Synthèse de cours PanaMaths Introduction au calcul matriciel

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1 Sythèse de cours PaaMaths Itroductio au calcul matriciel Défiitios Notio de matrice O appelle «matrice de dimesio p» ou «de type (, p )» u tableau de ombres réels comportat liges et p coloes ( et p sot deux etiers aturels o uls). Ue matrice s écrit etre parethèses. Les réels apparaissat das la matrice sot appelés «élémets» ou «coefficiets». O les repère à l aide de deux idices etiers : u premier idice (compris etre 1 et ) correspodat à la lige de l élémet et u secod (compris etre 1 et p) correspodat à sa coloe. O pourra aisi écrire : = ( ) 1 i ou A = ( a ) 1 A a j p Si ue matrice e comporte qu ue lige (elle est doc de dimesio 1 p ) o dit qu il s agit d ue «matrice lige». Si ue matrice e comporte qu ue coloe (elle est doc de dimesio 1) o dit qu il s agit d ue «matrice coloe». Si ue matrice A comporte liges et coloes, o dit qu il s agit d ue «matrice carrée d ordre». Das ce cas, les élémets a ii sot appelés «élémets diagoaux» de la matrice A ; ils formet la «diagoale pricipale» de cette matrice. Remarque importate : ue matrice carrée d ordre 1 e comporte qu u élémet et peut être cofodue avec le réel correspodat ,34 0 A = 2, 11 π B = , C = ( ,35 8 8) et D π π π 2 = 4 La matrice A est de dimesio 2 4, la matrice B est ue matrice carrée d ordre 3, la matrice C est ue matrice lige de dimesio 1 5 et D est ue matrice coloe de dimesio 3 1. L élémet a 13 de la matrice A vaut 1,34. Les élémets diagoaux de la matrice B sot : b 11 = 8, b 22 = 25 et b 33 = 54. La matrice E = ( 8,5) peut être cofodue avec le réel 8,5. PaaMaths [1-7] Mai 2012

2 Itroductio au calcul matriciel Matrices particulières Matrice ulle O appelle «matrice ulle de type (, p )», ou «matrice ulle» si aucue ambiguïté est à craidre, la matrice de type (, p ), otée O (ou dot tous les élémets sot uls. O lorsque la matrice est carrée d ordre ), 0 0 O= O2 = 0 0 Matrice idetité O appelle «matrice idetité d ordre», ou «matrice idetité» si aucue ambiguïté est à craidre, la matrice carrée d ordre, otée I ou I, dot : tous les élémets diagoaux sot égaux à 1. tous les élémets o diagoaux sot uls. I = Egalité Soit A et B deux matrices de dimesio p. Les matrices A et B sot dites «égales» si, et seulemet si, pour tout couple d idices ( i, j ) (i etier vérifiat 1 i et j etier vérifiat 1 j p ), les élémets a et b sot égaux. Remarque : e utilisat la otatio 1; pour désiger l esemble des etiers compris etre 1 et, il viet : A = B i 1;, j 1; p, a = b PaaMaths [2-7] Mai 2012

3 Itroductio au calcul matriciel Opératios Additio Soit A et B deux matrices de même dimesio p. O appelle «matrice somme» des matrice A et B la matrice C = ( c ) de dimesio p obteue e additioat etre eux les élémets correspodats des matrices A et B : i 1;, j 1; p, c = a + b Par exemple, avec A = et B =, il viet : C = A+ B = = 3 + ( 7) ( 38) = Multiplicatio par u réel Soit A ue matrice de dimesio p et soit α u réel. O appelle «matrice produit» de la matrice A par le réel α, la matrice α A = B= ( b ) de dimesio p obteue e multipliat chaque élémet de la matrice A par le réel α : i 1;, b = α a Par exemple, avec A = et k = 3, il viet : 3 ( 12) ( 5) A = = PaaMaths [3-7] Mai 2012

4 Itroductio au calcul matriciel Multiplicatio U calcul fodametal Soit L ue matrice lige de dimesio 1 et C ue matrice coloe de dimesio 1. O appelle «matrice produit de L par C» la matrice LC de dimesio 1 1 défiie par : c11 c 21 LC = ( l11 l12 l1 ) = ( l11 c11 + l12 c l1 c 1) = l1 k ck1 k = 1 c1 La matrice lige est aisi «balayée» de la gauche vers la droite et la matrice coloe de haut e bas = = = 31 5 ( ) ( ) ( ) O peut classiquemet poser le calcul comme suit : ( 2 3 7) ( ( 3) 6+ 7 ( 5) ) Défiitio Soit A ue matrice de dimesio p et B ue matrice de dimesio p q. O appelle «matrice produit de A par B» la matrice C = AB de dimesio q telle que pour tout couple d idices ( i, j ) (i etier compris etre 1 et et j etier compris etre 1 et q), l élémet c est égal au produit, au ses du calcul fodametal ci-dessus, de la matrice lige correspodat à la ième lige de A par la matrice coloe correspodat à la jème coloe de B : 1;, 1;, i j q c = a b + a b + + a b = a b i j i j i j ik kj k = 1 PaaMaths [4-7] Mai 2012

5 Itroductio au calcul matriciel O ote que le produit e peut être effectué que si le ombre de coloes de la première matrice est égal au ombre de liges de la secode. Formellemet, e adoptat la dispositio classique : Par exemple, avec a a a a a a a a a a a a a a k 1p p i1 ik ip Bde dimesio p q b11 b12 b b 1 j 1q b21 b22 b 2q bk1 b b kj kq bp 1 bp2 b b pj pq c11 c12 c1 k c1 q c21 c22 c2q ci1 c c iq c c c c 1 2 k p 1 2 k q Ade dimesio p C= AB de dimesio q A = et B = 5 1 3, il viet : ( 5) + ( 5) 2 2 ( 2) ( 5) 1 2 ( 7) ( 5) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D où : Remarques : A B= C = = Les cotraites sur les dimesios des deux matrices fot que pour deux matrices A et B quelcoques, le produit A B existe pas écessairemet (le ombre de coloes de la première matrice doit être égal au ombre de liges de la secode). PaaMaths [5-7] Mai 2012

6 Itroductio au calcul matriciel Le fait que le produit A B existe e garatit pas que le produit B A existe! E fait, ces deux produit existet si, et seulemet si, les dimesios des matrices sot respectivemet p et p. Si les dimesios des matrices A et B sot p et p avec p alors la matrice A B est ue matrice carrée d ordre tadis que la matrice B A est ue matrice carrée d ordre p. Elles e peuvet doc être égales! Même lorsque A et B sot toutes deux des matrices carrées d ordre, les matrices A B et B A ot aucue raiso, à priori, d être égales! Les remarques précédetes doivet vous faire predre cosciece que le produit matriciel est ue opératio sigulièremet différete du produit des réels Quelques propriétés Lorsque les opératios sot possibles, o a : ( A B) C = A ( B C) ; A ( B+ C) = A B+ A C ; ( A + B) C = A C+ B C. Puissace d ue matrice carrée Soit A ue matrice carrée d ordre et soit u etier aturel. O défiit «la puissace ième de la matrice A» comme suit : A 0 = I *, A = A A A A La matrice A apparaît fois das le produit. Remarque : Toute puissace de la matrice I est égale à la matrice I. Toute puissace d exposat o ul de la matrice O est égale à la matrice O. PaaMaths [6-7] Mai 2012

7 Itroductio au calcul matriciel Matrice de trasitio Défiitio O appelle «matrice de trasitio» toute matrice carrée T telle que : Tous les élémets de T appartieet à l itervalle [ 0;1 ]. Pour toute lige de T, la somme des élémets de la lige est égale à 1. 0,5 0,15 0,35 0,5 + 0,15 + 0,35 = 1 T = 0, 2 0,7 0,1 0, 2 + 0,7 + 0,1 = 1 0,74 0,08 0,18 0,74 + 0,08 + 0,18 = 1 Les matrices de trasitio itervieet das des situatios modélisées à l aide de graphes probabilistes. L élémet t de la matrice de trasitio T est égal à la probabilité de passer de l état S i à l état S j (e d autres termes, il s agit du poids de l arête orietée ( Si, S j) du graphe probabiliste). Etat stable d ue matrice de trasitio Soit T ue matrice de trasitio d ordre. Soit M ue matrice lige de dimesio 1. O dit que M est «u état stable de T» si M vérifie : La somme des élémets de M est égale à 1. M T = M. Théorème Soit T ue matrice de trasitio d ordre 2. Si T e comporte pas d élémet ul, alors T admet u état stable uique qui est la solutio de l équatio matricielle : X T = X PaaMaths [7-7] Mai 2012