1. VARIATION DE LA FONCTION RACINE CARREE POSITION RELATIVE DE FONCTIONS SOMME DES PREMIERS ENTIERS... 2

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1 1S Restitution Organisée de Connaissance - Table des matières 1. VARIATION DE LA FONCTION RACINE CARREE POSITION RELATIVE DE FONCTIONS SOMME DES PREMIERS ENTIERS SOMME DES PREMIERS TERMES D UNE SUITE GEOMETRIQUES DE 1 ER TERME EQUATION CARTESIENNE D UNE DROITE PRODUIT SCALAIRE ET COORDONNEES PRODUIT SCALAIRE ET PROJETE ORTHOGONAL PRODUIT SCALAIRE ET COORDONNEES ORTHOGONALITE DE DEUX VECTEURS COLINEARITE DE DEUX VECTEURS EQUATION DE CERCLES FORMULE DE DUPLICATION MOYENNE ET VARIANCE COEFFICIENTS BINOMIAUX Variation de la fonction racine carrée La fonction racine carrée est croissante sur [0,+ [. Une fonction est croissante lorsque : si % ' alors (%) (') On suppose donc que % et ' sont deux réels tels que 0 % ' donc % ' 0. % '/. % + '/ (%) (') = % ' = % + ' (%) (') = % ' 0 donc % ' % + ' La fonction est donc croissante sur [0; + [ Page 1 sur 6

2 2. Position relative de fonctions Pour tout [0; 16, 7 Pour tout [1; + [, 7 7 = ( 1) Pour donc ( 1) 0 soit 7 Pour donc ( 1) 0 soit 7 =. 1/ Pour donc Pour donc On pose > = (= 1) + = 2 > = 3. Somme des premiers entiers (= 1) + = = =(= + 1) (= 2) + (= 1) + = += + (= 1) + (= 2) > = (= + 1) + (= + 1) + + (= + 1) = =(= + 1) donc > 7 4. Somme des premiers termes d une suite géométriques de 1 er terme 1 si E 1 alors 1 + E + E = 1 E@AB 1 E si E 1 alors on pose > = 1 + E + E (1 E)> = > E> = 1 + E + E E E 7 E G = 1 donc > = BHIJKL BHI 5. Equation cartésienne d une droite Toute droite possède une équation cartésienne du type % + 'Q + R = 0 avec (%; ') (0; 0). Un vecteur directeur est alors STU. HV W / Soit X la droite de vecteur directeur STU. W V / qui passe par le point Y( Z; Q Z ). [(; Q) X Y[ TTTTTTU ] Z et STU _ % sont colinéaires Q Q Z^ '` '( Z ) %(Q Q Z ) = 0 ' ' Z %Q + %Q Z = 0 Page 2 sur 6

3 ' %Q ' Z + %Q Z = 0 Réciproquement : On note X l ensemble des points [(; Q) tels que % + 'Q + R = 0 avec (%; ') (0; 0) % 7 + ' 7 0 Soit Y _ HWc ; HVc d`, W d AV d W d AV donc Y _ HWc ; HVc W d AV d soit STU. HV W ' ]Q + % HWc W d AV d + ' HVc W d AV d + R = HWd c W d AV d + HVd c W d AV d + R = Hc.Wd AV d / W d AV d + R = 0 d` X W d AV HWeHc / et [(; Q) tels que % + 'Q + R = 0 Q = + %R Y[ TTTTTTU % f 7 + ' 7 Q + 'R g % 7 + ' 7 'R %R % 7 + ' 7^ % _ + % 7 + ' 7` = 'Q '7 R % 7 + ' 7 % %7 R % 7 + ' 7 = % 'Q (%7 + ' 7 )R % 7 + ' 7 = % 'Q R = 0 donc Y[ TTTTTTU et STU sont colinéaires donc X la droite de vecteur directeur STU qui passe par le point Y. 6. Produit scalaire et coordonnées Soit un repère orthonormé (0; iu; ju) et deux vecteurs STU _ Q` et ku ] Q ^ : STU. ku = m + QQ m STU _ Q` et ku ]m Q m^ STU = o 7 + Q 7 et ku = o 7 + Q 7 ku STU = o( m ) 7 + (Q m Q) 7 On sait que STU. ku = 1 2 ( STU 7 + ku 7 ku STU 7 ) STU. ku = 1 2 (7 + Q Q 7 ( m ) 7 (Q m Q) 7 ) V STU. ku = m + QQ m 7. Produit scalaire et projeté orthogonal Soit Y, q et r trois points quelconques, Si s le pied de la hauteur issue de r du triangle Yqr (s s appelle le projeté orthogonal de r sur (Yq)) alors Yq TTTTTU. Yr TTTTTU = Yq TTTTTU. Ys TTTTTTU : Yq TTTTTU. Yr TTTTTU = Yq TTTTTU..Ys TTTTTTU + sr TTTTTU/ = Yq TTTTTU. Ys TTTTTTU + Yq tuvuw TTTTTU. sr TTTTTU x = Yq TTTTTU. Ys TTTTTTU Page 3 sur 6

4 8. Produit scalaire et coordonnées Soit Yq[ un triangle, si y est le milieu de [Yq6 alors [Y 7 + [q 7 = 2[y Yq7 [Y 7 + [q 7 = [Y TTTTTTU7 + [q TTTTTTU 7 =.[y TTTTTU + yy TTTTU/ 7 +.[y TTTTTU + yq TTTTU/ 7 [Y 7 + [q 7 = [y TTTTTU 7 + 2[y TTTTTU. yy TTTTU + yy TTTTU7 + [y TTTTTU 7 + 2[y TTTTTU. yq TTTTU + yq TTTTU 7 [Y 7 + [q 7 = 2[y 7 + 2[y TTTTTU..yY TTTTU + yq TTTTU/ + ] qy TTTTTU^ + ] Yq TTTTTU^ [Y 7 + [q 7 = 2[y qy TTTTTU Yq TTTTTU7 [Y 7 + [q 7 = 2[y Yq7 9. Orthogonalité de deux vecteurs Deux vecteurs STU et ku sont orthogonaux si et seulement si STU. ku = 0. Soit [ et { tels que STU = [ TTTTTTU et ku = { TTTTTTU ku STU = { TTTTTTU [ TTTTTTU = { TTTTTTU + [ TTTTTTU = [ TTTTTTU + { TTTTTTU = [{ TTTTTTTU Condition nécessaire : Supposons que STU et ku soient orthogonaux et démontrons que STU. ku = 0 STU ku donc le triangle [{ est rectangle en d après le théorème de Pythagore : [{ 7 = [ 7 + { 7 STU. ku = 1 2 ( STU 7 + ku 7 ku STU 7 ) STU. ku = 1 2 ( [7 + { 7 [{ 7 ) = 0 Condition suffisante : Supposons que STU. ku = 0 et démontrons que STU et ku soient orthogonaux STU. ku = 0 = 1 2 ( STU 7 + ku 7 ku STU 7 ) = 1 2 ( [7 + { 7 [{ 7 ) = 0 donc [{ 7 = [ 7 + { 7 d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle [{ est rectangle en donc STU ku 10. Colinéarité de deux vecteurs Deux vecteurs STU et ku non nuls sont colinéaires si et seulement si STU. ku = ± STU ku. Page 4 sur 6

5 Condition nécessaire : Supposons que STU et ku sont colinéaires et démontrons que STU. ku = ± STU ku STU. ku = STU ku cos(stu, ku) STU et ku ont la même direction et le même sens alors (STU, ku) = 0 (2 ) donc cos(stu, ku) = 1 et donc STU. ku = STU ku STU et ku ont la même direction mais pas le même sens alors (STU, ku) = (2 ) donc cos(stu, ku) = 1 et donc STU. ku = STU ku Condition suffisante : Supposons que STU. ku = ± STU ku et démontrons que STU et ku sont colinéaires STU. ku = STU ku cos(stu, ku) = ± STU ku donc cos(stu, ku) = ±1 par conséquent (STU, ku) = 0 (2 ) ou bien (STU, ku) = (2 ) et donc STU et ku sont colinéaires 11. Equation de cercles L équation cartésienne du cercle C de centre Y( Z ; Q Z ) et de rayon est : donc ( Z ) 7 + (Q Q Z ) 7 = 7 [(; Q) C Y[ = Y[ 7 = 7 Y[ TTTTTTU. Y[ TTTTTTU = 7 Y[ TTTTTTU ] Z Q Q Z^ ( Z ) 7 + (Q Q Z ) 7 = 7 : 12. Formule de duplication cos(% ') = cos % cos ' + sin % sin ' Dans un repère orthonormé ( ; TU; i ju), On appelle Y et q les points du cercle trigonométrique tels que :.i TU; TTTTTU/ Y = % et.i TU; q TTTTTU/ = ' donc Y(cos % ; sin %) et q(cos ' ; sin ') Page 5 sur 6

6 % ' =.i TU; TTTTTU/ Y.i TU; q TTTTTU/ =.i TU; TTTTTU/ Y +. q TTTTTU; TU/ i =. q TTTTTU; TU/ i +.i TU; TTTTTU/ Y =. q TTTTTU; TTTTTU/ Y cos(% ') = cos. q TTTTTU; TTTTTU/ Y = q TTTTTU. Y TTTTTU q Y = q TTTTTU. Y TTTTTU cos(% ') = q TTTTTU. Y TTTTTU = cos % cos ' + sin % sin ' 13. Moyenne et variance (% + ') = % ( ) + ' (% ) = % 7 ( ) Soient % et ' deux réels quelconques : Valeurs de : ˆ B Š( = ˆ) Š( = B ) Š( = 7 ) Š( ) Valeurs de % + ' % B + ' % 7 + ' + (% + ') = (%ˆ + ')Š( = ˆ) = (% B + ')Š( = B ) ')Š( ) ˆŒB (% + ') = % ( ) + = % B Š( = B ) + 'Š( = B ) + + Š( = B@ ) + 'Š( ) = % B Š( = B ) + Š( = B@ )6 + 'Š( = B ) + + Š( )6 (% ) =.%ˆ (% )/ 7 Š( = ˆ) =.% B (% )/ 7 Š( = B ) + (% )/ 7 Š( ) ˆŒB =.% B % ( )/ 7 Š( = B ) + % ( )/ 7 Š( ) = _%. B ( )/`7 Š( = B ) + + ( )/`7 Š( ) (% ) = % 7 ( ) = % 7. B ( )/ 7 Š( = B ) + + % ( )/ 7 Š( ) = % 7. B ( )/ 7 Š( = B ) + ( )/ 7 Š( )Ž 14. Coefficients binomiaux Pour tout entier, 0 = 1 / est le nombre de chemin réalisant AB types : ] = ^ = _=` + _ = + 1` + 1 succès parmi = + 1 réalisations. Ces chemins sont de deux La 1 re réalisation est un succès, il y a donc ensuite succès parmi = réalisations /. La 1 re réalisation est un échec, il y a donc ensuite + 1 succès parmi = réalisations AB /, AB / =.@ / AB / Page 6 sur 6