Dans ce cas de figure, on voit que f(x) prend des valeurs très proche de l quand x devient très grand.
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- Félix Moreau
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1 Chpitre IV : Limites de foctios I. Limite d ue foctio et symptotes. Limite fiie e l ifii Eemple : C f est l courbe représettive de l foctio f. Ds ce cs de figure, o voit que f() pred des vleurs très proche de l qud deviet très grd. E prtique, «les ombres f()» fiisset pr «s ccumuler» utour d u réel l. Aussi petit que soit, >, les ombres f() sot ds l itervlle ]l - ;l + [ pour tout supérieur à u certi A. l + f() l - C f O ote lors : f ( ) l Remrque : De l même mière, si pour tout, >, les ombres f() sot ds l itervlle ]l - ;l + [ pour tout iférieur à u certi B lors o : f ( ) l Défiitios Soit f défiie sur [α ;+ [ ou ]- ;α] où α est u réel. f ( ) l si tout itervlle ouvert cotet l cotiet toutes les vleurs f() dès que est ssez grd f ( ) l si tout itervlle ouvert cotet l cotiet toutes les vleurs f() dès que est égtif et ssez grd e vleur bsolue Chpitre IV : Limite de foctios Termile S
2 Défiitio est u réel. C f est l courbe représettive de l foctio f ds u repère orthoorml. L droite d équtio y = l est ue symptote horizotle à C f e + si : f ( ) l C f Remrque : De l même mière, l droite d équtio y = l est ue symptote horizotle à C f e - si : f ( ) l. Limite ifiie e l ifii Eemple : C f est l courbe représettive de l foctio f. Ds ce cs de figure, o voit que f() pred des vleurs très grde qud deviet très grd. f( ) E prtique, «les ombres f()» fiisset pr dépsser importe quel ombre M pour tout supérieur à u certi A. O ote lors : f ( ) Remrque : De mière logue, o doe u ses u epressios f ( ), f ( ) et f ( ) Défiitios Soit f défiie sur [α ;+ [ ou ]- ;α] où α est u réel. f ( ) si tout itervlle ]A ;+ [ cotiet toutes les vleurs f() dès que est ssez grd. f ( ) si tout itervlle ]- ;B[ cotiet toutes les vleurs f() dès que est ssez grd. Chpitre IV : Limite de foctios Termile S
3 3. Limite ifiie e u réel Eemple : C f est l courbe représettive de l foctio f. Ds ce cs de figure, o voit que f() pred des vleurs très grde e vleur bsolue qud se rpproche de. E prtique, «les ombres f()» fiisset pr dépsser importe quel ombre M qud se rpproche de pr l droite O ote lors : f ( ) De l même fço, qud se rpproche de pr l guche o ote f ( ) Remrque : O remrque que l foctio f dmet deu ites différetes u même poit d bscisse =. O prle lors de ite à droite e, otée f ( ) et de ite à guche de l foctio e, otée f ( ) Défiitios Soit f défiie sur ] ;+r] ou ] ; r]vec r >. f ( ) si tout itervlle ]A ;+ [ cotiet toutes les vleurs f() dès que est suffismmet proche de. f ( ) si tout itervlle ]- ;B[ cotiet toutes les vleurs f() dès que est suffismmet proche de. Défiitio est u réel. C f est l courbe représettive de l foctio f ds u repère orthoormé. L droite d équtio = est ue symptote verticle à C f si : f ( ) ou f ( ) 3 Chpitre IV : Limite de foctios Termile S
4 Remrque : O peut ussi défiir l otio de ite fiie e u réel. O lors : k k ; ; ou ecore II. Limites des foctios usuelles et opértios sur les ites. Limites des foctios usuelles Théorème k k ; k k Théorème ² ² 3 3 Remrque : De mière plus géérle, si est pir, si est impir, Théorème ; ; ; Remrque : O peut églemet fcilemet détermier les ites suivtes, ; ; et 4 Chpitre IV : Limite de foctios Termile S
5 . Opértios sur les ites O suppose que f et g ot le même esemble de défiitio est ou u réel, ou bie + ou - pour l esemble des tbleu suivts. Limite d ue somme de foctios f ( ) g( ) l l l - l' f ( ) g( ) l + l' - - ps de résultt géérl b. Limite d u produit de foctio f ( ) g( ) f ( ) g( ) l l ou - l' ou - ou - ou - l l' ou - suivt les siges ou - suivt les siges ps de résultt géérl c. Limite d'u iverse O suppose que pour tout, f(). f ( ) l' pr vleurs supérieures pr vleurs iférieures ou - f ( ) l' - d. Limite d u quotiet O suppose que pour tout, g(). f ( ) g( ) f ( ) g( ) l l l ou - ou - ou - l' ou - l l' pr vleurs supérieures ou pr vleurs iférieures ou - suivt les siges ps de résultt géérl pr vleurs supérieures ou pr vleurs iférieures ou - suivt les siges l' ou - ou - suivt les siges ps de résultt géérl 5 Chpitre IV : Limite de foctios Termile S
6 3. Limites d ue foctio composée Certies foctios e peuvet ps être écrites comme somme, produit ou quotiet de foctios usuelles. Ue utre opértio sur les foctios eiste : l compositio. Eemple : Soit h l foctio défiie sur [- ; + [ pr h( ) Pour détermier l imge de pr l foctio h, o clcule d bord l vleur de l epressio +, et esuite o détermie l rcie crrée du réel obteu. g f X X Défiitio Soiet f et g, deu foctios défiies respectivemet sur Df et Dg tels que pour tout réel de Dg, g() pprtiet à Df. L foctio composée de g suivie de f, otée fog, est le foctio défiie sur Dg pr f g : f ( g( )) Dg Df g g( ) X f IR f (X) Théorème, b, c sot trois réels ou + ou -. f et g sot deu foctios Si f ( ) b et g( X ) c lors g f ( ) c X b Eemples : Soit h l foctio défiie sur IR* pr h() = 4 O cherche l ite de h e + Soit X 4. Alors X 4 et X 4 X Il s esuit doc que h( ) Soit g l foctio défiie sur IR* pr k() = O cherche l ite de k e + cos Soit X =. Alors X et cos X Filemet : k( ) X 6 Chpitre IV : Limite de foctios Termile S
7 III. Théorèmes de compriso. Propriétés de compriso : ite ifiie Propriétés de Compriso i. Si g( ) ii. Si f ( ) g( ) f ( ) et si pour «ssez grd» f ( ) g( ) lors et si pour «ssez grd» f ( ) g( ) lors Preuve : i. Soit A u réel. Pour «ssez grd», pr eemple M, si > M lors ]A ; + [ cotiet toutes les vleurs de g() Pour «ssez grd», pr eemple M, si > M lors f ( ) g( ) Doc pour tout supérieur à l fois de M et M o ]A ;+ [ cotiet toutes les vleurs de g() et f ( ) g( ), doc ]A ; + [ cotiet toutes les vleurs de f(), filemet f ( ) ii. preuve idetique. Théorème des gedrmes : ite fiie Théorème des Gedrmes f, g et h sot des foctios et l est u réel. Si g( ) l, h( ) l et si pour «ssez grd» g( ) f ( ) h( ) lors f ( ) l Preuve : Soit I u itervlle ouvert cotet l Pour «ssez grd», pr eemple M, si > M lors g() pprtiet à I Pour «ssez grd», pr eemple M, si > M lors h() pprtiet à I D utre prt, pour «ssez grd», pr eemple M, si > M lors g( ) f ( ) h( ) Doc pour tout supérieur à l fois de M, M et M, o g() et h() pprtieet tous deu à I et g( ) f ( ) h( ), filemet f() pprtiet ussi à I et f ( ) l 7 Chpitre IV : Limite de foctios Termile S
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