas intervenir de termes d accélération dans le calcul Introduction

4 Plan de la présentation 4 Introduction Contact avec frottement Schémas d intégration Applications numériques Conclusions et perspectives Introduction

5 Plan de la section 5 Introduction Contact avec frottement : définition du problème méthode globale de résolution loi de contact avec frottement méthode du bi-potentiel algorithme local de résolution définition des zones de contact Schémas d intégration Applications numériques Conclusions et perspectives Contact avec frottement

6 Définition du problème (1/2) 6 Ω 1 Cadre de l étude : ϕ 1 t c problèmes dynamiques Γ 1 c Γ 2 c X 1 ϕ 1 t c (Ω 1 ) grands déplacements et grandes déformations Ω 2 X 2 ϕ 1 t c (Γ 1 c) matériaux hyperélastiques ϕ 2 t c (Γ 2 c) ϕ 1 t c (X 1 ) = ϕ 2 t c (X 2 ) contact avec frottement entre corps déformables X 1 X 3 O X 2 ϕ 2 t c ϕ 2 t c (Ω 2 ) problèmes 2D et 3D Contact avec frottement

7 Définition du problème (2/2) 7 Équations d équilibre discrétisées : MÜ + C U + K T δu = F ext F int + R c + loi de comportement conditions aux limites conditions initiales conditions de contact non-linéarité matérielle (hyperélasticité) Kirchhoff-Saint Venant, Néo-Hookéen, Blatz-Ko et Mooney-Rivlin non-linéarité géométrique formulation lagrangienne totale, E, S non-linéarité de contact méthode du bi-potentiel Contact avec frottement

8 Algorithme global 8 Lecture des données Boucle sur les pas de temps Après intégration temporelle : M δu = F + R c Détection de contact Boucle d équilibre Décomposition du problème : δu = M 1 F + M 1 R c = δu lib + δu c non Calcul de δu test de Convergence Calcul de δu : M δu lib = F oui Actualisation Calcul de R c (U) t < T t = t + t M δu = F + R c (U) Fin Contact avec frottement

9 Algorithme local 9 ϕ 1 t(ω 1 ) Repère local du contact ϕ 1 t(γ 1 c) x 1 t Calcul de R c g(x 1 t) δu c = M 1 R c t 2 + loi de contact ϕ 2 t(γ 2 c) x 2 t t 1 X 3 ϕ 2 t(ω 2 ) changement de repère X 1 O X 2 Changement de base et condensation R α c = H α r α δu α c = (H α ) T δu α c + condensation δu c = W r + loi de contact δu c = ( H M 1 H T) r = Wr Contact avec frottement

10 Loi de contact avec frottement 1 Contact unilatéral Loi de frottement r n r t µr n glissement contact adhérence u t non-contact g glissement µr n Conditions de Signorini : Modèle de Coulomb : g r n g r n = non-pénétration non-adhésion condition complémentaire Si r t < µr n alors u t = Si r t = µr n alors λ > tel que u t = λr t Contact avec frottement

11 Bi-potentiel de contact (De Saxcé & Feng 1991) 11 bi-potentiel de contact : b c ( u,r) = R ( u n ) + K µ (r) + µ r n u t R = ], ] K µ = { r R 3 tel que r t µr n } Théorème : Le couple extremum de b c vérifie la loi de contact avec frottement méthode du lagrangien augmenté u n, r K µ et r K µ : µ(r n r n ) u t + ( r (r u) ) (r r) Contact avec frottement

12 Algorithme local de résolution 12 Algorithme d Uzawa : Correction r i+1 = proj(r i+1, K µ ) r = proj(r, K µ ) où r = r ( u t + ( u n + µ u t )n ) Prédiction r i+1 = r i i( u i t + ( u i n + µ u i t )n ) oui µ r t < r n non-contact : r i+1 = non r t < µr n non oui adhérence : r i+1 = r glissement : r = r ( r t µrn) ( r ) t (1 + µ 2 ) r t + µn Contact avec frottement

13 Algorithme de Gauss-Seidel par bloc 13 r = δu c = δu c = W r + loi de contact δu c = W r r = proj(r, K µ ) δu α = g α + δu α lib Boucle itérative d Uzawa Boucle de Gauss-Seidel δu α i+1 = δu α i + w αα r α i + δu αβ i Gauss-Seidel par bloc problème non-linéaire de (6 N c ) équations N c sous-problèmes de 6 équations non non r α i+1 = proj(r α i+1,k µ ) α < N c oui ( r i+1 r i ) / r < ǫ r = r i+1 oui Contact avec frottement

14 Zones de contact 14 Zone de contact Impacteur Liste des nœuds de contact «impacteurs» Actif = Liste des éléments cibles Coefficient de frottement µ Actif= 1 distance d alerte Distance d alerte Obstacle Type de traitement : problème 2D : nœud-segment problème 3D : nœud-facette Contact avec frottement

15 Plan de la section 15 Introduction Contact avec frottement Schémas d intégration : problématique schéma classique de Newmark schéma adapté aux problèmes d impact Applications numériques Conclusions et perspectives Schémas d intégration

16 Problématique 16 MÜi+1 t+ t NEWTON-RAPHSON + C U i+1 t+ t + (K T) i t+ t δui+1 t+ t = (F ext) t+ t (F int ) i t+ t + (R c) i+1 t+ t U i+1 t+ t = Ui t+ t + δui+1 t+ t SCHÉMA D INTÉGRATION M i+1 t+ t δui+1 t+ t = F i+1 t+ t + (R c) i+1 t+ t U i+1 t+ t = Ui t+ t + δui+1 t+ t schéma explicite (différences centrées...) dynamique rapide calcul de crash PAM-CRASH, RADIOSS schéma implicite (Newmark, Houbold, HHT...) vérifie l équilibre à chaque pas de temps inconditionnellement stable sans contact ANSYS,ABAQUS,... Schémas d intégration

17 Algorithme classique de Newmark 17 Hypothèses de départ : ] U t+ t = U t + t [(1 α)ü t + αü t+ t U t+ t = U t + t U [ t + ( t) 2 ( ] 1 2 β) Ü t + βü t+ t Inconditionnellement stable (sans contact) pour : α, 5 et β (2α + 1) 2 /16 Couples de paramètres classiques : α β à l intérieur de t, 5, 25 hypothèse de l accélération constante (règle du trapèze), hypothèse de l accélération linéaire Schémas d intégration

18 Test de validation 18 Test 1 : impact longitudinal (Hu 1997) X 2 X 1 u (1) u (2) A B C D (1) (2) type de matériau Kirchhoff-Saint Venant longueur L = 1 module de Young E = 1 masse volumique ρ =, 1 vitesse initiale u (1) = u (2) = (1, ;, ) durée totale T =, 4 pas de temps t = 1 5 maillage 2 éléments Q4 par barre Schémas d intégration

19 Algorithme classique de Newmark 19 Impact longitudinal (α =, 5 et β =, 25).12 Énergie E t E c E e Déplacement analytique numérique Temps Évolution de l énergie Temps Déplacement du point C.35.4 accroissement anormal de l énergie totale oscillations du point de contact divergence du calcul Schémas d intégration

20 Algorithme classique de Newmark 2 Impact longitudinal (α =, 5 et β =, 5).1 Énergie E t E c E e Déplacement analytique numérique Temps Temps introduction de dissipation numérique : stabilisation du calcul réduction des oscillations du point de contact amélioration global du résultat Schémas d intégration

21 Test de validation 21 Test 2 : impact oblique (Kwak 1992) L X 2 X 1 H R P type de matériau Kirchhoff-Saint Venant module de Young E = 1 7 Pa masse volumique ρ = 1 kg/m 3 vitesse initiale u = (3, ; 5, ) durée totale pas de temps T =, 3 s t = 1 5 s Schémas d intégration

22 Test de validation 22 Impact oblique (α =, 5 et β =, 25) Animation 7 6 Énergie (J) E t E c E e Temps (s) Schémas d intégration

23 Test de validation 23 Impact oblique (α =, 5 et β =, 5) Animation.6 Énergie (J) E t E c E e Déplacement (m) U x U y Temps (s) Temps (s) dissipation numérique insuffisante oscillations résiduelles du point P Schémas d intégration

24 Algorithmes adaptés aux problèmes d impact 24 Spécificité des chocs : vitesse discontinue au moment du choc Idée directrice : stabiliser le calcul en maîtrisant l énergie mécanique axes de recherche : introduire de la dissipation numérique introduire un terme correctif (Laursen, Armero) adapter des schémas différents (Hauret, Barboteu, Jean) schéma du premier ordre (θ-méthode, Jean et Simo) Schémas d intégration

25 Algorithmes adaptés aux problèmes d impact 25 Formulation intégrale : t+ t t Md U + t+ t t C Udt + t+ t t F int dt = t+ t t F ext dt + t+ t t R c dt θ-méthode du premier ordre : U t+ t U t t = (1 θ) U t + θ U t+ t où θ 1 Approximations appliquées : t+ t t ( ) Md U = M U t+ t U t t+ t t Fdt = t ( (1 ξ)f t + ξ F t+ t ) où ξ 1 t+ t t R c dt = t (R c ) t+ t Schémas d intégration

26 Test de la méthode 26 Impact longitudinal (1/2).1 Énergie E t E c E e Déplacement analytique numérique Temps Temps bonne corrélation du déplacement conservation de l énergie mécanique Schémas d intégration

27 Test de la méthode 27 Impact longitudinal (2/2) analytique numérique Vitesse Temps prise en compte des vibrations après impact pas d oscillation de la force de contact Schémas d intégration

28 Test de la méthode 28 Impact oblique sans frottement Animation Énergie E t E c E e Déplacement (m) U x U y Temps (s) Temps (s) Schémas d intégration

29 Prise en compte du frottement 29 Impact oblique avec frottement (µ =, 2) Animation Énergie E t E c E e Énergie dissipée Temps (s) détermination quantitative de l énergie dissipée influence de µ Coefficient de frottement Schémas d intégration

30 Test de la méthode 3 Influence des paramètres du schéma.56.6 Énergie (J) ξ=.5 ξ=.6 ξ=.7 ξ=.8 ξ=.9 ξ=1. Énergie (J) dt=.1 dt=.5 dt=.1 dt= Temps (s) Temps (s) θ = ξ =, 5 couple "optimal" Schémas d intégration

31 Influence du maillage 31 2 Contraintes (Pa) σ yy (M1) σ xy (M1) σ yy (M2) σ xy (M2) 1e Temps (s) M1 M2 Déplacement (m) U x (M1) U y (M1) U x (M2) U y (M2) maillage M 1 37 éléments maillage M éléments Temps (s) Schémas d intégration

32 Plan de la section 32 Introduction Contact avec frottement Schémas d intégration Applications numériques : présentation de FER/Impact impact déformable-rigide en 2D impact déformable-déformable en 3D application aux problèmes quasi-statiques Conclusions et perspectives Applications numériques

33 FER/Impact 33 FER/Impact Description : code de calcul par élément finis pour les problèmes d impact et de choc Domaines d application : grandes déformations (formulation lagrangienne totale) matériau hyperélastique (Kirchhoff-Saint Venant, Néo-Hookéen, Mooney-Rivlin et Baltz-Ko) problème 2D (T3 et Q4) et 3D (T4 et H8) Programmation et méthodes numériques : C++ orientée objet (environ 4 lignes) stockage des matrices type "ligne de ciel" résolution système linéaire : pivot de Gauss Applications numériques

34 Impact déformable-rigide en 2D 34 type de matériau Blatz-Ko module de cisaillement G = 3 MPa masse volumique ρ = 7 kg/m 3 vitesse initiale durée totale u = 3, m/s T = s pas de temps t = 1 5 s paramètres de l algorithme ξ = θ =, 5 Modèle de Blatz-Ko : W = G 2 ( I1 + 2 ) I 3 5 I 2 cas A µ =, cas B µ =, 2 cas C µ =, 4 Applications numériques

35 Impact déformable-rigide en 2D 35 Évolution de l énergie mécanique µ =, µ =, E t E c E e 7 7 Énergie E t E c E e Énergie Temps (s) Temps (s) Applications numériques

36 Impact déformable-rigide en 2D 36 Évolution de l énergie et déplacement vertical µ =, 4 Déplacement de O Énergie E t E c E e Déplacement (m) Cas A Cas B Cas C Temps (s) Temps (s) Applications numériques

37 Impact déformable-rigide en 2D 37 Influence des forces de frottement Cas temps (ms) σ max (MPa) temps CPU (s) A : µ=,,87 8, B : µ=,2,7 4, C : µ=,4,61 4, Applications numériques

38 Impact déformable-déformable en 3D 38 X 3 D X 1 X 2 type de matériau Kirschhoff-Saint Venant C B module de Young E = 36 MPa coefficient de Poisson ν =, 2 A masse volumique ρ = 1 kg/m 3 vitesse initiale (, ; 1, 5; 1, ) durée totale T = s cas 1 µ =, 2 cas 2 µ =, 8 pas de temps t = 1 5 s paramètres de l algorithme ξ = θ =, 5 Applications numériques

39 Impact déformable-déformable en 3D 39 Dissipation d énergie par frottement µ =, 2 µ =, Énergie E t E c E e Énergie E t E c E e Temps Temps Animation Animation Applications numériques

40 Application aux problèmes quasi-statiques 4 Auto-contact Multi-corps déformables Animation Animation Applications numériques

41 Plan de la section 41 Introduction Contact avec frottement Schéma d intégration Applications numériques Conclusions et perspectives Conclusions et perspectives

42 Conclusions 42 Extension de la méthode du bi-potentiel à l étude des problèmes d impact (code de calcul FER/Impact). Conservation des propriétés de la méthode du bi-potentiel : aucune régularisation de lois de contact vérification exacte des conditions de contact aucune modification du système global résolution efficace dans un système réduit Utilisation d un schéma d intégration adapté : pas de terme d accélération dans le calcul conservation quasi-parfaite de l énergie en l absence de frottement étude quantitative de l énergie dissipée Mise en évidence d une relation non-monotone entre µ et la quantité d énergie dissipée Conclusions et perspectives

43 Perspectives(1/2) 43 Développement du domaine d application prise en compte du contact : autre modèle de frottement (frottement orthotrope, coefficient de frottement variable...) méthode de résolution (confrontation de résultats) schémas d intégration : étude théorique du schéma proposé implanter et tester de nouveaux schémas comportement matériau non-réversible : plasticité, usure, rupture couplage frottement/thermique : lier la dissipation d énergie mécanique aux phénomènes thermiques Conclusions et perspectives

44 Perspectives (2/2) 44 Amélioration des performances de calcul algorithme de détection du contact : améliorer la stratégie de détection du contact parallélisation du code de calcul : niveau 1 : détection du contact niveau 2 : résolution du contact niveau 3 : résolution des systèmes linéaires optimisation de la bibliothèque d objets C++ : utilisation du formalisme "templates" Conclusions et perspectives