3. Thermodynamique des processus irréversibles en mécanique des milieux continus. Marc François

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1 3. Thermodynamique des processus irréversibles en mécanique des milieux continus Marc François

2 Introduction La plasticité est irréversible : il y a dissipation thermique intrinsèque Thermo. classique : transformations réversibles T.P.I. Onsager (Nobel 1968), Prigogine (Nobel 1977) Application à la mécanique Germain (1970) Halphen (1975), Lemaitre (1977)

3 Variables L état du système est décrit par les variables d état (V.E.). En mécanique : Les variables sont des variables internes. En plasticité, on a au moins parmi elles. Les variables associées (V.A.) sont

4 Méthode de l état local Tous les états sont considérés comme des états d équilibre. Les V.A. sont associées aux V.E. (et pas à leur dérivées) par l énergie libre de Gibbs (ou potentiel d état). Il décrit les états d équilibre et les évolutions réversibles. Les évolutions irréversibles sont décrites par les V.E. (ou les V.A.) et leur dérivées par rapport au temps. En plasticité, seulement les V.A.

5 Énergies Travail des efforts extérieurs Travail des efforts intérieurs Énergie interne Entropie Énergie libre de Gibbs Quantité de chaleur reçue de l extérieur Quantité de chaleur produite en interne par dissipation extérieur

6 Expression locale Travail des efforts extérieurs Travail des efforts intérieurs Quantité de chaleur reçue de l extérieur Quantité de chaleur produite Pour les potentiels, on travaille avec les grandeurs massiques : Énergie interne Entropie Énergie libre de Gibbs Grandeur x quelconque : volumiques :

7 T Expressions connues On sait depuis le M1 Avec Stokes : La puissance thermique reçue est : Si la conduction obéit à la loi de Fourier TH2 TH1 volumique (rayonnement, radioactivité, induction ), surfacique (flux de chaleur reçu de l extérieur). alors si qe dérivable TH3

8 Quelques valeurs de la conductivité thermique k Exemple de source de chaleur interne : carte de température associée à un stockage de produits radioactifs. VAL ISO > 4.25E+01 < 2.68E E E E E E E E E E E E E E E E E+02 GIBI FECIT

9 Théorème de l énergie cinétique Vient de la seconde loi de Newton Démo rapide : sur chaque particule de D Le indique que la grandeur n est pas forcément différentiable. On pourra penser à une succession de chocs mécaniques (ou thermiques pour les quantités de chaleur abordées ensuite). V TEC

10 Premier principe de la thermodynamique U (et Ec) sont des potentiels d état sa valeur ne dépend pas du chemin parcouru c est une fonction des V.E. : Bilan d énergie U est différentiable (relations de Cauchy) U est nul sur un cycle PPT+TEC En local PPT PPTL négligé en mécanique

11 Second principe de la thermodynamique Écriture «classique» pendant dt SPT Écriture employée Forme locale (depuis TH1) réversibilité irréversibilité

12 Stokes vrai pour tout domaine D forme locale (sur l intégrande) d où on en déduit les deux dissipations : Hyp. TH2 Découplage des dissipations intrinsèques et thermiques

13 Deux remarques sur la dissipation thermique : R1 si la thermique obéit à la loi de Fourier alors on a automatiquement : R2 en quasistatique, On revient à la dissipation intrinsèque (à comparer avec SPT) Le PPTL permet de remplacer Maintenant on a plus que des fonctions d état. Mais on en a deux (S et u)

14 On introduit alors l énergie libre de Helmholtz Remarque 1 : on déduit de ceci et de l inégalité de Clausius-Duhem sous sa forme en vitesses :

15 Helmholtz Remarque : TEC en considérant une isotherme, on voit :

16 On reprend l expression en développant la différentielle de En rassemblant : Cette expression est vraie pour toute transformation. En particulier, pour une isotherme réversible, elle implique Pour une transformation réversible et sans déformation, on a : VAS Enfin, par analogie, on pose les thermodynamiques associées. A k sont les forces

17 La dissipation intrinsèque se résume à : DIS Les variables d état V k et les forces thermodynamiques associées Ak sont qualifiées de dissipatives. Par exemple, en plasticité parfaite, et sont les variables dissipatives et : Pour les autres modèles, tout dépendra du choix des V k et des Ak que l on précisera dans la suite.

18 Équation de la chaleur On cherche l élévation de température dt associée à une évolution des variables internes On dispose de : PPTL TH2 et TH3 (Thermique de Fourier) Helmholtz VAS

19 En combinant TH3 et Helmholtz: On exprime la différentielle de d Compte tenu des résultats précédents (VAS) Il reste dt d = :d" sdt A k dv k dv k Il nous reste le terme à exprimerṭh4

20 On exprime la différentielle de D où, en utilisant VAS : Comme la capacité calorifique (à déformation constante) est : À l aide de TH4 et obtenir en fonction des V.E. :

21 Ce qui correspond à l équation de la chaleur complète : CHA variation de température. En général Cε est pris ~constant conduction thermique rayonnement Prodution interne de chaleur par irréversibilité Couplage thermomécanique (thermoélasticité). Couplage thermomécanique en général 0. Effets Causes Équation de la chaleur «classique» Pour le couplage thermomécanique on a aussi besoin la loi de dilatation (linéaire) des solides : Isotrope Anisotrope

22 Quelques valeurs de la capacité calorifique C en J.g-1.K -1 (Wikipedia) Les atomes lourds ont moins de capacité calorifique massique que les légers On utilise du sodium pour refroidir les soupapes et les centrales nucléaires.

23 Exemple de sodium caloporteur : les centrales SFR

24 Calcul de dans le cas isotrope : Lamé partition Loi de dilatation thermique isotrope : D où où K est le coefficient de dilatation (c.f. cours tenseurs)

25 Petit bilan : Si l on se donne une énergie libre, on a la relation entre forces et flux. Les évolutions ne sont pas encore précisées. On doit respecter positivité de la dissipation : Il faut des équations complémentaires

26 Phénomènes dissipatifs linéaires Une relation linéaire entre force et flux garantit la positivité de la dissipation. De nombreux phénomènes obéissent à de telles lois : électricité Thermique Amortisseur Fluide newtonien Loi de Darcy des milieux poreux Loi générique :

27 Phénomènes dissipatifs linéaires couplés Dans le cas où n phénomènes dissipatifs linéaires sont présents on introduit une matrice d interactions : D où est positive si est définie positive Onsager (Nobel, 68) a démontré que est symétrique (relations de symétrie d Onsager). Cela a permit de trouver des phénomènes physique inverses qui ont été identifiés ensuite. On dit aussi que dérive du potentiel de dissipation ou de manière inverse que dérive du potentiel de résistance

28 Phénomènes dissipatifs non linéaires couplés Les flux sont fonction des variables internes La relation d Onsager s écrit alors Cette approche est valide pour les phénomènes physiques continus. En mécanique (plasticité, endommagement ) on a des phénomènes qui se déclenchent à partir d un certain seuil (la limite élastique ).

29 Plasticité, endommagement Cadre différent : on a un seuil. La plasticité est indépendante du temps : on ne gère pas vraiment la vitesse (ou flux) du phénomène. D autres règles viennent se greffer C est l objet du cours de plasticité 3D.

30 P. Germain, Q. S. Nguyen et P. Suquet, Continuum Thermodynamics, J. of Appl. Mech., 50, pp ,1983. B. Halphen et Q. S. Nguyen, Sur les matériaux standards généralisés, J. de Mécanique, 14, 1, pp , Bibliographie B. Halphen, Thermodynamique des milieux continus. Cours de l'enpc, disponible à D. Kondepudi, I. Prigogine : Modern Thermodynamics. from Heat Engines to Dissipative Structures., John Wiley & Sons, New York Weinheim G. D. C. Kuiken, Thermodynamics of irreversible process, Applications to Diffusion and Rheology, Wiley tutorial series, Ed. J. Wiley. J. Lemaitre, Mécanique des matériaux solides, Ed. Dunod, Paris, L. Onsager, Reciprocal relations in irreversible processes I, Phys. Rev. 37, pp , C. Vidal, G. Dewel et P. Borckmans, Au dela de l'équilibre, Coll. Enseignement des sciences, ed. Hermann, A. Zaoui, Comportement Mécanique des Matériaux, Chapitre 3, Ed. Hermes, 1991.

31 Kelvin Carnot Prigogine Merci