Révision d algèbre et d analyse

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Révision d algèbre et d analyse"

Transcription

1 Révision d algèbre et d analyse Chapitre2 : Rappels de géométrie, courbes et surfaces Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mars 2011

2 suivant Chapitre II Rappels de géométrie, courbes et surfaces II.1 Produit scalaire, produit vectoriel,produit mixte II.2 Droites et plans II.3 Courbes du plan xoy II.4 Surfaces-Courbes dans l espace-equations II.5 Surfaces particulières II.6 Plan tangent à une surface, droite tangente à une courbe de l espace 46 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 2

3 chapitre section suivante II.1 Produit scalaire, produit vectoriel,produit mixte II.1.1 Produit scalaire II.1.2 Produit vectoriel II.1.3 Produit mixte Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 3

4 section suivant II.1.1 Produit scalaire Exercices : Exercice A.1.1 Sauf mention contraire on se place dans IR 3 muni d un repère orthonormé (O, ı, j, k) Soient U 1, U 2 et U des vecteurs de IR 3, a 1 U 1 = b 1, a 2 U 2 = b 2 a U = b. c 1 c 2 c Le produit scalaire de U 1 par U 2 est le réel défini par : U 1 U 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2. La norme (euclidienne) de U est définie par : U U =. U = a 2 + b 2 + c 2. On a la relation qui lie le produit scalaire et les normes : U 1 U 2 = U 1 U 2 cosθ, Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 4

5 section suivant où θ est l angle des vecteurs U 1 et U 2. Propriétés du produit scalaire U 1 U 2 = U 2 U 1, (α U 1 ) U 2 = α( U 1 U 2 ) Produit scalaire U 1 ( U 2 + U 3 ) = U 1 U 2 + U 1 U 3, ( U 1 U 2 ) 2 ( U 1 U 1 )( U 2 U 2 ) Proposition II.1.1. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Traiter l exercice de TD A.2.1. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 5

6 précédent section suivant II.1.2 Produit vectoriel Exercices : Exercice A.1.2 Exercice A.1.3 Soient U 1 et U 2 deux vecteurs de IR 3, le produit vectoriel de U 1 par U 2 est le vecteur défini par : a 1 U 1 = b 1, a 2 U 2 = b 2, U 1 b 1 c 2 c 1 b 2 U 2 = c 1 a 2 a 1 c 2. c 1 c 2 a 1 b 2 b 1 a 2 On admet les résultats suivants concernant la norme, la direction et l orientation du produit vectoriel : U 1 U 2 = U 1 U 2 sinθ où θ est l angle entre les vecteurs U 1 et U 2. Le vecteur U 1 U 2 est orthogonal à U 1 et U 2. L orientation de U 1 U 2 est telle que le trièdre ( U 1, U 2, U 1 U 2 ) soit direct. Il résulte de la propriété sur la norme du produit vectoriel que : Proposition II.1.2. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul. Propriétés du produit vectoriel U 1 U 2 = U 2 U 1, (α U 1 ) U 2 = α( U 1 U 2 ) Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 6

7 précédent section suivant U 1 ( U 2 + U 3 ) = U 1 U 2 + U 1 U 3 U 1 ( U 2 U 3 ) = ( U 1 U 3 ) U 2 ( U 1 U 2 ) U 3 Produit vectoriel Proposition II.1.3. La norme du produit vectoriel de U par V est égale à l aire du parallélogramme construit sur U et V. La proposition précédente est à démontrer en exercice. Traiter l exercice de TD A.2.2. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 7

8 précédent section II.1.3 Produit mixte Soient U, V et W trois vecteurs de IR 3. Le produit mixte de U, V, W est le scalaire défini par : ( U, V, W ) = ( U V ) W. U V W α h V U On démontre facilement que la valeur absolue du produit mixte est égale au volume du parallépipède construit sur U, V, W. En effet ce volume est égal à l aire d une base multipliée par la hauteur correspondante : v = a h On utilise les propriétés du produit vectoriel. L aire a de la base construite sur U et V, vaut a = U V. La hauteur h vaut W cosα, où α est l angle entre W et un Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 8

9 précédent section vecteur normal à la base, on peut choisir comme vecteur normal U V. On a donc obtenu : v = U V W cosα = ( U V ) W. Produit mixte Proposition II.1.4. Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul. En effet dans ce cas le parallépipède est "dégénéré", son volume est nul. Une autre propriété immédiate est que : ) ( ) ( ) U V W (, V, W =, W, U =, U, V = = ( V, U, W ) = ( U, W, V ) = ( W, V, U ) En effet le volume du parallépipède ne dépend pas de l ordre dans lequel on cite les vecteurs! En revanche les 6 produits mixtes ne sont pas égaux, en effet le signe de ( U, V, W ) est positif si le trièdre U, V, W est direct, il est négatif sinon. On obtient donc les égalités suivantes : ( ) ( ) ( ) U V W, V, W =, W, U =, U, V = Traiter l exercice de TD A.2.3. ( ) ( ) ( ) V U W =, U, W =, W, V =, V, U Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 9

10 section précédente chapitre section suivante II.2 Droites et plans II.2.1 Equation cartésienne des droites du plan xoy II.2.2 Intersection de droites du plan xoy II.2.3 Equations d un plan dans l espace II.2.4 Distance à un plan - Projection sur un plan II.2.5 Droites dans l espace II.2.6 Intersection d une droite et d un plan Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 10

11 section suivant II.2.1 Equation cartésienne des droites du plan xoy Exercices : Exercice A.1.4 Dans tout ce qui suit le plan est muni d un repère orthonormé (O, ı, j) L équation générale d une droite du plan peut se mettre sous la forme ax + by = c. Les coefficients a, b, c sont définis à une constante multiplicative près, mais on a toujours (a, b) (0, 0). Si b 0 on retrouve l équation des droites du plan xoy non parallèles à l axe Oy y = αx + β. Si b = 0, on retrouve l équation des droites du plan xoy parallèles à l axe Oy est x = γ. Un vecteur directeur de la droite d équation ax + by = c V = ( b, a). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 11

12 précédent section suivant II.2.2 Intersection de droites du plan xoy Pour étudier l intersection de deux droites D et D d équations respectives { ax + by = c a x + b y = c (II.2.1) il suffit de résoudre le système de deux équations (II.2.1), ce système a une solution unique si et seulement si ab a b 0. La solution unique donne alors les coordonnées de l unique point d intersection de D et D. Si ab a b = 0, les vecteurs directeurs V = ( b, a) et V = ( b, a ) sont colinéaires. On peut utiliser le produit vectoriel pour le vérifier, les vecteurs V et V sont dans le plan xoy, leur troisième composante est donc nulle, le produit vectoriel (orthogonal à xoy) a alors pour composantes (0, 0, a b + ab ). Lorsque V et V sont colinéaires, deux cas sont possibles pour les droites D et D : - D et D sont confondues, le système ( II.2.1) admet une infinité de solutions. - D et D sont parallèles non confondues le système ( II.2.1) n admet pas de solution. Traiter l exercice de TD A.2.4. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 12

13 précédent section suivant II.2.3 Equations d un plan dans l espace Dans tout ce qui suit l espace est muni d un repère orthonormé (O, ı, j, k) Un plan Π dans l espace Oxyz peut être défini de plusieurs façons : 1. Π est défini par un point M 0 de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) et un vecteur normal (non nul) N de composantes (a, b, c). On a donc M Π M 0 M. N = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0. On obtient une équation cartésienne de Π. Si on pose d = ax 0 + by 0 + cz 0, on retrouve l équation cartésienne générale d un plan (revoir l exercice A.2.1). : ax + by + cz = d. 2. Π est défini par un point M 0 de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) et deux vecteurs du plan non colinéaires U = (α, β, γ), U = (α, β, γ ), On a donc : M Π M 0 M = t U + t U x x 0 = tα + t α y y 0 = tβ + t β z z 0 = tγ + t γ x = x 0 + tα + t α y = y 0 + tβ + t β z = z 0 + tγ + t γ Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 13

14 précédent section suivant On obtient ainsi des équations paramétriques du plan Π, x 0, y 0, z 0, α, β, γ, α, β, γ sont des constantes caractéristiques du plan Π, t et t sont les deux paramètres qui varient quand le point M décrit le plan. On aurait pu également obtenir une équation cartésienne de Π en se ramenant au cas 1. Il suffisait de choisir N = U U. M Π M 0 M. N = 0 ( M 0 M, U, U ) = 0. Revoir le produit mixte, on traduit alors que les trois vecteurs M 0 M, U, U sont coplanaires. 3. Π est défini par trois points non alignés M 1, M 2, M 3. On peut se ramener au cas 1 en choisissant par exemple M 0 = M 1 et N = M 1 M 2 M 1 M 3, on traduit alors que les vecteurs M 1 M, M 1 M 2, M 1 M 3 sont coplanaires. On obtient une équation cartésienne de Π ( revoir l exercice A.2.3). On peut se ramener au cas 2 en choisissant par exemple M 0 = M 1, U = M 1 M 2, U = M 1 M 3, on obtiendrait des équations paramétriques de Π. Equations d un plan dans l espace Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 14

15 précédent section suivant II.2.4 Distance à un plan - Projection sur un plan Proposition II.2.1. Soit Π le plan d équation ax + by + cz = d, soit M 1, un point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ), la distance de M 1 à Π est égale à ax 1 + by 1 + cz 1 d a 2 + b 2 + c 2 Lorsque M 1 appartient au plan Π, ses coordonnées vérifient l équation du plan et on retrouve bien sûr que la distance de M 1 au plan est nulle. Proposition II.2.2. Soit Π le plan d équation ax + by + cz = d, soit M 1, un point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ), on note M 2 le point projection orthogonale de M 1 sur Π. Les coordonnées de M 2 sont données par les relations : x 2 = x 1 + λa y 2 = y 1 + λb z 2 = z 1 + λc avec λ = ax 1 + by 1 + cz 1 d a 2 + b 2 + c 2 En utilisant la proposition précédente on retrouve la distance de M 1 au plan Π, il suffit de calculer la norme de M 1 M 2. Démontrer les propositions précédentes en traitant les exercices de TD A.2.5 et A.2.6. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 15

16 précédent section suivant II.2.5 Droites dans l espace Exercices : Exercice A.1.5 Une droite D dans l espace Oxyz peut être définie de plusieurs façons : 1. D est définie par un point M 0 de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) et un vecteur directeur (non nul) V = (α, β, γ). On a alors les équations paramétriques de D : M D M 0 M = t V x = x 0 + tα y = y 0 + tβ z = z 0 + tγ. x 0, y 0, z 0, α, β, γ sont des constantes caractéristiques de D, t est le paramètre qui varie quans le point M décrit D. 2. D est définie comme intersection de deux plans non parallèles Π et Π d équations cartésiennes : { ax + by + cz = d a x + b y + c z = d avec, non colinéaires. On obtient naturellement les équations cartésiennes de D. Ces équations ne sont pas uniques, une droite est intersection d une infinité de plans, il suffit de choisir les équations de deux d entre eux. a b c a b c Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 16

17 précédent section suivant Attention, dans l espace y = αx+β n est pas l équation d une droite, c est l équation d un plan. De même x = γ est l équation d un plan. y = 2x dans l espace est l équation d un plan. y = 2x, z = 0 sont les équations d une droite qui appartient au plan précédent. Droites dans l espace Proposition II.2.3. Soit D la droite passant par le point M 0 et de vecteur directeur (non nul) V. La distance d un point M 1 à D vaut M 0 M 1 V V La proposition précédente est à démontrer en exercice. Traiter les exercices de TD A.2.7, A.2.8 et A.2.9. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 17

18 précédent section II.2.6 Intersection d une droite et d un plan Exercices : Exercice A.1.6 Si Π a pour équation ax + by + cz = d, si D a pour équations paramétriques x = x 0 + αt y = y 0 + βt z = z 0 + γt, t IR. On note N un vecteur normal à Π, V un vecteur directeur de D. Pour déterminer l intersection de D et Π, on remplace x, y et z, dans l équation de Π, par leur expression en fonction de t. L équation en t obtenue, admet une solution unique si V. N 0. On retrouve bien que si D n est pas parrallèle à (ni incluse dans) Π, la droite et le plan admettent un point d intersection unique. Si Π a pour équation ax + by + cz = d, si D a pour équations cartésiennes a x + b y + c z = d et a x + b y + c z = d, Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 18

19 précédent section l intersection de Π et D sera donnée par les équations ax + by + cz = d a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d Intersection d une droite et d un plan Lorsque ce système de trois équations à 3 inconnues (x, y, z) admet une infinité de solutions, la droite D est incluse dans le plan Π, lorsque le système n admet pas de solution, la droite D est parallèle à (non incluse dans) Π, lorsque le système admet une solution unique, cette solution fournit les coordonnées de l unique point d intersection de D et Π. Traiter l exercice de TD A Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 19

20 section précédente chapitre section suivante II.3 Courbes du plan xoy II.3.1 Equation d une courbe du plan xoy II.3.2 Coniques II.3.3 Vecteur tangent à une courbe paramétrée du plan xoy II.3.4 Tangente à une courbe du plan xoy définie par une équation implicite II.3.5 Tangente à une courbe du plan xoy définie par une équation explicite II.3.6 Etude des courbes paramétrées du plan xoy Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 20

21 section suivant II.3.1 Equation d une courbe du plan xoy Exercices : Exercice A.1.7 Exercice A Equations paramétriques d une courbe du plan xoy. Les équations paramétriques d une courbe du plan xoy sont données par : { x = α(t), t I IR. y = β(t) Par abus de notation on notera x(t), y(t) 2. Equation cartésienne implicite d une courbe du plan xoy. On dit qu une courbe C du plan xoy est définie par une équation cartésienne implicite s il existe une fonction f de IR 2 dans IR telle que : C = {(x, y) IR 2, f(x, y) = 0}. 3. Equation cartésienne explicite d une courbe du plan xoy. On dit qu une courbe C du plan xoy est définie par une équation cartésienne explicite s il existe une fonction φ de IR dans IR telle que : C = {(x, y), y = φ(x)}. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 21

22 section suivant Vous avez étudié un grand nombre de courbes données par leur équation cartésienne explicite, par exemple y = e x, y = 3x 2 + 5x Equation d une courbe du plan xoy Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 22

23 précédent section suivant II.3.2 Coniques Exercices : Exercice A.1.9 Le cercle fait partie de la famille des coniques. Ces courbes sont les différentes intersections possibles d un cône avec un plan. Plusieurs cas sont possibles : Ellipse d équation implicite x 2 a 2 + y2 = 1 où a, b sont deux réels positifs non nuls. b2 Hyperbole d équation implicite : ou x2 x 2 a 2 y2 = 1, où a, b sont deux réels positifs non nuls, b2 (II.3.1) a 2 + y2 = 1, où a, b sont deux réels positifs non nuls. b2 (II.3.2) Ces hyperboles ont pour asymptotes les droites d équation x 2 a 2 y2 b 2 = 0. Parabole d équation y = ax 2 + bx + c, a 0. Traiter l exercice de TD A (II.3.3) Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 23

24 précédent section suivant II.3.3 Vecteur tangent à une courbe paramétrée du plan xoy { x(t) Soit la courbe C dont les équations paramétriques sont : y(t). On veut étudier cette courbe localement au voisinage du point M 0. On rappelle que la droite tangente à C en M 0 est la position limite de la droite de vecteur directeur M 0 M quand M tend vers M 0 sur C. Or M 0 M a pour composantes (x(t) x(t 0 ), y(t) y(t 0 )). Ce vecteur est colinéaire au vecteur V de composantes ( (x(t) x(t0 ), (y(t) y(t ) 0). t t 0 t t 0 La limite du vecteur V quand t tend vers t 0 est donc le vecteur T de composantes (x (t 0 ), y (t 0 )). { x(t) Proposition II.3.1. Soit C la courbe dont les équations paramétriques sont : le vecteur T = ( x (t 0 ) y (t 0 ) ), s il n est pas nul, est tangent en M 0 à la courbe C. y(t), Par exemple le cercle du plan xoy de centre Ω = (a, b) et de rayon R a pour équations paramétriques : { x = a + R cos t, y = b + R sin t. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 24

25 précédent section suivant Un vecteur tangent T 0 en M 0 a pour composantes x (t 0 ) = R sin(t 0 ) = (y 0 b), y (t 0 ) = R cos(t 0 ) = (x 0 a). On retrouve la propriété bien connue : T 0 est orthogonal à ΩM 0. Il suffit d effectuer le produit scalaire pour s en convaincre. Vecteur tangent à une courbe paramétrée du plan xoy Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 25

26 précédent section suivant II.3.4 Tangente à une courbe du plan xoy définie par une équation implicite Théorème II.3.1. Soit la courbe C caractérisée par une équation cartésienne implicite : f(x, y) = 0. On suppose que f est différentiable en M 0. On note ( f N 0 = x (x 0, y 0 ), f ) y (x 0, y 0 ). On suppose que N 0 0, alors N 0 est un vecteur orthogonal à C en M 0, d où l équation de la droite tangente à C en M 0 : (x x 0 ) f x (x 0, y 0 ) + (y y 0 ) f y (x 0, y 0 ) = 0 (II.3.4) Démonstration. Un vecteur orthogonal à une courbe C en un point M 0 est un vecteur orthogonal au vecteur tangent à la { courbe en ce point. x = α(t) Si C a des équations paramétriques t I, on a donc y = β(t) α(t 0 ) = x 0, β(t 0 ) = y 0, f(α(t), β(t)) = 0 t I. On suppose que les fonctions α, β sont dérivables, donc la courbe C admet un vecteur tangent en M 0 qui est T 0 = ( α (t 0 ), β (t 0 ) ) Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 26

27 précédent section suivant Appelons g la fonction d une variable définie par g(t) = f(α(t), β(t)). Les résultats sur les dérivées des fonctions composées permettent de calculer la dérivée de g : g (t) = f x (α(t), β(t))α (t) + f y (α(t), β(t))β (t) Donc en particulier g (t 0 ) = T 0 N 0. Or f(α(t), β(t)) = 0 t g(t) = 0 t = g (t 0 ) = 0 T 0 N 0 = 0 On en déduit que le vecteur N 0 est orthogonal à T 0, c est à dire le vecteur N 0 est orthogonal au vecteur tangent à C au point M 0. Si on note D 0 la droite tangente à C au point M 0, on a donc : Tangente à une courbe du plan xoy définie par une équation implicite M D 0 M 0 M. N 0 = 0 (x x 0 ) f x (x 0, y 0 ) + (y y 0 ) f y (x 0, y 0 ) = 0. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 27

28 précédent section suivant II.3.5 Tangente à une courbe du plan xoy définie par une équation explicite Soit C une courbe du plan xoy dont l équation explicite est y = φ(x). On suppose que φ est dérivable. Soit M 0 un point de C. On sait que l équation de la droite D 0 tangente à C au point M 0 est : On peut redémontrer ce résultat : Si l on note y = φ (x 0 )(x x 0 ) + y 0. y = φ(x) y φ(x) = 0. f(x, y) = y φ(x), on a f x (x, y) = φ (x), f (x, y) = 1. y On utilise le résultat II.3.4 et on obtient l équation de la droite tangente. On aurait pu également utiliser les propriétés de la dérivée vues dans le chapitre "fonctions d une variable réelle". On sait que φ (x 0 ) est la pente de D 0, tangente à C au point M 0 = (x 0, y 0 ). On peut donc écrire M = (x, y) D 0 y y 0 = φ (x 0 ) y = φ (x 0 )(x x 0 ) + y 0. x x 0 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 28

29 précédent section II.3.6 Etude des courbes paramétrées du plan xoy On veut étudier et représenter { graphiquement une courbe du plan xoy dont les x(t) équations paramétriques sont : y(t). L étude se décompose en plusieurs étapes : 1. Etude des domaines de définition des fonction x et y : la courbe est alors définie sur l intersection de ces 2 domaines. 2. Etude des symétries éventuelles : Si la fonction x est paire et la fonction y est impaire, la courbe est symétrique par rapport à l axe Ox. On limite donc l étude à l intervalle [0, + [, puis on effectue la symétrie. Si la fonction x est impaire et la fonction y est paire, la courbe est symétrique par rapport à l axe Oy. On limite donc l étude à l intervalle [0, + [, puis on effectue la symétrie. Si la fonction x est paire et la fonction y est paire, l étude sur l intervalle [0, + [ permet d obtenir toute la courbe. Si la fonction x est impaire et la fonction y est impaire, la courbe est symétrique par rapport à O. On limite donc l étude à l intervalle [0, + [, puis on effectue la symétrie. Pour illustrer les propriétés précédentes faites une figure sur laquelle vous représenterez les points M(t) et M( t) dans chacun des cas cités. 3. Etude des variations : Si les fonctions x et y sont dérivables, on calcule leurs dérivées. On dresse un tableau de variation où figurent les signes de x, y et les Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 29

30 précédent section variations de x, y en fonction de t. 4. Etude des branches infinies : si lorsque t tend vers t 0 (ou vers l infini), x ou y tend vers l infini, on a une branche infinie. Plusieurs cas peuvent se présenter : Lorsque t tend vers t 0 (ou vers l infini), x tend vers l infini et y tend vers y 0. On a alors une asymptote horizontale d équation y = y 0. La position de la courbe par rapport à l asymptote se déduit immédiatement du tableau de variation. Lorsque t tend vers t 0 (ou vers l infini), x tend vers x 0 et y tend vers l infini. On a alors une asymptote verticale d équation x = x 0. La position de la courbe par rapport à l asymptote se déduit immédiatement du tableau de variation. Lorsque t tend vers t 0 (ou vers l infini), x tend vers l infini et y tend vers l infini. Il n est pas possible alors de conclure immédiatement. On doit effectuer une étude supplémentaire : Si y(t) tend vers l infini, on est dans le cas d une branche parabolique d axe x(t) Oy ou, ce qui est équivalent, d une direction asymptotique d axe Oy. Si y(t) tend vers 0, on est dans le cas d une branche parabolique d axe Ox ou, x(t) ce qui est équivalent, d une direction asymptotique d axe Ox. Si y(t) tend vers a réel non nul, on effectue une étude supplémentaire : x(t) Si y(t) ax(t) tend vers l infini et si on appelle la droite d équation y = ax, on est dans le cas d une branche parabolique d axe ou, ce qui est équivalent, d une direction asymptotique d axe. Si y(t) ax(t) tend vers b, on a une asymptote d équation y = ax + b. Cette fois-ci la position de la courbe par rapport à l asymptote n est plus immédiate, il faut étudier le signe de y(t) ax(t) b. Etude des courbes paramétrées du plan xoy Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 30

31 précédent section 5. Tracé de la courbe : on utilise toutes les informations recueillies précédemment. On peut également tracer les vecteurs tangents en certains points remarquables. Traiter l exercice de TD A Etude des courbes paramétrées du plan xoy Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 31

32 section précédente chapitre section suivante II.4 Surfaces-Courbes dans l espace-equations II.4.1 Equation paramétrique d une surface II.4.2 Equation cartésienne d une surface II.4.3 Equation d une courbe dans l espace Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 32

33 section suivant II.4.1 Equation paramétrique d une surface Exercices : Exercice A.1.10 La position d un point sur la sphère de centre O et de rayon R est caractérisée par la donnée des 2 paramètres : θ la longitude et φ la latitude. x = R cos φ cos θ y = R cos φ sin θ z = R sin φ, (θ, φ) = [0, 2π[ [ π 2, π 2 ]. z. M θ φ y Sommaire Concepts x Exemples Exercices Documents 33

34 section suivant De façon générale une surface peut être décrite par ses équations paramétriques. Définition II.4.1. Les équations paramétriques d une surface S sont de la forme : x = a(u, v) y = b(u, v), (u, v) IR 2. z = c(u, v) Equation paramétrique d une surface Dans tous les cas, la surface est décrite par 2 paramètres. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 34

35 précédent section suivant II.4.2 Equation cartésienne d une surface Exercices : Exercice A.1.11 Exercice A.1.12 On distingue 2 types d équation cartésienne, les équations implicites et les équations explicites. Définition II.4.2. On dit qu une surface S est définie par une équation cartésienne implicite s il existe une fonction f de IR 3 dans IR telle que : S = {(x, y, z) IR 3, f(x, y, z) = 0} Par exemple la sphère de centre Ω de coordonnées (a, b, c) et de rayon R a pour équation implicite (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 2. En effet cette équation traduit la propriété : le carré de la distance de M à Ω est égal au carré du rayon R. Définition II.4.3. On dit qu une surface S est définie par une équation cartésienne explicite s il existe une fonction φ de IR 2 dans IR telle que : S = {(x, y, z) IR 3, z = φ(x, y), (x, y) D IR 2 }. Dans la définition précédente on a exprimé explicitement z en fonction de x, y. On aurait des définitions similaires en privilégiant x ou y. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 35

36 précédent section suivant L équation explicite d une surface n est en fait qu un cas particulier d équation implicite ou d équation paramétrique : A partir d une équation explicite il est toujours possible de construire une équation implicite : z = φ(x, y) z φ(x, y) = 0. Equation cartésienne d une surface Une équation explicite est un cas particulier d équations paramétriques : x = u z = φ(x, y), (x, y) D y = v, (u, v) D. z = φ(u, v) Très souvent on ne change pas le nom et les 2 paramètres continuent de s appeler x, y. En revanche, le passage d équation implicite à équations paramétriques ou équation explicite est quelquefois difficile voire impossible. Il en est de même pour le passage d équations paramétriques à équation implicite ou équation explicite. Traiter l exercice de TD A Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 36

37 précédent section II.4.3 Equation d une courbe dans l espace Exercices : Exercice A.1.13 Exercice A.1.14 Là encore, plusieurs types d équation pour ces courbes : 1. Equations paramétriques d une courbe de l espace : Les équations paramétriques d une courbe de l espace sont données par : x = α(t) y = β(t) z = γ(t), t I IR. Par abus de notation on note (x(t), y(t), z(t)). Par exemple la courbe dont les équations paramétriques sont : x = a cos ωt y = a sin ωt z = ct où a, c, ω sont des réels fixés, est une hélice circulaire. 2. Equations cartésiennes d une courbe de l espace. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 37

38 précédent section Une courbe de l espace est l intersection de 2 surfaces. Donc une courbe de l espace est caractérisée par 2 équations de surfaces (implicites par exemple) : { f1 (x, y, z) = 0 f 2 (x, y, z) = 0 Equation d une courbe dans l espace { x + y + z = 1 Par exemple est l intersection de 2 plans, ce sont donc les équations cartésiennes d une droite. Le passage entre les équations cartésiennes et les x y + z = 1 équations paramétriques d une courbe n est pas toujours évident. Dans le cas d une courbe paramétrée on pourrait faire une démonstration similaire à celle effectuée pour les courbes paramétrées du plan xoy et on obtiendrait un vecteur tangent à la courbe C au point M 0 : T 0 = x (t 0 ) y (t 0 ) z (t 0 ) Traiter les exercices de TD A.2.14, A Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 38

39 section précédente chapitre section suivante II.5 Surfaces particulières II.5.1 Quelques surfaces classiques II.5.2 Surfaces de révolution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 39

40 section suivant II.5.1 Quelques surfaces classiques Cours : Surfaces de révolution Documents : Document B.1.1 Rappelons l équation cartésienne de quelques surfaces connues : Si (a, b, c) (0, 0, 0), ax + by + cz = d est l équation d un plan dont un vecteur normal est le vecteur N = (a, b, c) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2, R 0 est l équation d une sphère de centre Ω = (x 0, y 0, z 0 ) et de rayon R. En effet l équation précédente traduit la propriété : "la distance du point M de coordonnées (x, y, z) au point Ω est constante et égale à R", ce qui est bien la propriété caractéristique d une sphère. Dans l espace (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2, R 0 est l équation d un cylindre de révolution de rayon R, dont l axe a pour équations {x = x 0, y = y 0 }. En effet on a la propriété : "la distance du point M de coordonnées (x, y, z) à l axe est constante et égale à R", ce qui est bien la propriété caractéristique d un cylindre. Bien sûr, si le contexte indique que l on se trouve dans le plan xoy, l équation (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2, R 0 est l équation d un cercle. Les quadriques sont des surfaces dont l équation cartésienne est obtenue à partir d un polynôme de degré 2 (les variables sont x, y, z). On retrouve dans cette famille les surfaces classiques : sphères, cylindres, cônes et les surfaces un peu moins Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 40

41 section suivant classiques : paraboloïdes, hyperboloïdes, ellipsoïdes. (Voir les figures qui suivent et celles qui se trouvent dans le document référencé.) Pour l étude de certaines de ces surfaces voir le paragraphe de cours référencé. z z Quelques surfaces classiques y x y x x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 ellipsoïde cylindre Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 41

42 section suivant z z Quelques surfaces classiques y x y x x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 hyperboloïde à une nappe hyperboloïde à 2 nappes Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 42

43 section suivant z Quelques surfaces classiques z y y x x x 2 a 2 + y2 b 2 z = 0 x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0 paraboloïde cône Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 43

44 précédent section II.5.2 Surfaces de révolution Définition II.5.1. Une surface est dite de révolution autour d un axe si son intersection avec un plan quelconque perpendiculaire à est vide ou constituée d un ou plusieurs cercles centrés sur (un cercle peut être réduit à un point). Citons par exemple les sphères, les cônes, les cylindres, les tores. Nous allons retrouver ces surfaces et quelques autres maintenant. L étude d une surface S de révolution se fait en 2 étapes : On détecte que la surface est de révolution autour de en étudiant l intersection de S avec un plan quelconque perpendiculaire à, on doit trouver l ensemble vide, ou un (ou plusieurs) cercle(s) centré(s) sur. On détermine la nature de S en étudiant la courbe intersection de S avec un plan particulier contenant. Par exemple, étudions la surface S qui a pour équation x 2 +y 2 z 2 = 0. Cette surface est une quadrique. L intersection de S avec un plan quelconque perpendiculaire à Oz d équation z = c, est un cercle situé dans le plan z = c, de centre (0, 0, c) et de rayon c. Donc la surface est de révolution autour de Oz. On détermine l intersection de S avec un plan particulier contenant Oz : le plan yoz par exemple, on a donc x = 0, y 2 = z 2. On obtient ainsi 2 droites du plan yoz qui ont pour équation y = z et y = z. Donc la surface S est un cône d axe Oz et de sommet O Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 44

45 précédent section Traiter les exercices de TD A.2.16, A.2.17, A Surfaces de révolution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 45

46 section précédente chapitre II.6 Plan tangent à une surface, droite tangente à une courbe de l espace II.6.1 Plan tangent à une surface paramétrée II.6.2 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne 49 II.6.3 Vecteur tangent à une courbe dans l espace Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 46

47 section suivant II.6.1 Plan tangent à une surface paramétrée Exercices : Exercice A.1.15 La surface S est caractérisée par ses équations paramétriques : x = a(u, v) y = b(u, v) (u, v) D IR 2. z = c(u, v) On suppose que les fonctions a, b, c sont différentiables en (u 0, v 0 ), la surface est alors dite différentiable en M 0. Théorème II.6.1. Si la surface S est différentiable en M 0, si les vecteurs a u (u a 0, v 0 ) T 1 (M 0 ) = b u (u 0, v 0 ) c, v (u 0, v 0 ) T 2 (M 0 ) = b v (u 0, v 0 ) u (u c 0, v 0 ) v (u 0, v 0 ) ne sont pas colinéaires, il existe un plan P tangent à S en M 0. Ce plan contient M 0 et les vecteurs T 1 (M 0 ), T 2 (M 0 ). Si les composantes de N = T 1 (M 0 ) T 2 (M 0 ) sont (α, β, γ), l équation de P est α(x x 0 ) + β(y y 0 ) + γ(z z 0 ) = 0. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 47

48 section suivant Démonstration. Le plan tangent à une surface S en M 0 s il existe, est un plan qui contient les droites tangentes à toutes les courbes tracées sur S et passant par M 0. Admettons que, sous les hypothèses du théorème, ce plan tangent existe, il suffit maintenant de 2 vecteurs pour le caractériser. On définit les courbes C 1 et C 2 paramétrées par : C 1 : x 1 (u) = a(u, v 0 ) y 1 (u) = b(u, v 0 ) z 1 (u) = c(u, v 0 ), C 2 : x 2 (v) = a(u 0, v) y 2 (v) = b(u 0, v) z 2 (v) = c(u 0, v) Ces courbes sont tracées sur la surface S et elles passent par M 0. Un vecteur tangent à C 1 en M 0 est le vecteur de composantes (x 1 (u 0), y 1 (u 0), z 1 (u 0)), or ce vecteur est le vecteur T 1 (M 0 ). De même un vecteur tangent à C 2 en M 0 est le vecteur T 2 (M 0 ). Donc les vecteurs T 1 (M 0 ) et T 2 (M 0 ) sont deux vecteurs non colinéaires du plan tangent, ce qui définit complètement ce plan.. Plan tangent à une surface paramétrée Traiter l exercice de TD A Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 48

49 précédent section suivant II.6.2 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne Exercices : Exercice A.1.16 Théorème II.6.2. La surface S est caractérisée par une équation cartésienne implicite : f(x, y, z) = 0. On suppose que f est différentiable en M 0. On note ( f N 0 = x (x 0, y 0, z 0 ), f y (x 0, y 0, z 0 ), f ) z (x 0, y 0, z 0 ). On suppose que N 0 0, alors N 0 est un vecteur normal à S en M 0, d où l équation du plan tangent à S en M 0 : (x x 0 ) f x (x 0, y 0, z 0 ) + (y y 0 ) f y (x 0, y 0, z 0 ) + (z z 0 ) f z (x 0, y 0, z 0 ) = 0 Démonstration. Un vecteur normal à une surface en un point est un vecteur normal au plan tangent à la surface en ce point. Soit C une courbe tracée sur la surface S et qui passe par M 0. Si les équations x = α(t) paramétriques de C sont : y = β(t) t I, on a donc z = γ(t) α(t 0 ) = x 0, β(t 0 ) = y 0, γ(t 0 ) = z 0, f(α(t), β(t), γ(t)) = 0 t I. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 49

50 précédent section suivant On suppose que les fonctions α, β, γ sont dérivables, donc la courbe C admet un vecteur tangent en M 0 qui est α (t 0 ) T 0 = β (t 0 ) γ (t 0 ) Appelons g la fonction d une variable définie par g(t) = f(α(t), β(t), γ(t)). Puisque f est différentiable et que α, β, γ sont dérivables, la fonction g est dérivable. Les résultats sur les dérivées des fonctions composées permettent de calculer la dérivée de g : g (t) = f x (α(t), β(t), γ(t))α (t) + f y (α(t), β(t), γ(t))β (t) + f z (α(t), β(t), γ(t))γ (t) Donc en particulier g (t 0 ) = T 0 N 0. Or f(α(t), β(t), γ(t)) = 0 t g(t) = 0 t = g (t 0 ) = 0 T 0 N 0 = 0 On en déduit que le vecteur N 0 est orthogonal à T 0, c est à dire le vecteur N 0 est orthogonal au vecteur tangent à une courbe quelconque tracée sur S et passant par M 0. Ce vecteur N 0 est donc orthogonal au plan tangent à S en M 0, ce qui termine la démonstration. Théorème II.6.3. La surface S est caractérisée par une équation cartésienne explicite : z = φ(x, y), on suppose que φ est différentiable en (x 0, y 0 ) alors l équation du plan tangent à S en M 0 est : (x x 0 ) φ x (x 0, y 0 ) + (y y 0 ) φ y (x 0, y 0 ) (z z 0 ) = 0 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 50

51 précédent section suivant Traiter les exercices de TD A.2.20, A Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 51

52 précédent section II.6.3 Vecteur tangent à une courbe dans l espace Cours : Equation d une courbe dans l espace Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne On a déjà vu dans le paragraphe référencé que, dans le cas d une courbe paramétrée, on obtient facilement un vecteur tangent à C en M 0 : T 0 = x (t 0 ) y (t 0 ) z (t 0 ) Comment obtenir un vecteur tangent lorsque C est définie par deux équations cartésiennes : { f1 (x, y, z) = 0. f 2 (x, y, z) = 0 C est alors définie comme l intersection de deux surfaces S 1 et S 2, la droite D 0, tangente à C en M 0 est alors l intersection des plans tangents (quand ils ne sont pas confondus). Un vecteur directeur de cette droite tangente est en particulier orthogonal à chacun des vecteurs normaux, on peut donc obtenir T 0 = N 1 N 2. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 52

53 précédent section Lorsque les plans tangents ne sont pas confondus, les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires et le vecteur T 0 n est pas nul. Traiter l exercice de TD A Vecteur tangent à une courbe dans l espace Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 53

54 précédent suivant Annexe A Exercices A.1 Exercices du chapitre II A.2 Exercices de TD Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 54

55 chapitre section suivante A.1 Exercices du chapitre II A.1.1 Ch2-Exercice A.1.2 Ch2-Exercice A.1.3 Ch2-Exercice A.1.4 Ch2-Exercice A.1.5 Ch2-Exercice A.1.6 Ch2-Exercice A.1.7 Ch2-Exercice A.1.8 Ch2-Exercice A.1.9 Ch2-Exercice A.1.10 Ch2-Exercice A.1.11 Ch2-Exercice A.1.12 Ch2-Exercice A.1.13 Ch2-Exercice A.1.14 Ch2-Exercice A.1.15 Ch2-Exercice A.1.16 Ch2-Exercice Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 55

56 section suivant Exercice A.1.1 Ch2-Exercice1 Démontrer les propriétés du produit scalaire : 1. U 1 U 2 = U 2 U (α U 1 ) U 2 = α( U 1 U 2 ) U 1 ( U 2 + U 3 ) = U 1 U 2 + U 1 U 3 ( U 1 U 2 ) 2 ( U 1 U 1 )( U 2 U 2 ) retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 56

57 précédent section suivant Exercice A.1.2 Ch2-Exercice2 Démontrer les propriétés du produit vectoriel : 1. U 1 U 2 = U 2 U 1, (α U 1 ) U 2 = α( U 1 U 2 ) U 1 ( U 2 + U 3 ) = U 1 U 2 + U 1 U 3 retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 57

58 précédent section suivant Exercice A.1.3 Ch2-Exercice3 Montrer que U V est égal à l aire du parallélogramme construit sur les vecteurs U et V, on pourra s aider d une figure. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 58

59 précédent section suivant Exercice A.1.4 Ch2-Exercice4 Soit D la droite du plan xoy d équation ax + by = c avec (a, b) (0, 0). Soient M 1 et M 2 deux points distincts de D. On note U = (a, b). 1. Montrer que U. M 1 M 2 = En déduire que V = ( b, a) est un vecteur directeur de D. retour au cours Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 59

60 précédent section suivant Exercice A.1.5 Ch2-Exercice5 Soit D la droite qui passe par le point M 0 et qui a pour vecteur directeur non nul V, montrer que la distance d un point M 1 à D est égale à M 0 M 1 V V Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 60

61 précédent section suivant Exercice A.1.6 Ch2-Exercice6 Soit Π le plan d équation ax + by + cz = d, soit D la droite dont les équations paramétriques sont : x = x 0 + αt y = y 0 + βt, t IR. z = z 0 + γt Montrer que D et Π admettent un point d intersection unique si V. N 0, où N est un vecteur normal à Π, V un vecteur directeur de D. Que se passe-t-il si V. N = 0? Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 61

62 précédent section suivant Exercice A.1.7 Ch2-Exercice7 Donner les équations paramétriques d un cercle du plan xoy de centre (x 0, y 0 ) et de rayon R. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 62

63 précédent section suivant Exercice A.1.8 Ch2-Exercice8 Donner une équation cartésienne implicite d un cercle du plan xoy de centre (x 0, y 0 ) et de rayon R. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 63

64 précédent section suivant Exercice A.1.9 Ch2-Exercice9 Tracer l ellipse d équation x2 se passe-t-il quand a = b? + y2 a 2 b 2 = 1 où a, b sont deux réels positifs non nuls. Que retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 64

65 précédent section suivant Exercice A.1.10 Ch2-Exercice10 Donner des équations paramétriques de la demi-sphère définie par : (x 1) 2 + (y 2) 2 + (z + 1) 2 = 5, y 2. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 65

66 précédent section suivant Exercice A.1.11 Ch2-Exercice11 1. Donner une équation cartésienne implicite de la sphère de centre (3, 6, 1) et de rayon Donner l équation cartésienne implicite d un plan quelconque. 3. Donner une équation cartésienne implicite du cylindre d axe Oz et de rayon 5. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 66

67 précédent section suivant Exercice A.1.12 Ch2-Exercice12 Quelle est la surface dont l équation explicite est z = 4x + 3y 8? Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 67

68 précédent section suivant Exercice A.1.13 Ch2-Exercice11 Tracer la courbe dont les équations paramétriques sont : x = a cos ωt y = a sin ωt où a, c, ω sont des réels fixés, 0 t 2π ω z = ct Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 68

69 précédent section suivant Exercice A.1.14 Ch2-Exercice14 x = a cos ωt Déterminer un vecteur tangent en M 0 à l hélice d équation : y = a sin ωt z = ct Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 69

70 précédent section suivant Exercice A.1.15 Ch2-Exercice15 Ecrire les équations paramétriques d une sphère de centre O et de rayon R à l aide x = a(θ, φ) de la longitude θ et de la latitude φ sous la forme y = b(θ, φ). Soit M 0 un point de la z = c(θ, φ) sphère de latitude φ 0 et de longitude θ 0, on définit les courbes C 1, C 2 paramétrées par : x 1 (θ) = a(θ, φ 0 ) x 2 (φ) = a(θ 0, φ) C 1 : y 1 (θ) = b(θ, φ 0 ), C 2 : y 2 (φ) = b(θ 0, φ). Tracer les courbes C 1 et C 2 z 1 (θ) = c(θ, φ 0 ) z 2 (φ) = c(θ 0, φ) Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 70

71 précédent section Exercice A.1.16 Ch2-Exercice16 S est la sphére d équation implicite (x a) 2 +(y b) 2 +(z c) 2 R 2 = 0. Déterminer un vecteur normal à la sphère en M 0. On note Ω le point de coordonnées (a, b, c), retrouver le résultat bien connu : ΩM 0 est orthogonal à la sphère en M 0. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 71

72 section précédente chapitre A.2 Exercices de TD A.2.1 TD2-Exercice A.2.2 TD2-Exercice A.2.3 TD2-Exercice A.2.4 TD2-Exercice A.2.5 TD2-Exercice A.2.6 TD2-Exercice A.2.7 TD2-Exercice A.2.8 TD2-Exercice A.2.9 TD2-Exercice A.2.10 TD2-Exercice A.2.11 TD2-Exercice A.2.12 TD2-Exercice A.2.13 TD2-Exercice A.2.14 TD2-Exercice A.2.15 TD2-Exercice A.2.16 TD2-Exercice A.2.17 TD2-Exercice A.2.18 TD2-Exercice A.2.19 TD2-Exercice A.2.20 TD2-Exercice A.2.21 TD2-Exercice A.2.22 TD2-Exercice Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 72

73 section suivant Exercice A.2.1 TD2-Exercice1 Déterminer une équation du plan Π passant par le point M 0 de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) et perpendiculaire au vecteur N de composantes (a, b, c). Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 73

74 précédent section suivant Exercice A.2.2 TD2-Exercice2 1. Montrer que : U ( V W ) = α V + β W 2. Effectuer le produit scalaire avec U et en déduire que α = λ U W, β = λ U V 3. Calculer la première composante de U ( V W ) et en déduire λ. Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3 Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 74

75 précédent section suivant Exercice A.2.3 TD2-Exercice3 1. Soient M 1, M 2, M 3 3 points non alignés de coordonnées respectives (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3 ), déterminer une équation du plan passant par ces 3 points. 2. Application : (x 1, y 1, z 1 ) = (0, 2, 1), (x 2, y 2, z 2 ) = (1, 0, 1), (x 3, y 3, z 3 ) = (0, 0, 1) Réponse : 2x + y z 1 = 0. Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 75

76 précédent section suivant Exercice A.2.4 TD2-Exercice4 1. Tracer la droite D du plan xoy qui a pour équation 2x + 3y = Soit D la droite du plan xoy ayant pour équation 4x + by = c. Existe-t-il un (des) point(s) d intersection entre D et D? Quand il(s) existe(nt), caractériser leurs coordonnées. Discuter en fonction des paramètres b et c. Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 76

77 précédent section suivant Exercice A.2.5 TD2-Exercice5 1. On définit le plan Π passant par le point M 0 de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) et perpendiculaire au vecteur N. Soit M 1 un point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ) Montrer que la distance de M 1 à Π vaut M 0 M 1 N N 2. On définit le plan Π d équation ax + by + cz = d. Soit M 1 un point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ) Montrer que la distance de M 1 à Π vaut ax 1 + by 1 + cz 1 d a 2 + b 2 + c 2 Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 77

78 précédent section suivant Exercice A.2.6 TD2-Exercice6 Soit Π le plan d équation ax + by + cz = d. 1. Déterminer un vecteur N normal au plan Π. 2. Soit M 1 le point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ), on appelle M 2 la projection orthogonale de M 1 sur Π, déterminer les coordonnées de M En déduire la distance de M 1 à Π.Comparer avec le résultat obtenu dans l exercice A Déterminer les coordonnées de M 3 symétrique de M 1 par rapport à Π. Question 1 Aide 1 Aide 2 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 4 Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 78

79 précédent section suivant Exercice A.2.7 TD2-Exercice7 Soit M 0 un point de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ), V un vecteur non nul de composantes (α, β, γ), on appelle la droite passant par M 0 et de vecteur directeur V. Soit M 1 un point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ). On appelle M 2 la projection orthogonale de M 1 sur. On a alors M 0 M 2 = λ V, déterminer λ. En déduire les coordonnées de M 2. Réponse : M 0 M 2 = ( V V M 0 M 1 ) V. 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 79

80 précédent section suivant Exercice A.2.8 TD2-Exercice8 On définit les plans Π 1 d équation 3x+4y z = 8, Π 2 d équation x y+2z = 2. Montrer que ces plans ne sont pas parallèles. Utiliser le produit vectoriel pour déterminer un vecteur directeur V de la droite D intersection de Π 1 et Π 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 80

81 précédent section suivant Exercice A.2.9 TD2-Exercice9 1. Déterminer { un vecteur directeur de la droite D dont les équations cartésiennes x + y + z = 1 sont : x y + 2z = Trouver les coordonnées d un point particulier de D. 3. En déduire des équations paramétriques de D Question 1 Aide 1 Aide 2 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3 Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 81

82 précédent section suivant Exercice A.2.10 TD2-Exercice10 1. Soit Π un plan qui contient le point M 1 = (1, 1, 1) et dont un vecteur normal est N = (3, 4, 5). Soit D une droite passant par le point M 0 = (2, 4, 2) et dont un vecteur directeur est V = ( 1, 2, 1). Montrer que Π et D admettent un point d intersection unique dont on déterminera les coordonnées. 2. On suppose maintenant que N = ( 1, 2, 5). Etudier l intersection de D et Π. 3. On suppose maintenant que N = (1, 1, 1). Etudier l intersection de D et Π. Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3 Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 82

83 précédent section suivant Exercice A.2.11 TD2-Exercice11 1. Tracer les droites d équation x 2 a 2 y2 b 2 = Tracer les hyperboles d équation x 2 a 2 y2 = 1, où a, b sont deux réels positifs non nuls. b2 On pourra en particulier déterminer leurs points d intersection avec les axes. 3. Tracer les hyperboles d équation x2 a 2 + y2 = 1, où a, b sont deux réels positifs non nuls. b2 On pourra en particulier déterminer leurs points d intersection avec les axes. Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 83

84 précédent section suivant Exercice A.2.12 TD2-Exercice12 x(t) = Etudier la courbe dont les équations paramétriques sont : 3 t(t 2) y(t) = t2 3 t Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 84

85 précédent section suivant Exercice A.2.13 TD2-Exercice13 1. Est-ce que tout plan a une équation explicite de la forme z = φ(x, y)? Si oui, montrez le, si non donnez un contre-exemple. 2. Est-ce qu une sphère a une équation explicite de la forme z = φ(x, y)? 3. Donner une équation cartésienne explicite de la demi-sphère définie par : (x 1) 2 + (y 2) 2 + (z + 1) 2 = 5, y 2 Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 85

86 précédent section suivant Exercice A.2.14 TD2-Exercice14 On considère la courbe C intersection des 2 surfaces : S 1 = {(x, y, z) IR 3, x = u + v + 1 3, y = u 2v + 1 3, z = 2u + v + 1 3, (u, v) IR2 } S 2 = {(x, y, z) IR 3, x = u cos v, y = u sin v, z = u 2, u IR, v [0, 2π[} 1. Montrer que S 1 est un plan dont on déterminera un point et 2 vecteurs, en déduire l équation implicite de S Déterminer une équation implicite de S En utilisant les équations implicites précédentes, montrer que C est également l intersection d un cylindre et d un plan. 4. Utiliser la question précédente pour obtenir des équations paramétriques de C. Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 2 Aide 1 Question 3 Aide 1 Aide 2 Question 4 Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 86

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Repérage d un point - Vitesse et

Repérage d un point - Vitesse et PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Plan du cours : électricité 1

Plan du cours : électricité 1 Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

Michel Henry Nicolas Delorme

Michel Henry Nicolas Delorme Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables UNIVERSITÉ DE POITIERS Parcours Renforcé Première Année 2009/2010 Paul Broussous Fonctions de plusieurs variables Seconde version corrigée Table des matières 1. Un peu de topologie. 1.1. Distance euclidienne,

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Mais comment on fait pour...

Mais comment on fait pour... Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

TD: Cadran solaire. 1 Position du problème

TD: Cadran solaire. 1 Position du problème Position du problème On souhaite réaliser un cadran solaire à l aide d un stylet, de longueur a, perpendiculaire à un plan. (Le stylet n est donc pas orienté vers le pôle nord céleste). Ce cadran solaire

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007 Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril EXERCICE Commun à tous ls candidats Parti I points. L ax ds ordonnés st asymptot à C au voisinag d ; la fonction étant décroissant sur ] ; + [, la limit quand

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail