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1 Composition n 1 de Mathématiques NOM : Prénom : Seconde... 3 novembre 2011 Note : /20 Signature : Observations : La calculatrice est autorisée. Il sera tenu compte de la rigueur et du soin apporté au devoir. Vous devez composer sur le sujet. /2 Exercice 1 : g est une fonction définie sur l intervalle [- 8 ; 4]. Elle est strictement croissante sur les intervalles [0 ; 1] et [2 ; 4]. Elle est strictement décroissante sur les intervalles [- 8 ; 0] et [1 ; 2]. De plus : g (4) = 3 ; l image de 8 est 3 ; g (0) = - 1 ; les antécédents de 0 par g sont 1 ; 0,5 ; 2 ; la fonction g atteint son maximum pour x = 1. Ce maximum est Dresser le tableau de variation de la fonction g. 2. Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction g. y O x Composition n 1 de Mathématiques Seconde 3 novembre 2011 Page 1

2 /3 Exercice 2 : f est la fonction définie sur [0 ; + [ par : f (x) = x²- 3. On se propose d étudier les variations de f. u et v désignent deux réels de [0 ; + [ tels que u v. 1. Exprimer f (v) f (u). Donner l expression sous forme factorisée. 2. a. Etudier le signe de f (v) f (u). b. En déduire le sens de variation de f sur [0 ; + [. /8 Exercice 3 : Soit ABCD un rectangle tel que AB = 12 et BC = 8. Les points I, J, K et L sont placés respectivement sur les segments [AB], [BC], [CD] et [AD] de telle sorte que : AI = BJ = CK = DL = x. Nous admettons que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. On note f la fonction qui à x associe l aire du parallélogramme IJKL. 1. a. Quel est l ensemble de définition de la fonction f. Composition n 1 de Mathématiques Seconde 3 novembre 2011 Page 2

3 b. Montrer que f (x) = 2x²- 20x Dresser un tableau de valeurs de la fonction f sur son ensemble de définition avec un pas de 1. x f (x) 3. Sur le papier millimétré, représenter graphiquement la fonction f sur son ensemble de définition dans un repère (unités : 1 cm en abscisse et 0,1cm en ordonnée). y 10 O 1 4. Conjecturer graphiquement l existence d un minimum pour la fonction f et la valeur de x pour laquelle il est atteint. x Composition n 1 de Mathématiques Seconde 3 novembre 2011 Page 3

4 5. a. Calculer f (5). b. Vérifier que pour tout x appartenant au domaine de définition de f : f (x) f (5) = 2(x 5)². c. En déduire que f (5) est le minimum de f sur son ensemble de définition. d. Préciser alors la valeur minimale de l aire du parallélogramme IJKL ainsi que la valeur de x pour laquelle elle est atteinte. /1 Exercice 4 : Soit ABCF et FCDE deux parallélogrammes. Compléter les égalités suivantes à l aide des points de la figure. a. AB - FD = C. ; b. BF + AC = A. ; c. DC + JI + CE =.A ; d. IF + JE + IC =.J. Composition n 1 de Mathématiques Seconde 3 novembre 2011 Page 4

5 /5 Exercice 5 : Soit ABC un triangle quelconque. 1. Placer les points M et N tels que : AM = 1 3 AB + AC et AN = 2AB 2 3 AC. 2. a. Ecrire le vecteur MN en fonction AB et AC. b. Ecrire le vecteur BC en fonction des vecteurs AB et AC. c. Montrer que les vecteurs MN et BC sont colinéaires. d. Que peut-on en déduire. Composition n 1 de Mathématiques Seconde 3 novembre 2011 Page 5

6 /1 Exercice 6 : Les points A, B, C et D étant quelconques, démontrer l égalité suivante : 3DA - DB 2DC 3BA + 2 BC = 0. Composition n 1 de Mathématiques Seconde 3 novembre 2011 Page 6

7 Exercice 1 : (2 points) CORRECTION g est une fonction définie sur l intervalle [- 8 ; 4]. Elle est strictement croissante sur les intervalles [0 ; 1] et [2 ; 4]. Elle est strictement décroissante sur les intervalles [- 8 ; 0] et [1 ; 2]. De plus : g (4) = 3 ; l image de 8 est 3 ; g (0) = - 1 ; les antécédents de 0 par g sont 1 ; 0,5 ; 2 ; la fonction g atteint son maximum pour x = 1. Ce maximum est Dresser le tableau de variation de la fonction g. x f' f(x) Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction g. Composition n 1 de Mathématiques Seconde 3 novembre 2011 Page 7

8 CORRECTION Exercice 2 : (3 points) f est la fonction définie sur [0 ; + [ par : f (x) = x²- 3. On se propose d étudier les variations de f. u et v désignent deux réels de [0 ; + [ tels que u v. 1. Exprimer f (v) f (u). Donner l expression sous forme factorisée. f(v) f(u) = (v² - 3) (u² - 3) = v² - u² = (v + u)(v u) 2. a. Étudier le signe de f (v) f (u). Comme u v alors v u 0 Comme u et v sont positifs alors u + v 0. On en déduit que (v + u)(v u) 0 Soit f(v) f(u) 0 b. En déduire le sens de variation de f sur [0 ; + [. On a donc u v et f(u) f(v). La fonction f conserve l ordre sur l intervalle [0 ; + [. Donc f est croissante sur [0 ;+ [. Exercice 3 : (8 points) Soit ABCD un rectangle tel que AB = 12 et BC = 8. Les points I, J, K et L sont placés respectivement sur les segments [AB], [BC], [CD] et [AD] de telle sorte que : AI = BJ = CK = DL = x. Nous admettons que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. On note f la fonction qui à x associe l aire du parallélogramme IJKL. 1. a. Quel est l ensemble de définition de la fonction f. Composition n 1 de Mathématiques Seconde 3 novembre 2011 Page 8

9 CORRECTION 0 BJ BC donc 0 x 8 Donc l ensemble de définition de f est l intervalle [0 ;8]. b. Montrer que f (x) = 2x²- 20x A IJKL = A ABCD A AIL A BIJ A DLK A CJK = A ABCD - 2 A AIL - 2 A BIJ. A IJKL = AB BC - 2 AI AL - 2 BI BJ 2 2 Donc f(x) = x (12 x) - x (8 x) Donc f(x) = 96 12x + x² - 8x + x² Soit f(x) = 2x² - 20x Dresser un tableau de valeurs de la fonction f sur son ensemble de définition avec un pas de 1. x f (x) Sur le papier millimétré, représenter graphiquement la fonction f sur son ensemble de définition dans un repère (unités : 1 cm en abscisse et 0,1cm en ordonnée). 4. Conjecturer graphiquement l existence d un minimum pour la fonction f et la valeur de x pour laquelle il est atteint. Il semble que la fonction f admette un minimum de valeur environ égale à 45 et atteint en x = 5. Composition n 1 de Mathématiques Seconde 3 novembre 2011 Page 9

10 5. a. Calculer f (5). CORRECTION f(5) = 2 5² = = = 46 b. Vérifier que pour tout x appartenant au domaine de définition de f : f (x) f (5) = 2(x 5)². f(x) f(5) = 2x² - 20x = 2x² - 20x + 50 = 2(x² - 10x + 25) = 2(x 5)² c. En déduire que f (5) est le minimum de f sur son ensemble de définition. Pour tout x compris entre 0 et 8, 2(x 5)² 0 (car un carré est toujours positif ou nul). Donc f(x) f(5) 0 Soit f(x) f(5) De plus pour x = 5, f(x) = f(5) = 46. On en déduit que f(5) est le minimum de f sur [0 ;8] (et ce minimum est atteint pour x = 5.) d. Préciser alors la valeur minimale de l aire du parallélogramme IJKL ainsi que la valeur de x pour laquelle elle est atteinte. L aire minimale du parallélogramme est 46 et elle est atteinte pour x = 5. Exercice 4 : (1 point) Soit ABCF et FCDE deux parallélogrammes. Compléter les égalités suivantes à l aide des points de la figure. a. AB - FD = CB ; b. BF + AC = AE ; c. DC + JI + CE = CA ; d. IF + JE + IC = BJ. Composition n 1 de Mathématiques Seconde 3 novembre 2011 Page 10

11 Exercice 5 : CORRECTION 1. Placer les points M et N tels que : AM = 1 AB + AC 3 et AN = 2AB 2 3 AC. 2. a. Ecrire le vecteur MN en fonction AB et AC. En utilisant la relation de Chasles, on a : MN = MA + AN = - AM + AN = - 1 AB - AC + 2AB 2 AC = AB AC MN = 5 AB 5 AC 3 3 b. Ecrire le vecteur BC en fonction des vecteurs AB et AC. BC = BA + AC = - AB + AC c. Montrer que les vecteurs On a MN = - 5 BC 3 MN et BC sont colinéaires. Donc les vecteurs BC et MN sont colinéaires. d. Que peut-on en déduire. On peut en déduire que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Composition n 1 de Mathématiques Seconde 3 novembre 2011 Page 11

12 Exercice 6 : CORRECTION Les points A, B, C et D étant quelconques, démontrer l égalité suivante : 3DA - DB 2DC 3BA + 2 BC = 0. 3DA - DB 2DC 3BA + 2 BC = 3DA + 3AB + BD + 2 BC + 2 CD = 3( DA + AB) + 2( BC + CD ) + BD = 3DB + 2BD + BD = 3( DB + BD) = 3DD = 0 Composition n 1 de Mathématiques Seconde 3 novembre 2011 Page 12

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