3. Opérations sur les limites : Limite d une somme :

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1 Termile S Limites de foctios Dérivilité et cotiuité Epoetielles Logrithmes Itégrtios Foctios trigoométriques Limites de suites Risoemet pr récurrece Suites, vritios et ites Nomres complees Nomres complees et rgumets Géométrie ds l espce Espce et repère Proilité coditioelle Loi cotiue à desité Limites de foctios :. Foctio de référeces :. Foctio crrée : J - - O I f + + O les ites suivtes : = + ; + = +. Foctio iverse : 4 J O - I f + - O les ites suivtes : E l ifii : E l ifii : = ; + = + = ; + = +. Foctio rcie crrée : J - O I f + O l ite suivte : = Foctio vleur solue : J O I - + f + + O les ites suivtes : = + ; + = +. Limites :. fiies e l ifii :

2 f = + Soit f ue foctio umérique défiie sur ] ; +. O dit que f dmet le réel pour ite e +, si tout itervlle ouvert cotet cotiet tous les réels f pour ssez grd. O ote f=. + ] " R + ; + = f <" O dit que l droite d équtio y = est ue symptote horizotle à l coure C f e +.. ifiies e l ifii : M M M + f = + Soit f ue foctio umérique défiie sur ] ; +. O dit que f ted vers + qud] ted vers +, si tout itervlle itervlle de l forme M ; + où M R cotiet toutes les vleurs de f pour ssez grd. O ote f=+ + ] M R ; + > = f>m. ifiies e u omre réel : f = + Soit u omre réel et I u itervlle ouvert et cetré e. O cosidère f ue foctio umérique défiie sur l esemle I\{}. O dit que l foctio f pour ite + qud ted vers, si tout itervlle ouvert ] M ; + où M R cotiet toutes les vleurs de f pour toutes les vleurs de ssez proche de. O ote f=+. M R R + I\{} et < = f>m O dit que l droite d équtio = est ue symptote verticle à l coure C f e. 4. droite et à guche : Remrque : Cosidéros l foctio f défiie sur ; ] \{c} et dmettt l représettio suivte : J I c O remrque que l foctio dmet deu ites u voisige de : E se rpprocht de ds l itervlle ; c, f se rpproche de. O ote : f = ou f = c c <c E se rpprocht de ds l itervlle ] c ; ], f se rpproche de. O ote : f = ou f = c c + >c Eemple : Soit f défiie sur R +\{} pr : f = O = mis ous devos détermier si : + = ou = O : f = = Pour ; + et proche de : > ; < = = = f = + +. Opértios sur les ites : Limite d ue somme : Si f = + + Si g = + + lors f+g= + + +? Limite d u produit : + Si f = > < ou Si g = ou ou lors f g = + + ou? Limite d u quotiet :

3 Si f = + ou Si g = + ou lors f g = Eemple :d utilistio Soit f défiie sur R pr : + ou + ou + ou + ou?? f= Détermios l ite de f lorsque ted vers +. Etudios les deu fcteurs de l epressio de f : Le premier fcteur est l somme des deu epressios : + = ; = + Les ites d ue somme doet : + = = + + Les ites d u produit doet : f = + + = { Soit : g = 6 ; R\ ; } Le déomiteur dmet pour tleu de sige : O les deu ites suivtes : = = + + Les ites d u quotiet et l règle des siges doet : g = = Remrque : Certis résultts d opértios sur les ites e sot ps doés ds le tleu ci-dessous : o les ppelle des formes idétermiées. Cr ucue règle géérle e peut être coclut ds ces cs. Etudios l uique forme idétermiée des opértios sur ue somme de ites : + + Ce sot deu ites de l forme : + + O l fctoristio : = Des deu ites : = + ; = Les ites d u produit permettet d ffirmer : + = = + + vec l epressio, o trville implicitemet sur R +. O lestrsformtios lgériques : = = Etudiosles ites des deu fcteurs : = + + Les deu termes ot pour ites : = = + + Les ites d ue somme permettet d ffirmer : = + Les ites d u produit permettet d ffirmer : = = + + Eemple : Voici quelques tritemets de formes idétermiées : Soit f= +. Détermios + f : + O les trsformtios lgériques : + + = + = + Les ites d ue somme permettet d oteir : f = = + + = Les ites d u produit permet d oteir : + + = + Les ites d u quotiet permettet d oteir : f = = + Soit g= Détermios g. Pour le déomiteur, o : = 4 c = = 9 Puisque >, o les deu rcies : = = ; = + = = O l fctoristio : = L epressio de g dmet l simplifictio : g = = O les deu ites : = = Les ites d u quotiet permettet d oteir : g = = Remrque : Soit f ue foctio défiie pr ue frctio rtioelle : Pour détermier l ite e +, o fctorise pr les moômes de plus hut degré : = = Pour détermier l ite e +, o fctorise pr les moômes de plus s degré : + + = + + = 4. Crctéristio géométrique : L foctio f dmet l ite f=+. O e déduit que l coure C f dmet l symptote verticle d équtio =. L foctio g dmet l ite g=. O e déduit que l coure C g dmet l symptote horizotle + d équtio y =. = C f C g y= ~j ~j ~i ~i

4 5. Théorème des gedrmes : Théorème :Théorème des gedrmes Soit u omre réel et f, u, v trois foctios défiies sur ; + tels que : u = v = + + Pour tout ; + : u f v lors o : f = + f = l C f C v l C u Preos u itervlle ouvert I cotet, motros que pour ssez grd, les vleurs de f sot etièremet coteues ds I. + u = : il eiste tel que : = u I v = : il eiste tel que : + = v I Notos =m ; et pour : } u I et v I = u ; v ] I I est u itervlle isi, f I Théorème :Théorème des gedrmes Soit u omre réel et f, u, v trois foctios défiies sur ; tels que : u = v = Pour tout ; : u f v lors : f = Théorème :Cs des ites ifiies Soit f et u deu foctios ; représete soit u omre réel, soit +, soit. Supposos que : Pour tout réel voisi de : f u lors : u = + f = + f = + + C f C u 6. Compositio de foctios : Soit f et g deu foctios tels que : L foctio f est défiie sur u itervlle I ; L foctio g est défiie sur l esemle f I. O défiit l foctio composée de f pr g, otée g f qui se lit g rod f défiit sur l esemle I pr l reltio : g f = g f ] Eemple : Soit f et g deu foctios défiies sur R pr : f = + ; g = + Pr compositio, o peut créer les deu foctios : f g = f g ] = f + = + + = + g f = g f ] = g + = + + = Soit f et g deu foctios telles que f soit défiie sur I et g défiie sur fi. O ote, c des omres réels et/ou ±. f = Si g = c = g f = c Eemple : Soit f et g défiie pr : f = + ; g = L foctio g f dmet pour epressio : + g f = Détermios l ite e + de g f : + + = = = + + =. Dérivilité et cotiuité :. Dérivilité :. Rppel : Soit f ue foctio défiie sur u itervlle I et soit u omre réel pprtet à I. O dit que l foctio f est dérivle e si l ite suivte eiste : h +h I f+h f h Ds ce cs, l vleur de cette ite s ppeller omre dérivée de l foctio f e et o le oter f. Remrque : Soit f ue foctio défiie sur u itervlle I. Soiet et +h deu omres pprtet à I qui sot les scisses respectives des poits et de l coure C Fig.. Le coefficiet directeur de l corde se clcule pr :

5 y y f+h f f+h f = = +h h 4 f+h f ~j h h ~i +h +h4 +h +h +h +h Fig. Fig. L figure présete l tgete u poit d scisse comme l positio ite des cordes lorsque l suite de poits se rpproche du poit. O dmet que si ue foctio f est dérivle e lors : L coure C dmet ue tgete e ; Le coefficiet directeur de cette tgete est : f+h f = f h h Soit f ue foctio défiie sur I et dérivle e I. L tgete à l coure C de l foctio f u poit d scisse pour équtio : y = f + f Soit f ue foctio défiie et dérivle e. O ote C f l coure représettive de l foctio f. Le poit ; f pprtiet à C f. O dit que est l uique poit de C f d scisse. Notos d l tgete à l coure C f u poit. So coefficiet directeur vut f. isi, so équtio réduite s eprime sous l forme : y = f + où R Les coordoées du poit vérifie cette équtio y = f + f = f + = f f isi, l équtio réduite de l droite d s eprime pr : y = f + y = f + f f ] y = f + f Ue foctio est dite dérivle sur l itervlle I si elle est dérivle pour tout omre pprtet à I. Soit ue foctio f dérivle sur u itervlle I. Il eiste ue foctio ssocit à tout omre de I le omre dérivée ssocié à l foctio : f Cette foctio s ppelle l foctio dérivée de l foctio f sur I et est otée f. Le tleu ci-dessous résume l epressio des foctios dérivées des foctios de référeces : f f D k R R R R + Voir le documet : Soit u et v deu foctios défiies et dérivles sur u itervlle I. Voici quelques propriétés de dérivtios sur les opértios lgériques : Epressio lgérique Epressio de l foctio dérivée Domie de dérivtio k u k u I u + v u + v I u v u v I k u + v k u + v I u v u v + u v I v u v Voir le documet : v v { I v } u v u v v { I v }. Dérivtio des foctio composées : Soit u ue foctio défiie et dérivle sur u itervlle I : f f D f u ] u u ] I u u u ] { I u } u u + u u u + { R u> } { R + I } Remrque : O remrque les epressios suivtes : u ] = u u ] = u ] u u u = u u O oserve l formule géérle de dérivtio de l foctio composée de] l foctio u pr l foctio f : f u = u f u ] Voir : Foctios o-dérivles : Voici quelques eemples de foctios o-dérivles u poit :

6 Fig. Fig. Fig. Fig. : l coure C f dmet ue tgete verticle e. O : f+h f = + h h Fig. : l coure C g dmet deu demi-tgetes e : f+h f f+h f h h h + h Fig. : l coure C f dmet dmet ucue tgete e : f+h f eiste ps. h h. Foctios cotiues :. pproche de l cotiuité : Itroductio : Soit u omre réel. Ue foctio f est dite cotiue e si : f est défiie e ; L coure représettive C f est trcé d u seul trit utour de. Eemple : Eemple de foctio o-cotiue e : f = g = E ~j ~i ~j ~i Fig Fig L foctio f est ps défiie e : elle est ps cotiue e. L foctio g est l foctio prtie etière : elle est ps cotiue pour tout N. E prticulier pour le omre : f = f + f Ue foctio est dite cotiue sur u itervlle I si elle est cotiue pour tout omre de l itervlle I. Eemple : Cosidéros l foctio f défiie sur R pr l reltio : f = E si < f = si = f = + si > 4 J - - O I Motros que l foctio f est cotiue e : Sur l itervlle ;, l foctio E est costte est vut. O e déduit l ite : f = E = ;] ;] Sur ] ; +, o les trsformtios lgériques : f = 4 + = + + = + = O e déduit l ite suivte : f = + = = O e déduit que l foctio f est cotiue e : f = f = +. Propriété de l cotiuité : dmise Les foctios polyômiles, l foctio rcie crrée sot cotiues sur leur esemle de défiitio. L foctio iverse est cotiue sur R et cotiue sur R + dmise L somme, le produit, le quotiet de foctios cotiues sot des foctios cotiues sur chcu des itervlles coteus ds leur esemle de défiitio. Eemple : f = + L foctio crré et l foctio rcie crré sot cotiues sur ; +. Comme somme de foctios cotiues, l foctio f est cotiue sur l itervlle ; +. g =. L foctio rcies crrées et l foctio polyômile du déomiteur sot cotiues sur l itervlle ;+. L foctio g est défiie sur ; ] ; +. Comme quotiet de foctios cotiues, l foctio g est cotiue sur ; et cotiue sur ] ; +. dmise Si ue foctio est dérivle sur u itervlle I lors elle est cotiue sur I Remrque : L réciproque est fusse : voir l figure du.. 4. Théorème des vleurs itermédiires. Sur u itervlle orée : Théorème : Soit f ue foctio défiie et cotiue sur ; ]. Pour tout m R compris etre f et f, il eiste u mois u réel c pprtet à ; ] tel que fc=m.

7 f f ~j ~i Corollire : Soit f ue foctio défiie et cotiue sur ; ]. Si f et f sot de siges cotrires, lors il eiste u mois u omre réel c pprtet à ; ] tel que fc=. Eemple : Soit f défiie pr : Motros que f s ule sur ; ; ; ]. Remrquos : f; ;> ; f; ;9< O : f est cotiue sur ; ; ; ] f; et f; sot de siges cotrires D près le corollire du théorème des vleurs itermédiires, il eiste u réel c ; ; ; ] tel que fc = f; f; ; ; Corollire : Soit f ue foctio défiie et cotiue sur ; ]. Si f est strictemet mootoe sur I lors, pour tout m R compris etre f et f, il eiste u uique réel c pprtet à ; ] tel que fc=m Eemple : Soit f l foctio crrée. Motros qu il eiste u omre pprtet à R + yt pour crré. Remrquos : f = ; f = 4 O : f est cotiue sur ; ] f est strictemet croisste sur ; ] est compris etre les imges des ores de ; ] D près le corollire du théorème des vleurs itermédiires, il eiste u uique réel c ; ] tel que fc =.. Sur u itervlle quelcoque : Ds cette prtie, et désiget soit u réel, soit ±. Théorème : Soit f ue foctio défiie sur ] ;. Si f est cotiue lors pour tout réel m strictemet compris etre f et f, l équtio f=m dmet u mois ue solutio ds ] ;. Corollire : Soit f ue foctio défiie sur ] ; et k R. Si : f est cotiue sur ] ; f est strictemet mootoe sur ] ; m est compris etre les ites de f u ores de ] ; lors il eiste u réel c ] ; tel que fc = m. Eemple : Soit f défiie sur R pr : f = + + Remrquos : f = et f = + f + = + + < O : f est cotiue sur ; + f est strictemet décroisste sur ; + ; est strictemet compris etre les ites de f u ores de ; + D près le corollire du théorème des vleurs itermédiires, il eiste u uique réel tel que f =; 5. Dichotomie : C f I J K I J K I I 4 J J 4 K K 4 Pour e svoir plus : C. Epoetielles : Lemme : Si il eiste ue foctio f telle que f =f et f= lors cette foctio e s ule ps sur R. O suppose doc l eistece de cette foctio f. O cosidère l foctio g dot l imge d u omre est doée pr l formule : g = f f Cette foctio est dérivle sur R comme produit de deu foctios dérivle. L formule de dérivtio d u produit permet d oteir l epressio de l foctio dérivée g : g = f f + f f ] = f f f f De l propriété f =f, o déduit : = f f f f = L foctio g est doc costte. E remrqut que : g = f f = = O e déduit que pour tout R, o : g = O viet de motrer que le produit f f e s ule jmis sur R : le fcteur f e s ule doc ps sur R. Théorème : Il eiste ue uique foctio f défiie sur R telle que : f =f et f= Démostrtio L eistece d ue telle foctio est dmise. Pour motrer qu il eiste ue uique foctio rélist ces deu coditios, procédos u risoemet pr l surdre suivt : Supposos qu il eiste deu foctios rélist f et g distictes rélist ces deu coditios. L foctio g vérifit les coditios recherchées, le

8 lemme permet d ffirmer que le quotiet f est défiie g sur R. Cosidéros l foctio h défiie pr : h = f g L foctio h est défiie sur R et dérivle sur R comme quotiet de deu foctios dérivles. L formule de dérivtio des quotiets permet d oteir l epressio de l foctio h : h = f g f g ] g Les propriétés de f et g permettet d écrire : h = f g f g ] = ] = g g L dérivée de l foctio h étt ulle, o e déduit que l foctio h est costte et o : h = f g = = O e déduit que pour tout omre R, o : h = = f = = f = g g O viet de motrer que ces deu foctios coïcidet sur R : ces deu foctios sot égles. O ppelle foctio epoetille, l uique foctio otée ep telle que : ep = ep ; ep = Remrque : L méthode d Euler permet d oteir ue représettio de l coure de l foctio epoetielle : 4 J O I Corollire : L foctio ep est strictemet positive sur R. preuve : Risoos pr l surde pour motrer cette ssertio. Pour cel supposos : L foctio ep est ps strictemet positive sur R. C est à dire qu il eiste u mois u omre réel tel que ep isi, est u omre réel vérifit ep. Scht que l foctio ep e s ule ps sur R, o déduit que le omre vérifie : ep < O e déduit que ep ; ]. Puisque : ep est cotiue sur R puisqu elle cotiue sur R ; ep = D près le théorème des vleurs itermédiires, o e déduit l eistece d u omre telle que : ep = O outit à ue cotrdictio cr l foctio ep e s ule ps sur R. Lemme : Pour tout R, o : ep> Cosidéros l foctio f défiie sur R pr : f = ep Cette foctio est dérivle et s dérivée dmet pour epressio : f = ep Le fit que l foctio epoetielle est strictemet croisste sur R et que ep=, o e déduit que l iéqutio : f > ep > ep > dmet pour solutio l esemle R +. isi, l foctio f dmet pour tleu de sige ci-dessous et o e déduit le tleu de vritio de l foctio f : Sige de f Vritio de f Le tleu de vritio de l foctio f permet d oteir l miortio suivte de l foctio f : f > f > ep > ep > Théorème : O les deu ites suivtes : ep = ; ep = + + D près le lemme, pour tout R, o l compriso : ep > Or, o l ite =+. Pr les théorèmes de + compriso des ites, o e déduit : ep = + + Utilisos le chgemet de vrile = X. O : ep = ep X = epx Lorsque le v tedre vers, l vrile X v tedre vers +. Des deu remrques précédetes, o e déduit l églité des deu ites suivtes : ep = X + epx D près l ite précédete, o e déduit : ep = L foctio epoetielle est cotiue et dérivle sur R et dmet le tleu de vitio suivt : - + Vritio de ep +. Formule de dérivtio :

9 f f D k R R R R + cos si R si cos R ep ep R f f D f u ] u u ] I u u u ] { I u } u u + u u u + { R u> } { R + I } cos u ] u si u ] I si u ] u cos u ] I ep u ] u ep u ] I. Formule lgérique : Pour tout réel, o : ep = ep ep > O cosidère l foctio g dot l imge d u omre est doée pr l formule : g = ep ep O motré précédemmet que l foctio g est costte et vlt sur R. isi : le produit ep ep e s ule jmis sur R : le fcteur ep e s ule doc ps sur R. Plus précisemmet, l foctio g est costte et égle à : g = ep ep = ep = ep Pour tous omres réels et y, o : ep +y = ep epy ep y = ep epy Pour tout etier reltif : ep = ep] Soit u réel quelcoque. Cosidéros l foctio f défiie sur R pr : f = ep+ ep L formule de dérivtio d u produit permet d oteir l epressio de l foctio f dérivée de l foctio f : f = ep + ep + ep+ ep ] = ep+ ep ep+ ep = O e déduit que l foctio f est ue foctio costte. De plus, o : f = ep+ ep = ep = ep isi, l foctio f vérifie pour tout R : f = ep ep+ ep = ep ep+ ep = ep ep+ = ep ep O l reltio suivte : ep y = ep + y ] = ep ep y = ep epy = ep epy Cosidéros l propriété P défiie pour tout etier turel pr l reltio : P : ep = ep ] Motros, à l ide d u risoemet pr récurrece, que l propriété P est vrie pour tout etier turel : Iitilistio : ] O : ep = ep = ; ep = L propriété P est vérifiée. Hérédité : Supposos l propriété P vérifiée pour u etier turel quelcoque. C est à dire qu o l hypothès pr récurrece : ep = ep ] O : ep + ] = ep ] = ep ep = ep ] ep = ep ] + O viet d étlir que l propriété P + est rélisée. Coclusio : L propriété P est iitilisée u rg et elle vérifie l propriété d hérédité. l ide d u risoemet pr récurrece, o viet détlir que l propriété P est vrie pour tout etier turel. Remrque : O ote e l imge du omre pr l foctio epoetielle. isi, pr défiitio, o : e = ep Les formules précédetes, permettet d écrire pour tout etier reltif : ep = ep = ep ] = e Pr covetio, o géérlise cette écriture à tous les omres réels. C est à dire qu o défiit le omre e pr : e = ep Les propriétés précédemmet étlies s eprimet pr :

10 e = e = e e = e e +y = e e y e y = e e y e = + e = +. Reltio lgérique : Soit et y deu omres réels quelcoques : e = e y = = y ; e > e y = > y L stricte croissce de l foctio epoetielle permet d étlir ces propriétés : Risoos pr l surde : supposos que les réels et y vérifiet : e = e y ; y Comme et y sot différet et jouet u rôle symétrique ds l propositio, supposos que est plus grd que y. C est à dire : > y Pr stricte croissce de l foctio epoetielle : e > e y Ce qui cotredit le fit que e est égl à e y. Le secod poit est évidet pr défiitio de l stricte croissce d ue foctio. 4. utres ites : O les trois ites suivtes : e = + ; + e e = ; = O remrque l églité suivte : e e = = e = e Nous vos étli, ds u lemme précédet, l iéglité ci-dessous pour tout u R : e u > u E prticulier pour u=, o : e > est u omre positif : e > e > e > e > > L foctio crrée est croisste sur R + : e > e > 4 E utilist l églité de déut de démostrtio : e > 4 O l ite =+. D près les théorèmes de + 4 comprisos des ites, o otiet : e = + + Posos le chgemet de vrile suivt : = X e = X e X = X e X = X e X = e X X Lorsque ted vers, o X ted vers +. Des deu remrques précédetes, o e déduit l églité des deu ites suivtes : e = X + e X X = e X cr X + X = + L défiitio du omre dérivée e doe : ep ep+h ep = h h eph ep = h h = h e h h Corollire :dmis Pour tout etier turel o-ul : + e = + ; e = Eemple : 5. Chgemet de vrile : Cosidéros l foctio f défiie pr : f = e Cette foctio est défiie sur R. u ores de so esemle de défiitio, o : f = ; f = + ; f = + + L ite e de l foctio f est ue forme idétermiée. O les trsformtios lgériques suivtes : f = e = e = e Effectuos le chgemet de vrile X = : Lorsque ted vers, l vrile X ted vers. e = X e X isi, o l ite : f = e = X X ex = Résoudre l iéqutio : e +6 e 8< O l trsformtio lgérique : e + 6 e 8 < e + 6 e 8 < Posos le chgemet de vrile X =e : X + 6 X 8 < Le polyôme du secod degré du memre de guche pour discrimit : = 4 c=6 4 8=6+64= O l simplifictio : = = Le discrimit étt strictemet positif, ce polyôme dmet les deu rces suivtes : X = X = X = X = X = 6 4 X = 4 X = 4 4 X = Le coefficiet du terme du secod degré étt positif, o le tleu de sige :

11 X 4 + X +6 X isi, l équtio soit vérifiée, il fut que : X ] 4 ; = e ] 4 ; = 4<e < Voici l coure représettive de l foctio epoetielle : y O e déduit l esemle des solutios : S = ] ; -4 y D. Logrithmes :. Itroductio et défiitio : Pour tout ] ; +, il eiste u et u uique réel y técédet du omre pr l foctio epoetielle. Soit u omre réel tel que ] ; + : L foctio ep est cotiue sur R. L foctio ep est strictemet croisste sur R. O : ep = ; ep = + + isi, le omre est compris etre les ites u ores de R pr l foctio ep. D près le corollire du théorème des vleurs itermédiires, il eiste u uique réel y tel que =epy. Pour tout ] ; +, otos l l uique técédet de pr l foctio epoetielle. isi, le omre l, ppelé logritmique épérie de est l uitque omre rélist : e l = Remrque : isi, de tout omre de R +, ous vos ssocier u omre de R. Cette correspodce s ppelle l foctio logrithme otée l. L propositio peut s éocer isi : R +! y R = e y Voici u eemple de costructio poit à poit de l coure logrithme : ;l ep ~j ~i l L foctio logrithme vérifie les propriétés suivtes : Pour tout R, e l = l = le = Pour tout >, l e = Pour tout R et > : e = = l Le omre l est, pr défiitio, l técédet de pr l foctio epoetielle. isi, l imge de l pr l foctio epoetielle est. Ce qui s écrit : e l = O e =. isi, l uique técédete de pr l foctio epoetielle est. Pr défiitio du logrithme épérie : l = De même : e = e = le = Le omre l e est l uique técédet pr l foctio epoetielle du omre e. Mis cet t{ecédet, c est : l e =. R et R + : e = l e = l = l. Propriétés lgériques : Soit et y deu omres réels strictemet positifs :. l y = l + l y. l = l. l = l ly y 4. Pour tout etier reltif, o : l = l 5. l = l Preuve. E utilist l défiitio de l foctio logrithme, o les deu églités suivtes : e l y = y ; e l +l y = e l e l y = y O viet de motrer que les deu omres l y et l + l y ot l même imge pr l foctio epoetielle. Or, l foctio epotielle est strictemet croisste sur R, pr le corollire du théorème des vleurs itermédires, l foctio epoetielle vérifie l reltio suivte : e = e = = O e déduit l églité : l y = l + l y. E utilist l reltio précédemmet démotrée et l reltio : = l = l l + l = l = l. Utilisos les deu derières propriétés vec l églité :

12 y = y l = l y y Utilisos les propriétés précédetes : l = l + l y y = l + l y = l l y 4. Motros que les omres l et l ot même imge pr l foctio epoetielle : e l = ; e l = e l = E utilist l propriété suivte de l foctio epoetielle : e = e = = Cr ils ot l même imge pr l foctio epoetielle, o e déduit que les deu omres l et l sot égu. 5. Puisque R +, utilisos l églité : = : = l = l l l = l l = l l = l. Propriétés lytiques : Propriété : L foctio logrithme épérie sur ] ; + : l = pour tout R + Soit f défiie sur R + pr : f = e l. Or, f =. L formule de dérivtio d ue composée doe : f = l = f = l e l = Corollire : O l ite : l = l + = l = L foctio logrithme épérie est croisste sur R + + l = + ; l = + O l = qui est positif sur R + : l foctio logrithme épérie est croisste. Soit M u réel positif. Puisque + e =+, il eiste R tel que pour tout > : >e M = l >le M = l >M. Pour tout réel M, il eiste u itervlle ; + tel que l foctio logrithme soit supérieur à M : + l = + Posos = X. O : + X +. l = l = l X = + + X + Croissce comprée O les deu ites : + l = ; l = Posos X =l. O : + X +. l + = l + e l = X X + e X = = X + Posos X =. O : + + l = l + + Corollire : Pour tout etier turel o-ul : + = X + l X X = l = + l = e X X Vritio de l Dérivées : dmise Si u est ue foctio dérivle et u> sur u itervlle I lors : L foctio l u ] est défiie et dérivle ; l u = u u f f D k R R R R + ep ep R l R + cos si R si cos R

13 f f D f u ] u u ] I u u u ] { I u } u u + u u u + { R u> } { R + I } ep u ] u ep u ] I l u ] u u I cos u ] u si u ] I si u ] u cos u ] I 5. Logrithme de se : Défiitio - Pour tout réel strictemet positif, il eiste ue et ue seule foctio f défiie sur R rélist les deu codiios : f = f ; f =. Cette foctio s ppelle foctio epoetielle de se et o l ote ep et l imge d u omre se ote : ep ou Remrque : L foctio epoetielle de se les même propriétés que l foctio epoetielle : lytique : strictemet positive, strictemet croisste, même ite... lgérique : +y = y,... O remrque que = e l. Cette idetité peut être utilisée pour défiir l epoetielle de se. Soit u omre réel strictemet positif. O ppelle foctio logrithme de se l foctio réciproque de l foctio epoetielle ep de se. O l ote log. Remrque : L foctio logrithme épérie est l foctio logrithmique de se e. Pr défiitio, o : log ep ] = ; ep log ] = L foctio logrithme de se les mêmes propriétés lytiques et lgériques que l foctio logrithme épérie. L foctio logrithme de se vérifie pour tout R + l reltio log = l l. Cette idetité peut être utilisée pour défiir le logrithme de se. l log ~j ~i e 6. Foctios epoetielles prticulières E. Itégrtios :. O cosidère le pl mui d u repère O ; I ; J orthogol. O ppelle uité d ire u:: l uité de mesure des ires formés pr le rectgle yt pour sommet O, I et J. Soit f ue foctio positive et défiie sur l itervlle ; ]. O défiit le domie D du pl déité pr : les deu droites verticles d équtios = et = ; l e des scisses et l coure C f. O ppelle itégrle de f etre et l mesure, eprimée e u:: de l ire du domie D. O ote cette ire : D = f d. Premières propriétés : j D C f j D D C f O i D = fd O i fd+ c c fd = c f d

14 C f symétrique pr rpport yy f périodique de période π D D j - O i - fd = C f fd j O i D D fd = +π C f +π +π c+π fd Remrque : Cosidéros deu foctios f et g défiies sur l itervlle ; ] et telles que, sur ; ] : f est croisste ; g est décroisste C f C g J J O I O I O les ecdremets : f g f d f g d g Pour tout ; ], o l ecdremet : Pr croissce de l foctio f : f f f f d f ] f f f f d f d f d f ] f d f f f d f. Vritios de l ire : Théorème :fodmetl Si f ] est ue foctio cotiue et positive ] sur l itervlle ;, l foctio F défiie sur ; pr : F : ft dt est dérivle sur ; ] et dmet pour dérivée l foctio f. Démostrtio : Dire que l foctio F est dérivle et dmet pour dérivée l foctio f sigifie que le omre dérivée de l foctio F e vut f. Nous devos doc étlir, pour tout ; ], l églité : F F +h F = = f h h O e motrer ps le théorème ds s géérlité qui ser dmis mis seulemet ds le cs prticulier où l foctio est églemet croisste. Pour étlir l vleur de l ite recherchée, ous llos étudier sépremmet l ite à droite et à guche. Etude du omre dérivée à droite : F +h F Motros que : = f h + h Pour étudier ce cs, o supppose que h>. Pr défiitio de l foctio F, o : F = ft dt ; F +h = +h ft dt Pr défiitio de l itégrle d ue foctio positive, les deu imges, F et F +h, sot représetées pr les prties hchurées de l figure de guche : +h ft dt ft dt F +h F F C D E +h isi, l ire grisée de l figure de droite, otée, est oteue pr décompositio des surfces : F + = F +h = F +h F Prmi les poits de l figure de droite, o les coordoées suivtes : C ; f ; D +h ; f +h O les ires suivtes des rectgles EC et DF : EC = h f ; DF = h f +h L compriso des ires permet d oteir l ecdremet : h f h f +h h f F +h F h f +h h est u omre réel positif : f F +h F f +h h L cotiuité de l foctio f sur ; ] et e prticulier e permet d oteir l ite suivte : f +h = f h + D près l ecdremet précédet et le théorème des gedrmes, o otiet l vleur de l ite suivte : F +h F = f h + h Etude du omre dérivée à guche : F +h F Motros que = f h h Pour étudier ce cs, o supppose que h<. Pr défiitio de l foctio F, o : F = ft dt ; F +h = +h ft dt Pr défiitio de l itégrle d ue foctio positive, les deu imges, F et F +h, sot représetées pr les ires hchurées de l figure de guche : +h ft dt ft dt F F +h E C D F +h isi, l ire grisée de l figure de droite étt otée, o otiet pr décompositio des surfces, l églité suivte : F +h + = F = F F +h Prmi les poits de l figure de droite, o les coordoées suivtes : C ; f ; D +h ; f +h O les ires suivtes des rectgles EC et DF :

15 EC = h f ; DF = h f +h Ne ps oulier qu ue ire est positive et que le omre réel h est égtif. L compriso des ires permet d oteir l ecdremet : h f +h h f h f +h F F +h h f h est u omre réel positif : f +h F F +h h f f +h F +h F f h L cotiuité de l foctio f sur ; ] et e prticulier e permet d oteir l ite suivte : f +h = f h D près l ecdremet précédet et le théorème des gedrmes, o otiet l vleur de l ite suivte : F +h F = f h h Coclusio : O viet de motrer l églité des deu ites à guche et à droite : F +h F F +h F = h h h + h F +h F Ce qui motre l eistece de l ite h h et cette ite pour vleur : F +h F = f h h Pr défiitio du omre dérivée d ue foctio, o : F = f 4. Primitive : Soit f ue foctio défiie sur ue itervlle ; ]. O ppelle primitive de f toutes foctios qui dmettet pour dérivée l foctio f. Remrque : Si ue foctio dmet ue primitive lors elle dmet ue ifiité de primitives Théorème :dmis Toute foctio cotiue dmet des primitives f F + k k Pour >; l + k + k + k e si cos e + k cos + k si + k f F u u ] + u ] + + k u ] où u u u + k u e u e u + k u u où { u > u> l u ] + k u si u ] u cos u ] cos u ] + k si u ] + k Théorème : Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle ; ]. Notos F ue des primitives de f. Pour tout k R, l foctio F +k est u primitive de f. Soit G ue primitive de l foctio f, lors il eiste u réel k tel que : G=F +k Pour réel et, il eiste ue uique primitive G de f telle que : G = 5. Mesure d ires : Soit f ue foctio cotiue et positive. Notos F ue de ses primitives. O : D = f d = F F C f ~j ~i D f d = D Cosidéros l foctio G défiie : G = ft dt E prticulier, o : D = G L foctio G est ue primitive de f. isi, il eiste u réel k tel que : G = F + k pour tout R Or, o : F F = G k ] G k ] = G G = G = Remrque : ft dt

16 Ds le cs d ue foctio égtive sur so esemle de défiitio, o utilise l foctio opposée : ~j ~i D D C f Voici deu pplictios : D = f d ~j ~i D D + D = fd+ ~j ~i c C f D fd D c C f Remrque : Le clcul de l itégrle d ue foctio positive et cotiue doe l mesure de s surfce e uité d ire u... ttetio, de predre e compte l échelle d ue représettio le cs échét. 6. Itégrle d ue foctio cotiue :. Soit et deu réels pprtet à l itervlle I et f ue foctio cotiue défiie l itervlle I, o défiit l itégrle de l foctio f de à otée f d = F F où F désige ue primive de l foctio f f d pr : Remrque : ucue compriso est doée sur les ores et. Il est désormis possile de prler de l itégrle : d Cette défiitio e déped ps de l primitive choisie. E effet, choisissos ue utre primitive G de l foctio f. O sit qu il eiste u réel k tel que : G = F + k O motre lors que : G G = F F De plus, cette défiitio eglole l défiitio doée ds le cs d ue foctio cotiue et positive grâce à l propriété du prgrphe E... Reltio de Chsles : Reltio de Chsles Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle I et, et c trois omres réels pprtet à I. O l églité : f d + c f d = c f d Démostrtio : L foctio f est ue foctio cotiue, elle dmet doc ue primitive qu o oter F. Pr défiitio de l itégrle, o les églités suivtes : f d + c f d = F F ] + F c F ] = F c + F F ] F = F c F = c f d Corollire : Soit f ue foctio cotiue sur ; ], o l églité : f d = f d D près l reltio de Chsles, o l églité : f d + f d + f d + O e déduit l églité : f = f d f = F F f = f d = f d. Liérité : Propriété : Soit f et g deu foctios cotiues sur u itervlle ; ] et u omre réel quelcoque. O les deu idetités suivtes : f d + g d = f+g d f d = f d Ces deu propriétés s ppellet propriétés de liérité de l itégrle. Les foctios f et g étt cotiues, elles dmettet deu primitives otées respectivemet F et G. Etlissos l églité : f d + f d + g d = g d = F F ] + G G ] = F + G F G = F +G F +G f+g d = F +G ] L formule de dérivtio de l dditio permet d écrire : F +G = F + G Pr défiitio des primitives F et G : O e déduit : = f + g f + g d = F + G ] Etlissos l églité : f d = f d = f ] = f f ] f d = f f étt u coefficiet costt, o e déduit l dérivtio suivte : F = F = f O e déduit que l foctio F est l primitive de l foctio f. f d = f ] = f f

17 4. Positivité : Soit f ue foctio cotiue sur l itervlle ; ]. Si f est positive sur I, lors Si f est égtive sur I, lors f d f d Démostrtio : L foctio f étt cotiue, elle dmet ue primitive qu o oter F. L démostrtio de cette propriété se se sur le ses de vritio de l foctio F puisqu o coit le sige de f qui est s dérivée : Supposos que f est positive, lors l foctio F est croisste. O l compriso suivte : Puisque l foctio F est croisste : F F F F f d Supposos que f est égtive, lors l foctio F est décroisste. O l compriso suivte : Puisque l foctio F est décroisste : F F F F f d Corollire : Soit f et g deu foctios cotiues sur ; ] tels que : f g pour tout ; ] lors, o l compriso : f d g d Puisque que pour tout ; ], o l compriso : f g O e déduit les iéglités suivtes : f g L foctio f g est égtive, d près l propositio précédete, o : f g d Pr utilistio de l liérité de l itégrle, o otiet : f d g d f d g d 5. Vleur moyee d ue foctio : Soit f ue cotiue sur l itervlle ; ]. o défiit l moyee de l foctio f sur ; ] comme le omre réel défiit pr : f d Remrque : Ds le cs d ue foctio cotiue et positive, l moyee d ue foctio rélise l solutio u prolème suivt : Quelle foctio costte sur ; ] défiie l même ire ds le domie déité pr les droites =, = et l e des scisses que l foctio f? fd 6. Surfce etre coures : Soit f et g deu foctios défiies sur l itervlle ; ] et telles que l coure C f est située u dessus de l coure C g : C f J C g O I Cosidéros le domie D déité pr : les droites d équtios : = ; =. les deu coures C f et C g. L ire du domie D se détermie pr : = f g d F. Foctios trigoométriques :. Rppels : Ds le trigle rectgle, o les vleurs π 5π 6 π 4 π π π 4 π 6 π 5π 6 π 6 π 4 π π π 4 π

18 α cos α si α t α ı 6 ı 4 ı ı. Coures représettives : L foctio cosius J π π π π O π π π π - L foctio sius J π π π π O π π π π - L foctio tgete J π π π π O - π π π π - -. Rppels : Formule des gles ssociés cos = cos si = si cosı+ = cos siı+ = si cosı = cos siı = si ı cos + = si ı si + = cos ı cos = si ı si = cos Idetité remrqule cos + si = Formule d dditio et de différece cos+ = cos cos si si cos = cos cos + si si si+ = si cos + cos si si = si cos cos si Formule de duplictio cos = cos si cos = cos cos = si si = si cos 4. Etude de foctios :. L foctio cosius : Périodique de période ı J π π π π O π π π π - ı ı Vritio de cos - f- f ı - π π ı - L foctio cosius est pire : f- = f. L foctio sius : Périodique de période ı J π π π π O π π π π - π π ı Vritio de si -

19 f ı - π π ı - f- L foctio sius est impire : f- = -f G. Limites de suites :. Suite rithmétique : Ue suite est rithmétique si pour psser d u terme à so successeur, o dditioe toujours le même omre +r u + = u +r +r +r +r u u +r + r u + r u +4 r u 4 u = u + r Propriété crctériste Ue suite est rithmétique si, et seulemet si, l différece de terme cosécutif est costt. L différece u + u est lors l riso r. Ue suite est rithmétique si, et seulemet si, elle dmet ue forme eplicite de l forme u =+. lors est so premier terme et est s riso. Eercices : 65, 5, 65. Suite géométrique : Ue suite est géométrique si pour psser d u terme à so successeur, o multiplie toujours pr le même omre q v + = v q q q q v v q v v q q q 4 v 4 v = v q Propriété crctériste Ue suite est géométrique si, et seulemet si, le quotiet de deu termes cosécutifs est costt. Le quotiet u + = u est lors l riso q Ue suite est géométrique si, et seulemet si, elle dmet ue forme eplicite de l forme u =. lors est so premier terme et est s riso. Eercices : 654, 5, 5, 4. Sommes des termes : Somme des termes d ue suite rithmétique Soit u ue suite rithmétique de premier terme u et de riso r. Pour tout etier turel, o : + u + u u + u + + u = Eemple : Cosidéros l somme : S = O peut cojecturer que les termes de l somme sot les termes de l suite u rithmétique de premier terme et de riso. L somme s écrit lors : S = u + u + u + + u Pour détermier le rg du derier terme, cosidéros l équtio : u = 5 + = 5 O e déduit : S = u + u + + u 7 Cette somme comporte 8 terme et s somme s eprime pr : S = = 495 Somme des termes d ue suite géométrique Soit v ue suite géométrique de premier terme v et de riso q tel que q. Pour tout etier turel, o : v + v + + v = v q+ q Eemple : Cosidéros l somme : S = O peut cojecturer que les termes de cette somme sot les termes de l suite v géométrique de premier terme et de riso. L somme s écrit lors : S = v + v + + v Pour détermier le rg du derier terme, cosidéros l équtio : u = 768 q = 56 = 8 O e déduit : S = v + v + + v 8 Cette somme comporte 9 termes et s vleur s eprime pr : S = v q9 q = 9 Remrque : Voici les formules géérles où p et sot deu etiers vérifit p< : u suite rithmétique : p + up + u u p +u p+ + +u +u = v suite géométrique vec q : u p + u p+ + + u + u = u p q p+ q Démostrtio :Somme des termes d ue suite rithmétique Pour tout etier turel, le terme de rg k dmet pour epressio : u l = u + r isi, pour tout etier turel k, o : u k + u k = u + k r + u + k r ] = u + k r + u + k r = u + u + r = u + u Notos, S l somme des premiers termes de l suite u : S = u + u + u + + u + u + u Cette somme peut ussi s écrire : S = u + u + u + + u + u + u L dditio termes à termes des deu epressios de S permet d oteir l églité :

20 S = u + u + u + u + u + u + + u + u + u + u + u + u D près l remrque précédete : S = u + u + u + u + u + u + + u + u + u + u + u + u Cette somme compred termes : S = + u + u + u + u S = Démostrtio :Somme des termes d ue suite géométrique Notos S l somme des + premiers termes de l suite v. O : S = v + v + v + + v + v + v q S = q v +v +v + +v +v +v q S = v + v + v + + v + v + v ] q v + v + v + + v + v + v ] q S = v + v + v + + v + v + v ] q v +q v +q v + +q v +q v +q v ] q S = v + v + v + + v + v + v v v v + v v v + q S = v v + q S = v v q + q S = v q + S = v q+ q 4. Représettio des suites : Suite défiie eplicitemet : u =f u 5 u 4 u u u C f u J - O I 4 5 Suite récurrete : v + =gv v 4 C g C g v v ; v v v v ; v v ; v J J O I v v v v O I v v v v 5. Covergece :. Ci-dessous sot doées deu représettios d ue suite u coverget vers l vleur. u +" " O remrque que tous les termes de l suite ot ue vleur comprise ds l itervlle ] " ; +" lorsqu o dépsse le terme. O e déduit l reltio : = u ] " ; +" E pret u itervlle ouvert plus petit ] " ; +" mis toujours cetré sur, il fut dépsser le rg 7 pour voir tous les termes de cette suite compries ds cet itervlle u +" " O l reltio : 7 = u ] " ; +" covergece fiie Ue suite u ted vers qud ted vers + si pour tout itervlle ouvert cotet cotiet toutes les vleurs de u à prtir d u certi rg. O ote : u = + Remrque : Cette défiitio est difficilemet eploitle e clsse de termile. O l utilise essetiellemet ds le risoemet pr l surde préset e fi de prgrphe. Voici l défiitio d ue suite u covergete vers : "> N N N = u <" Ue suite qui est ps covergete vers ue ite R est dite divergete Divergece - ite ifiie Ue suite u ted vers + resp. qud ted vers + si pour tout itervlle de l forme ] M ; + resp. ] ; m cotiet toutes les vleurs de u à prtir d u certi rg. O ote : u =+ resp. u =

21 u u M M 7 7 Remrque : Ue suite qui est divergete dmet ps écessire ue ite ifiie. Voici deu eemples : u défiie pr : u = cos v défiie pr : v = ; v + = v Voici l défiitio d ue suite u dmettt + pour ite : M R N N N = u M. rithmétique et géométrique : Soit u est ue suite rithmétique. Si r < lors u =. + Si r = lors u = u. + Si r> lors u = +. + dmise - démotrée plus trd Soit u ue suite géométrique : Si q < lors u = + Si q = lors u =u + Si q > et : si u > lors u =+ + si u < lors u = + Si q < : et si <q lors l suite u est lterée et u = + et si q lors l suite u est lterée et divergete. Suite rithmético-géométrique : Eercice Soit u défiie pr : u =5 ; u + = u +4 pour tout N Soit v défiie pr : v =u 6 pour tout N. Motrer que l suite v est ue suite géométrique dot o préciser le premier terme et s riso.. E déduire l epressio de u e foctio de.. E déduire l ite de l suite u. Correctio. v + = u 6 = u = u = u 6 = u 6 = v L suite v est géométrique de riso.. v =5 6= = v = v =u 6 = =u 6 +6 = u =. < = = + O e déduit : u = + 6 = + 6 = Utilistio clcultrice : Clcultrice Csio Choisissez le mode RECUR Fig.. Vous vez l possiilité de défiir suites Fig.. Le outo TYPE Fig. permet de défiir ue suite suivt les trois modèles suivts : Suite défiie eplicitemet : u =f Suite récurrete d ordre : u + =fu Suite récurrete d ordre : u + =fu ; u + Le outo SET permet de défiir les rgs des termes ffichés Strt et Ed et les vleurs iitilist les suites. Le outo TL permet d fficher les termes de l suite. Fig. Fig. Fig. Fig. 4 Fig. 5 Clcultrice Tes Istrumet Cliquez le outo MODE Fig. et choisissez le mode Seq séquetiel ou suite. Le outo Y= Fig. permet de sisir l défiitio de l suite u= et s vleur iitile umi=. Le outo TLE permet d fficher les vleurs des termes de l suite Fig.. Ds le cs d ue suite défiie pr récurrece et d ordre, il fut défiir deu vleurs iitiles à l ide d ccolde Fig. 4. Fig. Fig.

22 5. Uicité de l ite : Fig. Fig. 4 o-eigile Soit u omre réel. O cosidère ue suite u qui coverge vers lors le réel vers lequel coverge l suite u est uique. Nous llos effectuer u risoemet pr l surde et supposer que l suite u coverge vers u réel et coverge églemet vers u réel tels que L défiitio de l covergece d ue suite vers u réel permet d oteir les deu propriétés suivtes de l suite u : L suite u coverget vers le réel lors pour tout itervlle ouvert I cotet, il eiste u rg N à prtir duquel tous les termes de l suite u pprtiet à l itervlle I. L suite u coverget vers le réel lors pour tout itervlle ouvert I cotet, il eiste u rg N à prtir duquel tous les termes de l suite u pprtiet à l itervlle I. Les deu réels et, otos " l distce etre ces deu omres : " = Cosidéros ] les deu itervlles suivts : I = " ; + " ] ; I = " ; + " Ces deu itervlles étt ouverts et cotet respectivemet et, d près les propriétés de covergece de l suite u : il eiste N N tel que : N = u I il eiste N N tel que : N = u I isi, e choisisst u etier turel à l fois supérieur à N et N, le terme u de rg vérifier : u I ; u I Ce qui est surde puisque les deu itervlles I et I sot disjoits comme le motre le schém ci-dessous : ε l l ε/ H. Risoemet pr récurrece :. Itroductio :. logie : L effet domio : Si l suite de domios sot correctemet plcés, fire tomer le premier, fer tomer tous les domios. Il fut être sûr que les domios sot ie plcés fi que si u domio tome lors le suivt tomer Le virus : U virus très puisst été créé ds u lortoire. S il est diffusé, il se propger d u idividu à u utre et ceci idéfiimet. Mis, pour que toute l terre soit cotmiée, il fut d ord qu il cotmie ue première persoe.. Propriétés ideées pr : O s itéresse à des suites de propriétés ideées pr : Pour tout etier turel, o défiit l propriété P pr : + P : = Pour tout etier, o costruit ue pyrmide de huteur : O cosidère l propriété Q défiie pour tout etier turel o-ul : Q : u chteu à étges à + crtes Soit u l suite défiie sur N pr : u = ; u + = u + O cosidère l propriété R défiie pour tout etier turel pr : R : u > Remrque : Toutes les propriétés ci-dessous sot vries pour toutes les vleurs de ssociées. Nous motreros qu elles sot défiies pour toutes vleurs de où elles sot défiies à l ide d u risoemet pr récurrece.. Ue reltio à u rg doé : L propriété P s écrit : P : = + P : + = + P : + + = + P : = + P + : = ] qui s eprime églemet pr : = L propriété Q + s eprime pr : u chteu à + étges à + ++ crtes qui s eprime ussi : u chteu à + étges à +7+4 crtes 4. Propriété héréditire : Ue propriété est héréditire si lorsqu ue propriété est vrie

23 pour u rg doée etrie que l propriété u rg suivt reste vrie : Motros que l propriété P est héréditire sur P 4 : = = = = Ce risoemet permet de motrer que l propriété P se trsmet à P 4 : P = P 4 Motros que l propriété P est héréditire sur P + : = = = = + + O remrque le développemet : ++= = + + O viet de motrer que P = P +. Récurrece :. Défiitio et eemples : Pricipe de récurrece Soit P ue propriété défiie sur N. Si : Iitilistio : l propriété P est vrie. Hérédité : si pour tout etier turel quelcoque, o l reltio : P vrie = P + est vrie lors l propriété P est vrie pour tout etier turel Eemple : Cosidéros l suite u défiie sur N pr les reltios : u = 7 ; u + = 4 u + Cosidéros l propriété P défiie sur N pr : P : u Motros à l ide d u risoemet pr récurrece que l propriété P est vrie pour tout etier turel : Iitilistio : O : u = 7 isi, l propriété P est vrie. Hérédité : Supposos que l propriété P est vrie pour u etier turel quelcoque. C est à dire qu o u isi, o l compriso : u 4 u 4 4 u 4 u + + u + 4 u + O viet d étlir que l propriété P + est églemet vrie. Coclusio : L propriété P est iitilisée u rg et elle vérifie l propriété d hérédité. l ide d u risoemet pr récurrece, o viet d étlir que l propriété P est vrie pour tout etier turel. Eemple O cosidère l suite u d etiers turels défiie pr : { u = 4 u + = 5u 6 pour tout N Cosidéros l propriété P défiie pour tout etier turel pr l reltio : P : u = Motros, à l ide d u risoemet pr récurrece, que cette propriété est vrie pour tout etier turel. Iitilistio : O : u = 8 ; = 5 + = 8 O viet d étlir l églité : u = L reltio P est étlie. Hérédité : Supposos que, pour u etier turel quelcoque, l propriété P est vérifiée. C est à dire qu o l reltio : u = D près l défiitio de l suite u, le terme de rg + dmet pour epressio : u + = 5 u 6 O e déduit l églité : u + = 5 u 6 = 5 u E utilist l propriété P, o : u + = = u + = isi, l propriété P + est vrie. Coclusio : L propriété P est iitilisée u rg et elle vérifie l propriété d hérédité. l ide d u risoemet pr récurrece, o viet de motrer que pour tout etier turel, l propriété P est vrie. Eemple : O cosidère l suite u défiie sur N pr : u = 5 ; u + = u Pour motrer que l suite u est strictemetdécroisste, o cosidère l propriété P défiie sur tout etier turel pr : u + < u Motros, à l ide d u risoemet pr récurrece, que l propriété P est vrie pour tout etier turel : Iitilistio : O : u = 5 ; u = u = 5 ; isi, o : u < u O viet d étlir que l propriété P est vrie. Hérédité : Supposos l propriété P vrie pour u etier turel quelcoque. C est-à-dire qu o l hypothèse de récurrece : u + < u Prtos de l compriso : u + < u L foctio rcie crrée est strictemet croisste : u+ < u u + < u +

24 O viet de motrer que l propriété P + est vrie. Coclusio : L propriété P est iitilisée u rg et elle vérifie l propriété d hérédité. l ide d u risoemet pr récurrece, o viet d étlir que l propriété P est vrie pour tout etier turel.. Récurrece d ordre : Soit P ue propriété défiie sur N telle que : P et P sot vries et que, pour tout etier turel N l rélistio de P et P etrie l propriété P + est vrie lors l propriété P est vrie pour tout etier turel. Eemple : Eocé : O cosidère l suite u défiie pour tout etier turel pr : u = ; u = ; u + = 4 u 4 u N Motrer, à l ide d u risoemet pr récurrece, que les termes de l suite u dmettet pour epressio : u = Correctio : Cosidéros l propriété P défiie pour tout etier turel pr l reltio : P : u = Motros, à l ide d u risoemet pr récurrece, que l propriété P est réslisée pour tout etier turel. Iitilistio { : { u = u = O : ; = = O viet d étlir que les propriétés P et P sot vries. Hérédité : Supposos que l propriété P été vérifiée jusqu u rg etier turel quelcoque. C est à dire, otmmet qu o peut utiliser les propriété P et P comme hypothèse de récurrece : u = ; u = Pr défiitio de l suite u, le terme de rg + s eprime pr : u + = 4 u 4 u = 4 4 ] = = + + = ] + = + + O viet d étlir l propriété P +. Coclusio L propriété P est iitilisée u rg et et elle vérifie l propriété d hérédité. l ide d u risoemet pr récurrece, o viet d étlir que l propriété P est rélisée pour tout etier turel. I. Suites, vritios et ites :. Rppels : Soit u ue suite umérique défiie sur N. u est dite croisste si, pour tout etier turel, o u : u + u est dite décroisste si, pour tout etier turel, o : u + u u est dite costte si, pour tout etier turel, o : u + =u suite défiie eplicitemet Soit f ue suite défiie et mootoe sur R +. O défiit l suite u pr l formule eplicite : u =f. L suite u et l foctio f ot le même ses de mootoie. Pour tout etier turel, o : + L foctio f est croisste sur R + : f+ f u + u O e déduit que l suite u est ue suite croisste. Eemple : Motros que l suite u dot le terme de rg est défiie pr : u = + 4 L foctio f défiie sur R pr f= + 4 dmet le tleu de vritio suivt : - + Vritio de f + + L foctio f est croisste sur R + : o e déduit que l suite u est croisste sur N. Suite défiie pr récurrece Soit u ue suite défiie sur N. L suite u est croisste resp. décroisste, costte si, et seulemet si, pour tout etier turel, o : u + u resp. u + u, u + u = Etlisst cette propriété seulemet pour le cs de l croissce. Pr défiitio, ue suite est croisste si, et seulemet si, cette suite vérifie l reltio suivte pour tout etier turel : u + u Cette propositio s étlie simplemet pr l équivlece des deu iéglités ci-dessous : u + u u + u Eemple : O cosidère l suite v défiie pr l reltio : N v = 4 + Etudios l différece v + v : v + v = ] 4 + = 5 Le polyôme P = 5 dmet pour tleu de sige : O e déduit que l suite v est croisste à prtir du rg. Soit u ue suite défiie et strictemet positive sur N ie. pour tout N, u >. L suite u est croisste resp. décroisste, costte si, et seulemet si, pour tout etier turel, o : u + resp. u +, u + = u u u

25 O les équivleces suivtes : u est croisste u+ u Les termes de l suite u sot positifs : u + u u u + u u Eemple : Cosidéros l suite v défiie pr v N = Pour tout N, o : v = + > Le quotiet u + pour epressio : u v = = v + = + + Etudios qud ce quotiet est iférieur à : + = + = < pour isi, l suite v est décroisste pour.. Théorème de covergece des suites m Soit u ue suite défiie sur N : L suite u est dite mjorée, s il eiste u réel M tel que pour tout etier turel, o u M. L suite u est dite miorée, s il eiste u réel m tel que pour tout etier turel, o u m. L suite u est dite orée, si l suite u est miorée et mjorée. Si l suite u est croisste et covergete vers le réel lors l suite u est mjorée pr. Si l suite u est décroisste et covergete vers le réel lors l suite u est miorée pr. Soit u ue suite croisste et covergete vers. C est à dire qu o : N; u u + ; u = + Effectuos u risoemet pr l surde, supposos que l suite u est ps mjorée pr. isi, il eiste u mois u etier N tel que : u N > L suite étt croisste, pour tout etier tel que N, o : u u N isi, à prtir du rg N, tous les termes de l suite pprtieet à l prtie. de l droite grduée cidessous. Notos " l vleur "=u N. L itervlle ] " ; " est ouvert et cetrée sur l ite. Pr défiitio de l ite, il eiste u rg N tel que tous les termes de l suite soiet compris ds cet itervlle. isi, à prtir du rg N, tous les termes de l suite pprtieet à l prtie. de l droite grduée cidessous. u.. " Cosidéros l etier m défiie pr : m = m N ; N Le terme u m pprtiet à l prtie. et l prtie. ce qui est surde. Théorème :dmis Si ue suite est croisste et mjorée, lors elle est covergete. Si ue suite est décroisste et miorée lors elle est covergete Eemple : Cosidéros l suite u défiie pr : u = 5 ; u + = u + 4 pour tout N l ide de deu risoemets pr récurrece, o motre : u 6 pour tout N ; u u + pour tout N L suite u est mjorée pr 6 et croisste. D près le théorème de covergece des suites mootoes, o déduit que l suite u est covergete. Théorème : Si l suite u est croisste et o mjorée lors l suite u est divergete et ted vers +. Si l suite u est décroisste et o miorée lors l suite u est divergete et ted vers. Cosidéros ue suite u ue suite croisste et omjorée. Motros que l suite u est ps covergete pr u risoemet pr l surde. Supposos que l suite u coverge vers le réel. E cosidért l itervlle ] ; + ouverte et cetrée sur, l défiitio de l covergece d ue suite permet d ffirmer qu il eiste u rg à prtir duquel tous les termes de l suite sot ds cet itervlle : N; N = u ] ; + Or, l suite étt o-mjoré, il eiste u rg N tel que tous les termes de l suite u soit supérieur à + : Cosidéros le rg m défiie pr m=m N ; N. Le terme u m pprtiet u prties. et. ce qui est impossile. Remrque : Si q < lors + q =.. Iéglité de eroulli : Lemme :Ieglite de eroulli Soit u omre réel tel que >. Pour tout etier turel, o : + + Notos P l propriété défiie pour tout N : P : + + Iitilistio : + = ; + = P est vrie. Hérédité : Supposos P rélisée pour u etier turel quelcoque : cr +> cr > O viet d étlir P + est vrie. Coclusio : L propriété P est iitilisée u rg et elle vérifie l propriété d hérédité. l ide d u risoemet pr récurrece, o viet d étlir que l propriété P est vrie pour tout N. Soit q u réel strictemet supérieur à. O :