Dénombrement : exercices

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1 Dénombrement : exercices 1D 1/16 Exercice 1 On considère un dé dont les 6 faces sont numérotées de 1 à 6. 1) On jette ce dé deux fois de suite et on s intéresse au total obtenu (en sommant les deux nombres obtenus sur les faces visibles). De combien de façons peut-on obtenir : a) un total égal à 6? b) un total égal à 7? ) On jette ce dé trois fois de suite et on s intéresse au total des points obtenus. De combien de façons peut-on obtenir : a) un total égal à 16? b) un total égal à 1? c) un total au moins égal à 1? Exercice Un damier carré comporte cases. De combien de façons peut-on placer pions sur ce damier, de telle sorte qu il y en ait 1 par ligne et 1 par colonne? Exercice 1) Combien de nombres de chiffres peut-on écrire avec les 6 chiffres 1,,,,, et 6? ) Combien de nombres de chiffres peut-on écrire avec les 6 chiffres 1,,,,, et 6 de telle manière à ce que ces nombres aient leurs chiffres distincts? Exercice On désire former un jury composé de scientifiques et littéraires. On peut choisir les membres du jury parmi scientifiques et littéraires. De combien de façons peut-on constituer le jury dans les cas suivants : 1) N importe quel scientifique et n importe quel littéraire peut être choisi. ) L un des littéraires doit obligatoirement faire partie du jury. ) Deux des scientifiques ne s entendent pas et ne veulent pas faire partie du même jury. ) Deux des littéraires ne s entendent pas et ne veulent pas faire partie du même jury. 1

2 Exercice Avec les lettres du mot Nicolas, combien peut-on former de mots (ayant un sens ou non) : 1) Au total. ) a) Commençant par une consonne et finissant par une consonne. b) Commençant par une voyelle et finissant par une voyelle. c) Commençant par une consonne et finissant par une voyelle. d) Commençant par une voyelle et finissant par une consonne. ) Quelle vérification de cohérence peut-on effectuer avec les questions 1) et )? Exercice 6 Le but de cet exercice est de compléter le triangle suivant, dit triangle de Pascal : p n n qui contient les valeurs des. p On veillera à compléter au cours de l exercice le tableau précédent. n 1) Déterminer, pour tout n de N,. 0 n ) Déterminer, pour tout n de N,. n ) Démontrer que, pour tout n de N et tout p de N tel que 1 p n 1, on a : n n 1 n 1 = +. p p 1 p Remarque : pour compléter le tableau précédent, on pourra commencer par utiliser ce résultat avec n = (et p = 1), puis avec n = (et p = 1 et p = ),... ) a) Démontrer que, pour tout n de N et tout p de N tel que 0 p n, on a : n n =. p n p

3 b) Comment se traduit le résultat précédent sur le triangle de Pascal? Exercice 7 Soit n un entier strictement positif et E un ensemble qui contient n éléments. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de sous-ensemble de E. 1) a) Soit k un entier tel que 0 k n. Quel est le nombre de sous-ensembles de E qui contiennent k éléments? b) Conclure à l aide de la formule du binôme de Newton. ) Proposer une autre justification du résultat obtenu. Exercice 8 On dispose de 10 billes que l on veut placer sur une même rangée. 1) On suppose que les 10 billes sont de couleurs différentes. De combien de façons peut-on les ranger? ) On suppose qu il y a billes rouges, blanches et vertes et que l on ne peut pas discerner les billes d une même couleur. a) De combien de façons peut-on les ranger? b) De combien de façons peut-on les ranger si l on veut que les billes soient groupées par couleurs? c) Même question que la précédente, mais seules les billes rouges doivent être groupées. Exercice 9 1) Une urne contient boules numérotées de 1 à. On tire fois de suite une boule avec remise. a) Combien de tirages distincts peut-on effectuer? b) Quel est le nombre de tirages pour lesquels le premier numéro tiré est 1? c) Quel est le nombre de tirages pour lesquels on obtient nombres triés par ordre strictement croissant? ) Mêmes questions, mais avec cette fois une urne contenant 10 boules numérotées de 1 à 10. Exercice 10 On considère un jeu de cartes dans lequel on a conservé uniquement les habillés des couleurs (on a donc cartes de chaque couleur et 1 cartes en tout). 1) On cherche à dénombrer les listes de cartes composées de trois et un. Le but de cette question est de déterminer si le raisonnement suivant est correct ou non : On a : 1 = 18 telles listes. choix d un choix d un ème choix d un parmi les restants ème, choix d un celui qui reste

4 ) On cherche à dénombrer les mains (ie les ensembles) de cartes composées de trois et un. Le but de cette question est de déterminer si le raisonnement suivant est correct ou non : On a : = telles mains. 1 choix de choix d un ) On cherche à dénombrer les listes de cartes composées de deux et deux. Le but de cette question est de déterminer si le raisonnement suivant est correct ou non : On a : = 6 telles listes. choix d un choix d un ème choix d un choix d un parmi les restants ème parmi les restants ) On cherche à dénombrer les mains de cartes composées de deux et deux. Le but de cette question est de déterminer si le raisonnement suivant est correct ou non : On a : = 9 telles mains. choix de choix de ) On cherche à dénombrer les mains de cartes contenant un brelan ( cartes de même hauteur et une autre d une hauteur différente). Le but de cette question est de déterminer si le raisonnement suivant est correct ou non : On a : = 8 telles mains. 1 choix des deux hauteurs choix des cartes du brelan parmi les choix de la dernière carte parmi les de la ème hauteur Exercice 11 On considère un jeu de cartes (c est-à-dire un jeu composé des 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et As des couleurs,, et ). 1) On appelle main un ensemble de cartes. Pour chacune des questions suivantes, préciser la (ou les) bonne(s) réponse(s) parmi les réponses proposées : 1) Le nombre de mains de cartes possibles est :

5 ) Le nombre de mains de cartes qui contiennent deux et trois est : ! ! ) Le nombre de mains de cartes qui contiennent exactement un roi et une dame est : 8! 1 1 1! ) Le nombre de mains de cartes qui contiennent au moins 1 roi est : ( ) ) Le nombre de mains de cartes qui contiennent un brelan (ie trois cartes de même hauteur et deux cartes de hauteurs distinctes et distinctes de la hauteur précédente) est : ! ! ) Mêmes questions, mais en déterminant le nombre de listes de cartes (et pas le nombre de mains).

6 Exercice 1 Dans un jeu de cartes on choisit au hasard cartes. Dénombrer les mains de cartes puis les listes de cartes comprenant : a) Deux trèfles, un carreau, un coeur et un pique (Réponse : 16 et 1700). b) Au moins une carte de chaque couleur (Réponse : 7 et ). c) Exactement un roi et exactement une dame (Réponse : 8 et ). d) Exactement un coeur (Réponse : 8008 et ). e) Au plus un coeur (Réponse : 171 et 1010). f) Au moins un coeur (Réponse : 1887 et ). g) Exactement un coeur et exactement un pique (Réponse : 80 et 00800). h) Au moins un coeur et exactement un pique (Réponse : 708 et 8760). i) Au moins un coeur ou au moins un pique (Réponse : et 60960). j) Exactement deux as et exactement deux rois (Réponse : 86 et 10680). k) Deux paires de hauteurs différentes (Réponse : 19 et 9000). l) Un full des as par les sept (Réponse : et 880). m) Un full quelconque (Réponse : 1 et 16180). n) Une suite à l as (Réponse : 10 et 1880). o) Une suite quelconque (Réponse : 096 et 910). p) Cinq cartes de la même couleur (flush) (Réponse : et 6880). q) Une suite de cinq cartes de la même couleur (Réponse : 16 et 190). r) Un carré d as (Réponse : 8 et 60). s) Un carré quelconque (Réponse : et 6880). t) Au moins un coeur et au moins un pique (Réponse : 1076 et 1880). u) Un brelan (Réponse : 107 et 1900). v) Une paire exactement (Réponse : 1070 et 19000). Exercice 1 Quatre candidats se présentent à un oral où sont posées quatre questions A, B, C et D. Le 1 er candidat tire au hasard une des questions et cette question n est pas posée aux candidats suivants. Le ème candidat tire l une des questions restantes et cette question n est pas posée aux candidats suivants, etc. La question A est beaucoup plus difficile que les autres. Le but de cet exercice est de déterminer s il est préférable de passer le 1 er, le ème, le ème ou le dernier pour éviter de tomber sur cette question. 1) a) Justifier que l on peut considérer que le nombre total de tirages des questions est!. b) A l aide d un arbre, déterminer le nombre de ces tirages pour lequels la question A est posée au premier candidat. c) En déduire la probabilité de tomber sur la question A lorsqu on passe le 1 er. 6

7 ) a) A l aide de l arbre de la question précédente dénombrer les tirages pour lequels la question A est posée au troisième candidat. b) On considère l arbre suivant : i) Obtient-on avec cet arbre les! tirages des questions? ii) Retrouve-t-on le résultat de la question a)? Pourquoi le dénombrement est-il plus facile avec cet arbre? c) En déduire la probabilité de tomber sur la question A lorsqu on passe le ème. ) Déterminer la probabilité de tomber sur la question A lorsqu on passe le ème et lorsqu on passe le ème puis conclure. ) Le résultat précédent tient-il toujours si 10 candidats se présentent à l oral et que des 10 questions sont beaucoup plus difficiles que les autres? Exercice 1 Dans un rayon se supermarché se trouvent 100 briques indiscernables de lait dont 0 sont impropres à la consommation. Dès l ouverture du magasin, 1 clients arrivent et achètent chacun une brique de lait. 1) a) Quelle est la probabilité que le ème client achète une brique impropre à la consommation? b) Quelle est la probabilité que le 10ème client achète une brique impropre à la consommation? ) a) Quelle est la probabilité que, parmi les 1 clients, aient acheté une brique impropre à la consommation? b) Plus généralement, pour tout k de [[0, 1], quelle est la probabilité que, parmi les 1 clients, k aient acheté une brique impropre à la consommation? 7