LOGARITHME NÉPÉRIEN. Définition. Propriétés. Exercice 01. Remarque ( voir animation ) Remarques. (voir réponses et correction)

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1 LOGARITHME NÉPÉRIEN Exercice 0 ) E utilisat la courbe de la foctio expoetielle dessiée ci-cotre, détermier u ecadremet au dixième du réel a tel que e a = 7 ) E faisat avec la calculatrice u tableau de valeurs de la foctio expoetielle, détermier u ecadremet de a au cetième. ) E utilisat la touche l de la calculatrice, détermier ue valeur approchée de l (7) et vérifier que la valeur obteue correspod à l'ecadremet doé pour a das la questio précédete. 4 ) Détermier avec la calculatrice la valeur de e l (7) Que peut-o dire du ombre l (7)? 5 ) Détermier avec la calculatrice les valeurs de : e l () ; e l (0,) ; e l (,5) ; e l (,4) Que peut-o dire des ombres : l () ; l (0,) ; l (,5) ; l (,4) O Remarque ( voir aimatio ) E utilisat la courbe représetative de la foctio e x expoetielle, o peut remarquer que : 5 b pour tout réel b das l'itervalle ]0 ; + [ il existe u et u seul réel a das IR tel que e a 4 = b Ce résultat peut se justifier avec le théorème des valeurs itermédiaires. Le ombre réel a sera oté l (b) et appelé logarithme épérie de b. Défiitio O appelle foctio logarithme épérie la foctio qui à u réel x strictemet positif, fait correspodre l'uique réel y tel que e y = x. La foctio logarithme épérie est otée l O otera l : ]0 ; + [ IR x l (x) Remarques La foctio logarithme épérie est la foctio réciproque de la foctio expoetielle (de la même faço que la foctio racie carrée est la foctio réciproque de la foctio carré sur [0 ; + [). Comme o sait que e 0 = o a doc l () = 0 ; de même e = e doc l (e) =. Lorsqu'il 'y a pas d'ambiguïté, il arrive que l'o supprime les parethèses et o ote aisi l x à la place de l (x). Propriétés l () = 0 et l (e) = Pour tout réel x strictemet positif, o a e l (x) = x Pour tout réel x, o a l (e x ) = x x ]0 ; + [ y = l (x) y IR e y = x O a TES Logarithme Népérie page / 6

2 Exercice 0 Résoudre das IR les équatios : l x = 4 ; l x = - ; l x = ; l (x) + l (5) - π = 0 Exercice 0 Détermier e l ; e l ; e l 6 E utilisat la propriété e a+b = e a x e b détermier la valeur de el () + l () E déduire que l () + l () = l (6) Justifier de même que l (4) + l (5) = l (0) Exercice 04 Détermier e l 7 ; e l 9 ; e l 7 9 e déduire que l (7) - l (9) = l 7 9 Exercice 05 Détermier e l ( ) + l ( ) et e déduire que l ( ) + l ( ) = l (), puis que l ( ) = l () De même justifier que l ( 5 ) = l (5) Remarque O sait que la foctio expoetielle trasforme ue somme e produit, o peut alors peser que la foctio logarithme épérie qui est sa foctio réciproque, va trasformer u produit e somme. Propriétés Pour tous réels a et b strictemet positifs o a : l (a x b) = l (a) + l (b) ; l a b = l (a) - l (b) ; l a = - l (a) ; l ( a ) = l (a) Si a, a,..., a sot réels strictemet positifs ( IN * ), alors l (a x a x a ) = l (a ) + l (a ) l (a ) (Le logarithme épérie d'u produit de ombres est égal à la somme des logarithmes épéries de ces ombres) Pour tout Z, l (a ) = l (a) Exercice 06 Simplifier les expressios suivates : l (6) - l () ; l () + l ; l ()- l (9) ; l () + l (4) - l (8) ; l (8) 4 Exercice 07 Simplifier les expressios suivates : l + l ( ) ; l ( + ) + l ( - ) ; l - l ( - ) + Exercice 08 Doer, e foctio de l et l 5 les valeurs de : l 0 ; l 5 ; l 6 ; l 400 ; l ; l 5 00 l 5 ; l 0,4 ; l ( 5 ) ; l ( ) ; l (5 0 ) ; l 5 8 Exercice 09 Écrire plus simplemet : l (4) - l (7) ; l 5 + l ; l 00 5 l 0 ; l (0000) + l (0,00) ; l + l + l 4 + l TES Logarithme Népérie page / 6

3 Exercice 0 a et b état deux réels strictemet positifs, doer e foctio de l a et l b les valeurs de : l a b ; l (a x b 5 ) ; l (ab ) ; l b a ; l a ; l (a) b l (ab ; l (ab 4 ) ) l (b) Exercice Justifier les égalités suivates : e l 5 + e l = ; e 5 l x e 7 l 4 = 9 ; l + e - - l + e = Exercice O cosidère la foctio f défiie sur IR par : f(x) = x e -x Justifier que : f(l 5) = 5 l 5 ; f(l 4) = l ; f'(l 5) = - l 5 5 ; f'(l 4) = 4 - l Exercice Résoudre das IR les équatios : - 5 e x = 0 ; e x + = 0 ; + l x = 0 ; + l x = 0 Exercice 4 Résoudre das IR l'équatio l (x) + l (x - ) = l 6 Propriété La foctio l est dérivable sur ]0 ; + [ et o a (l x) ' = x Remarque Pour tout x ]0 ; + [ o a e l x = x. E posat u(x) = l x o peut écrire e u(x) = x E admettat que la foctio l est dérivable sur ]0 ; + [, o obtiet e dérivat : u'(x) x e u(x) = c'est-à-dire u'(x) = e doc (l x)' = u(x) x Exercice 5 Calculer les dérivées des foctios défiies sur ]0 ; + [ par : f(x) = x + l x ; g(x) = + x l x ; h(x) = (x - ) l x ; j(x) = l x x Propriétés La foctio l est strictemet croissate sur ]0 ; + [ x > l x > 0 et 0 < x < l x < 0 Exercice 6 Résoudre das IR les iéquatios : - l x < 0 ; l (x) + l () ³ l (x - 6) ; e x - > 0 ; 5 - e -x Exercice 7 Soit h la foctio défiie sur ]0 ; + [ par h(x) = l (x) - (x - ) ) Calculer la dérivée de h et étudier so sige. ) E déduire que h a u maximum que l'o détermiera. ) Justifier que pour tout x ]0 ; + [ o a l x x - TES Logarithme Népérie page / 6

4 Remarque O sait que l = 0. La courbe (C) de la foctio logarithme épérie passe doc par le poit de coordoées ( ; 0) O sait que (l x) ' = x. 4 e y = x Le ombre dérivé e de la foctio l est =. La courbe (C) a doc pour tagete au poit d'abscisse la droite T de coefficiet directeur. So équatio est : y = x -. O peut justifier que (C) se situe au-dessous de sa tagete T (voir exercice 7) Courbe représetative O obtiet ci-cotre la courbe (C) de la foctio logarithme épérie et sa tagete T au poit d'abscisse. Les foctios expoetielle et logarithme épérie état réciproques l'ue de l'autre, leurs courbes das u repère orthoormé sot symétriques par rapport à la droite d'équatio y = x. (C) - e 4 5 T Remarque E utilisat ue calculatrice o obtiet les valeurs suivates (au cetième près) : x 0,0 0, 0, 0,5 5 0 l x -4,6 -,0 -,6-0,69 0 0,69,0,6,0 Exercice 8 O cosidère la foctio f défiie sur ]0 ; + [ par f(x) = l x x ) Calculer f'(x) et étudier so sige. ) Justifier que f = - l et f(6) = l 4 ) Doer le tableau des variatios de f sur ; 6. 4 ) Tracer la courbe représetative de f pour x ; 6 das le pla rapporté à u repère orthoormé. Exercice 9 O cosidère la foctio f défiie sur ] ; + [ par f(x) = x l x ) Calculer f'(x) et étudier so sige. E déduire le ses de variatio de f. ) Tracer la courbe (C) représetative de f pour x [, ; 0]. ) Doer l'équatio de la tagete T à (C) e so poit d'abscisse e et tracer cette tagete. Exercice 0 O cosidère la foctio f défiie sur ]0 ; + [ par f(x) = [l (x)] + l (x) - ) Calculer f'(x) et étudier so sige. E déduire le ses de variatio de f. ) Justifier que l'équatio X + X - = 0 a deux solutios X et X que l'o détermiera. E déduire que l'équatio f(x) = 0 a deux solutios qui sot x = e - et x = e ) Doer le tableau des variatios de f sur l'itervalle [e - ; e]. 4 ) Tracer la courbe de f, das le pla rapporté à u repère orthoormé d'uité cm, pour x [e - ; e]. 5 ) Doer l'équatio de la tagete à la courbe au poit d'abscisse et tracer cette tagete sur le dessi. TES Logarithme Népérie page 4 / 6

5 Remarque Ue équatio de la forme x = k, d'icoue x ]0 ; + [, avec ]0; + [ et k ]0; + [ peut se résoudre e utilisat la foctio logarithme épérie. E effet o peut écrire : x = k l (x ) = l (k) l (x) = l (k) l (x) = O peut aussi résoudre e écrivat : x = k (x ) = k x = k Les deux expressios e Exercice l (k) x = e l (k) l (k) et k, même si elles sot différetes, représetet le même ombre. Pour chacue des équatios suivates, o fera la résolutio das ]0; + [ e détaillat les calculs, puis o doera ue valeur approchée à 0 - près de la solutio. x 0 = 54 ; x 48 = 7 ; ( + x) 0 = ; + x =,05 00 Exercice Das u pays doé, l'iflatio pour trois aées cosécutives est de : 6% ; 6 % ; 5%. Quel est le pourcetage d'augmetatio totale des prix sur les as? O appelle t le pourcetage d'augmetatio par aée qui coduirait sur as à la même augmetatio totale. Justifier que : + t =,06 x,6 x,05. E déduire la valeur de t (à près). Coclure. Exercice La populatio modiale a doublé etre 960 et 000. Quel a été le taux d'accroissemet moye auel? Exercice 4 Lorsqu'u alimet est igéré, la majorité des germes qu'il cotiet sot détruits par l'acidité de l'estomac. Mais si le ombre de bactéries est trop importat, u certai ombre de ces bactéries peuvet parveir aux itestis où elles se multipliet et libèret des toxies irritates provoquat ue iflammatio et ue diarrhée. C'est ue itoxicatio alimetaire. Les salmoelles sot des bactéries susceptibles de se trouver das la plupart des alimets que l'o cosomme. E foctio de la température de coservatio, le ombre de salmoelles das u alimet augmete. Lorsque ce ombre est élevé, le risque d'itoxicatio est grad, l'alimet deviet impropre à la cosommatio. À l'origie, das u certai alimet, le ombre de salmoelles par gramme est doé par ue valeur de référece : u 0 = 00 ) À ue température T, le ombre de salmoelles présetes das cet alimet augmete de 50% toutes les heures. O ote u le ombre de salmoelles par gramme au bout de heures passées à cette température T. a) Justifier que la suite (u ) est ue suite géométrique et doer sa raiso. E déduire l'expressio de u e foctio de. b) Calculer le ombre de salmoelles par gramme au bout de heures à la température T. c) L'alimet est déclaré impropre à la cosommatio à partir du momet où u = Justifier que l'équatio u = équivaut à = l 000 l,5 E déduire que l'alimet est impropre à la cosommatio au bout de 7 heures à la température T. l 000 ) a) Justifier que x x e b) À ue température T, le ombre de salmoelles présetes das cet alimet augmete de t% toutes les heures (t état u etier). E utilisat le )a) justifier que, pour pouvoir être cosommé après 7 heures à la température T, o doit avoir t 0, c'est-à-dire le ombre de bactéries e doit pas augmeter de plus de 0% par heure. TES Logarithme Népérie page 5 / 6

6 Exercice 5 O cosidère la foctio f défiie sur [; + [ par f(x) = x - l (x) x O ote (C) sa courbe représetative das u repère orthoormé (O ; i, j). ) Soit g la foctio défiie sur [ ; + [ par g(x) = x - + l (x) Motrer que la foctio g est positive sur [ ; + [. ) a) Motrer que, pour tout x de [ ; + [, f'(x) = g(x) x b) E déduire le ses de variatio de f sur [ ; + [. c) Étudier la positio de la courbe (C) par rapport à la droite D d'équatio y = x. Vérifier graphiquemet le résultat sur ue calculatrice. ) Pour tout etier aturel k supérieur ou égal à, o ote respectivemet M k et N k les poits d abscisse k de (C) et de D. a) Motrer que, pour tout etier aturel k supérieur ou égal à, la distace M k N k etre les poits M k et N k est doée par M k N k = l (k). k b) Compléter le tableau suivat (valeurs approchées à 0 - près) : p l (p) p E déduire qu'il existe au mois u etier p pour lequel la distace M p N p est iférieure à 0, c) Écrire u algorithme détermiat le plus petit etier q supérieur ou égal à pour lequel la distace M q N q soit iférieure ou égale à TES Logarithme Népérie page 6 / 6

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition.

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