Module #6b Contraintes de cisaillement dans les poutres

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1 Module #6b Contraintes de cisaillement dans les poutres (CIV Résistance des matériaux) Enseignant: James-A. Goulet Département des génies civil, géologique et des mines Sections R. Craig (2011) Mechanics of Materials, 3rd Edition John Wiley & Sons. P. Léger (2006) Notes de cours: Chapitre 6. 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 1 / 41

2 Introduction aux contraintes dans les poutres Objectifs Chapitre 5: Diagrammes des efforts internes Efforts tranchants V (x) Moments fléchissants M(x) Chapitre 6, partie a: Contraintes de flexion dans les poutres Chapitre 6, partie b: Contraintes de cisaillement dans les poutres Connaissant M(x) et V (x), distribution des contraintes de cisaillement au droit des sections/longitudinales? 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 2 / 41

3 τ xy : rappel des notions de base Contraintes de flexion et d efforts tranchants Les contraintes longitudinales de flexion effort tranchant V σ x = M z y I z Nous nous intéressons au calcul de la contrainte de cisaillement: τ xy = τ yx 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 5 / 41

4 τ xy : rappel des notions de base Rappel module 2: τ xy = τ yx Afin de satisfaire les éq. d équilibre: τ xy = τ yx 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 6 / 41

5 Flexion pure v.s. flexion ordinaire Contraintes τ xy et flexion Flexion pure, V (x) 0 pas de contraintes de cisaillement Flexion ordinaire, V (x) 0, M 1 M 2 Des efforts tranchants / contraintes de cisaillement sont nécessaire afin de rétablir l équilibre τ xy 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 7 / 41

6 Déformation des sections sous flexion ordinaire Déformation des sections sous flexion ordinaire Efforts tranchants les sections ne demeurent pas planes Note: l effet est de τ yx sur σ x est 3% pour les poutres élancées: L/h 4 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 41

7 τ xy et équilibre d une section Contraintes τ xy et équilibre d une section Flexion ordinaire, V (x) 0, M(x) 0 Les contraintes τ xy ont une distribution parabolique par rapport à y τ xy (y) y 2 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 9 / 41

8 τ xy et équilibre d une section Contraintes τ xy et équilibre d une section (introduction) H = F 2 F 1 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 11 / 41

9 τ xy et équilibre d une section Contraintes τ xy (y) et équilibre d une section (formulation) Flux de cisaillement [q =force/longueur]: H q(y) lim x 0 x = lim F 2 F 1 x 0 x F 1 = σ(x, η) da = M(x) A I ηda z A F 2 = σ(x + x, η) da = M(x + x) A I ηda z A A ηda = A y = Q(y) : 1er moment d aire [ ] M(x + x) M(x) Q(y) q(y) = lim x 0 x I z }{{} V = dm dx = V Q(y) I z q(y) = V Q(y) I z τ xy (y) = q(y) t = V Q(y) I z t(y) 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 12 / 41

10 Propriétés des sections Propriétés des sections Flexion Second moment d aire, I z (Moment d inertie) I z = [ I i + A i di 2 ], [mm 4 ] Cisaillement Premier moment d aire, Q(y) Q(y) = A i y i, [mm3 ] 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 13 / 41

11 Calcul du 1 er moment d aire, Q(y) Premier moment d aire Q(y) c.g. a.n. y i : distance entre le C.G. de la section et celui de l élément i 1. Calculer le C.G. & A.N. 2. Isoler l aire A au dessus de y (en dessous pour y < 0) 3. Décomposer A en éléments simples d aire A i et ayant un C.G. y i 4. Calculer le premier moment d aire de la section Q(y) = Q i (y) = A iy i 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 14 / 41

12 τ xy (y) pour une section prismatique Calcul de τ xy pour une section prismatique I z = bh3 12 Q(y) = A y = b( h 2 }{{ y) } A ( h 2 + y)/2 } {{ } y τ xy (y) = VQ(y) I z b = V b 2 ( h2 4 y 2 ) 1 b = 6V bh 3 ( h2 4 y 2 ) τ xy (y = h/2) = 0 τ xy (y = 0) = τ xy,max = 6V 4bh = 3 2 Rappel: τ xy (y) = τ yx (y) = b 2 ( h2 4 y 2 ) 12 bh 3 V = }{{} bh τ xy,moy. q max b [Bazergui, 2000] 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 15 / 41

13 Intro Distribution τxy Flux: q(y ) & τxy (y ) Limitations Parois minces Assemblages Re sume Champ de contraintes Champ de contraintes Modules 8 & 9 [Schodek, 1998] 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 16 / 41

14 Exemple Calcul de τ xy Exemple Calcul de τ xy + V max = kn I z = m 4 b = 0.04 m τ xy,max = V max Q max I z b =? 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 17 / 41

15 Intro Distribution τxy Flux: q(y ) & τxy (y ) Limitations Parois minces Assemblages Re sume Exemple Glissement relatif Exemple Glissement relatif Combien de clous par me tre pour que (a) (b)? n = 7 clous/m 1 clou: Vadm τadm. A = 945 N qmax = 6000 N/m n 6000 N/m = N [Bazergui, 2000] 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 18 / 41

16 Exemple Section non-constante (compacte) Exemple Section non-constante (compacte) V max = 7000 N I z = mm 4 τ xy (y) =? τ xy,max = 1.03 MPa [Bazergui, 2000] 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 19 / 41

17 Forme des sections: h/b Forme des sections: h/b La méthode de calcul de τ xy n est pas applicable pour les sections de faible hauteur, e.g. h < 2b 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 21 / 41

18 Forme des sections: h/l Forme des sections: h/l Efforts tranchants les sections ne demeurent pas planes Effort tranchant constant (a): l effet est de τ yx sur σ x est nul Effort tranchant variable (c): l effet est de τ yx sur σ x est négligeable ( 3%) pour les poutres élancées: L/h 4 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 22 / 41

19 τ xy sections en I Poutres en I Dans les cas communs, l âme de la poutre reprend > 90% de l effort tranchant Comment calculer la contrainte de cisaillement dans les ailes? 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 24 / 41

20 τ xy sections en I Poutres en I - équilibre des sections 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 25 / 41

21 τ xy sections en I Poutres en I - cisaillement dans les ailes: q f & τ f q f = VQ f t f Q f = A f y f τ f = q f t f = 3 2 V s t f h 2 h 2 w bh 3 bh 3 w + t w h 3 w La contrainte de cisaillement (aile) est proportionnelle à la distance s: τ f s 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 26 / 41

22 τ xy sections en I Poutres en I - cisaillement dans l ame: q w & τ w q w = VQ w I z Q w = A w y w = A 1y 1 + A 2y 2 τ w = q w t w = 3 2 V t w bh 2 bh 2 w t w h 2 w 4t w y 2 bh 3 bh 3 w + t w h 3 w La contrainte de cisaillement (ame) est parabolique: τ w y 2 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 27 / 41

23 τ xy sections en I Poutres en I - q f & τ f Dans les ailes τ xy 0, τ xz 0 Dans l ame τ xz 0, τ xy 0 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 28 / 41

24 τ xy sections fermées symétriques Sections fermées symétriques - q f & τ f Due à la symétrie, il n y a pas de contraintes τ xz dans le plan de chargement (changement de signe au droit du plan) [Heyman, 1998] 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 29 / 41

25 τ xy sections fermées symétriques Exemple Choix d une section Choisir une section de type W: σ x 40 MPa τ 20 MPa Plan: 1. Évaluer V (x) & M(x) 2. Choisir une section tel que σ x 40 MPa 3. On vérifie que τ 20 MPa 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 30 / 41

26 τ xy sections fermées symétriques Exemple Choix d une section (cont.) [Bazergui, 2000] 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 31 / 41

27 Introduction aux poutres assemblées Poutre composites acier-béton 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 33 / 41

28 Introduction aux poutres assemblées Efforts dans les assemblages Les assemblages sont conçus par rapport aux efforts de cisaillement 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 34 / 41

29 Introduction aux poutres assemblées Types d assemblages communs Assemblages collés: l effort de cisaillement est distribué sur la surface collée τ = VQ I z t collé τ adm.,colle Assembles soudés: l effort de cisaillement est distribué le long du cordon de soudure q = VQ I z q adm.,soudure [force/longueur] Assembles cloué & boulonnés: l effort de cisaillement est distribué entre les boulons q = VQ q s V adm.,boulon, s: espacement I z 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 35 / 41

30 Sections assemblées: calcul de Q Sections assemblées: calcul de Q Q = A y est calculé pour l élément connecté par l assemblage 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 36 / 41

31 Exemple Section assemblée Exemple Section assemblée Procedure: Déterminer l espacement s sachant que V = 45 kn V adm.,boulon 5 kn 1. Calculer le flux de cisaillement q à l interface 2. Calculer l espacement s tel que V adm.,boulon > q s 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 37 / 41

32 Exemple Section assemblée Exemple Section assemblée (q) [ ] I z = = mm 4 Q = = mm 3 q = VQ I z = 45 kn mm mm 4 = kn/mm s = 2 5 kn = 162 mm 160 mm kn/mm 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 38 / 41

33 Exemple Section assemblée Exemple espacement non-uniforme Calculer l espacement s des clous (V adm.,clou 2 kn) Procedure: (1) Q = A y, (2) q = VQ/I z, (3) s = V adm.,clou /q [Popov, 1999] 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 39 / 41

34 Intro Distribution τxy Flux: q(y ) & τxy (y ) Limitations Parois minces Assemblages Re sume Re sume Module #6b But : Calculer les contraintes de cisaillement (e le ments fle chis) Flexion pure : τxy = 0 Flexion ordinaire : τxy 6= 0 Contraintes : τxy (y ) = VQ(y ) Iz t(y ) = q(y ) t Sections ferme s syme triques : τxy = 0 dans le plan de syme trie vertical y, τxy,max : axe neutre [MPa] Assemblages : VQ Colle: τ = τadm.,colle Iz tcolle Soudure: q = VQ Iz qadm.,soudure [force/longueur] Clous & boulons: q= Flux de cisaillement : q(y ) = VQ Iz q s Vadm.,boulon, ou s est l espacement VQ(y ), [n/mm] Iz P 0 0 1er moment d aire : Q(y ) = Ai y i, [mm3 ] Limitations : h 2b, l 4h 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 40 / 41

35 Intro Distribution τxy Flux: q(y ) & τxy (y ) Limitations Parois minces Assemblages Re sume Organisation de la matie re 1 Statique 2 Mate riau Chargements - E quilibre des forces et moments - Diagrammes de corps libres - 5 Diagramme des efforts, N(x), V (x), M(x) - Contraintes & de formations - Loi de Hooke, Poisson & St-Venant - 3 Efforts axiaux - 4 Torsion - 6a Flexion - 6b Cisaillement - 7 De flexion - 9 Pression & chargements combine s - 7 De flexion - 8 Contraintes 2D-3D - 10 Lois constitutives & crite res de rupture Introduction Mohr 2D (\ ) Mohr 3D (\ ) \ Mohr (\ ) Mesures de Re sume Construction du cercle de Mohr E tats limites + Cercle de Mohr + Y : y, xy = 90o C R ( n avg. ) 2 tan 2 p1 = 2 X : x, xy =0 2 + nt = R2 xy x y avg. = x+ y 2 x y 2 2 (Automne 2015) 8 Contraintes dans les poutres CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 8 / 51 6b Contraintes dans les poutres V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 41 / 41