Séries de Fourier ! " I Introduction. II Rappels et compléments mathématiques. y t=t1 (0,1) (1,1) t(x,y) 0 t=0 (1,0)

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1 Uivrsité du Mi - Fcuté ds Scics Rtour Séris d Fourir Séris d Fourir I Itroductio Pour ccur crtis foctios o utiis dévoppmt séri d yor () f () f () où itrvit qu s opértios éémtirs +, -,, : Emps : p $, si $ 5 umériqumt : p( ) (ccutric ' ) si(5,) ) si(,8888rd) (, (ccutric ' 95) 5 5 Pour résoudr ds équtios différtis ou u dérivés prtis modéist ds probèms physiqus ( coustiqu, éctroiqu, méciqu, thrmodymiqu,) o utiis ds séris tièrs mis ussi ds séris trigoométriqus Fourir pour résoudr u probèm d propgtio d chur fut coduit u probèm mthémtiqu d dévoppmt séris d foctios d cosius t sius Emp : Soit u pqu crré d côté uité dot trois d ss côtés sot mitus à tmpértur zéro tdis qu qutrièm st mitu à tmpértur t A étt sttioir, tmpértur tout poit d pqu st doé pr : (,) y tt t(,y) (,) t cosm t(, y) si(m )sih(m y) msihm m t t t (,) II Rpps t compémts mthémtiqus II Covrgc simp t uiform - L suit d foctios f () covrg simpmt vrs foctio f() ( f () ' f() )qud : - L séri d foctios ' $ +, $ -D,, ( +,) t qu si ( +,) ors f () f() + f () covrg simpmt vrs foctio f() ( f () f() $ +, $ -D,, ( +,) t qu si ( +,) ors f () f() i + i ) qud : L covrgc st uiform qud, ds s défiitios ci-dssus, ombr dépd qu d + mis ps d Emps : - Soit suit d foctios f () défiis pr : f() sur [, ]

2 Uivrsité du Mi - Fcuté ds Scics Rtour Séris d Fourir / / f () $ +, i suffit d prdr ( + ) E( ) pour voir $ -,, f() + dès qu ( + ) + L suit f () covrg doc uiformémt vrs - - Soit suit d foctios f () défiis pr : f () sur [, ] O covrgc simp : ' si / t si ' Si covrgc étit uiform o urit, pour / : $ + E(( + ) ), $ -,, soit E (( + ) ) ( + ) ors + t o urit +, ( + ) t qu $ ( + ), f () f() + $ -, E(( + ) ) (cr ) + L foctio srit mjoré sur, C st fu doc hypothès st fuss t covrgc st ps uiform II Critèrs d covrgc d Cuchy Ls défiitios ci dssus sot ps fcimt utiisbs cr i fut coîtr imit, c qui st souvt diffici O dmttr s critèrs d Cuchy suivts qui prmttt d étudir covrgc ss coîtr imit pour covrgc simp d u suit : U coditio suffist pour qu suit d foctios f () covrg sur D st qu : $ + pour covrgc simp d u séri : U coditio suffist pour qu séri, $ -D,, ( +,) t qu, $ p,q ( +,), fp () fq() + f () covrg sur D st qu : q $ +, $ - D,, ( +,) t qu, $ q p ( +, ), fi () + ip+ pour covrgc uiform d u suit ou d u séri : L covrgc st uiform qud, ds s défiitios ci-dssus, ombr dépd qu d + mis ps d II Lmm d Rim-Lbsgu t théorèm d Diricht - Lmm d Rim-Lbsgu : Si f st cotiu pr morcu sur [, b] ors : b b j' j' im f()si(j)d im f()cos(j)d - héorèm d Diricht : Si f t f sot cotius pr morcu t si A st fii ors : A si(jt) im ' f( t) dt f( ) f( ) j A t III Séris d Fourir III But t itérêt L ys hrmoiqu du à Fourir pour but d simur puprt ds foctios périodiqus d périod (où 5 5 st pustio t fréquc) pr ds somms ifiis d foctios siusoïds d fréqucs mutips d : cos(5) b si(5 m (où m st moy d foctio sur ) )

3 Uivrsité du Mi - Fcuté ds Scics Rtour Séris d Fourir L trm d rg st fodmt t trm d rg ièm hrmoiqu L smb ds vurs d t b crctéris importc rtiv ds divrs hrmoiqus t costitu spctr d fréquc d foctio O motrr qu : f(u)cos( 5 u)du t b f(u)si( u) du 5 ( m t b ) L itérêt d c dévoppmt st qu o put ffctur pour puprt ds foctios rpréstt ds grdurs physiqus (sig, od,) héorèms : Si f t f sot du foctios à vurs rés, périodiqus d périod t cotius pr morcu sur R ors : m : f() u poits d cotiuité d f 9 u poits d 8 discotiuité d f cos(5) b si(5) f( ) f( ) Si f t f sot périodiqus d périod, f cotiu sur R t f cotiu pr morcu ors séri d Fourir ssocié à f covrg uiformémt vrs f III Démostrtio ds prssios dot s cofficits t b - héorèm dmis : Soit u séri d foctios s somm f st cotiu sur I t séri Démostrtio : Ls foctios f () cotius sur u itrv I Si séri f () st itégrb trm à trm, c st à dir : f (u)du) f(u)du ( f (u))du ( $, $ -I, f () st uiformémt covrgt sur I ors f() cos5 b si5 () sot cotius sur [,] O supposr qu séri m f () st uiformémt covrgt sur, Aors, $ p - : f(u)cos(p5u)du m cos(p5u)du cos(5u)cos(p5u) b si(5u)cos(p5u) du si(p5u) m cos(p5u)du m p5 E ffctut chgmt d vribs y u ( dy du ) o : (cr cosm(y ) ) cos(my) m ) f (u)cos(p5u)du ) p si( y)cos(py)dy cr si(y)cos(py) st u foctio impir d où : cos(y)cos(py) b si(y)cos(py) p f (u)cos(p5u)du ) cos(y)cos(py)dy cos( y)cos(py)dy cos( p)y cos( p)ydy si( p)y si( p)y Si A p : cos( y)cos(py)dy p p dy

4 Uivrsité du Mi - Fcuté ds Scics Rtour Séris d Fourir si(y) Si p, cos(y)cos(py)dy (cos(y) )dy y d où : p f (u)cos(p5u)du t f(u)cos(5u) du d mêm b f(u) si(5u) du III Démostrtio d covrgc ds séris d Fourir cotius pr morcu sur R Soit séri d Fourir cos(5) b si(5) ) Soit () cos(5) b si(5 S () S f(u) f(u) cos(5u)cos(5) si(5u)si(5) du 5 y cos (u ) du f( ) cos(y) dy y (u ) cos(y) iy iy iy iy iy iy ssocié à u foctio f t qu f t f soit périodiqus t m iy i( )y iy / i( / )y i( / )y iy iy / iy / iy / si( / )y si(y / ) m imy d où y si( / )y S() 5 f( ) dy 5 5 si(y / ) L foctio sous sig somm pour périod E fft y si( / )(y ) y si( / )(y) f( ) f( ) 5 y si( ) 5 si(y / ) d où y si( / )y S () f( ) dy 5 si(y / ) () () y cos(y / ) S () S () S () vc S ( ) () f( ) si(y) dy 5 si(y / ) t S ) () y f( )cos(y) dy 5 ( D près mm d Rim-Lbsgu si(y) S ( ) () g(y) dy vc y g t g sot cotius pr morcu sur () si(y) im S () im g(y) dy ' ' y () S () ' ' y y / g (y) f( )cos(y / ) 5 si(y / ), O put doc ppiqur théorèm d Diricht à S ) () g( ) g( ) g ( ) f( ) t g ) f( ) Fimt o obtit bi : III Propriétés d prité im S() ' cos(5) b si(5) f( ) f( ) - cs d u foctio f pir : b 5 f(u)si( u)du f(u)si(5u) du L foctio sius st impir doc f(u)si(5u) st impir t b st u ( :

5 Uivrsité du Mi - Fcuté ds Scics Rtour Séris d Fourir L séri d Fourir d u foctio pir st u séri d cosius - cs d u foctio f impir : f(u)cos(5u) du L foctio cosius st pir doc f(u)cos(5u) st impir t st u L séri d Fourir d u foctio impir st u séri d sius III 5 Spctr d fréquc cos(5 ) b si(5) A cos(5 B) vc : b - si A, A b t t( B ) ( B -, ) - si, A b t B A st mpitud t B phs d hrmoiqu d rg L spctr d fréquc st digrmm bâtos rpréstt grphiqumt foctio d ds R défii pr : ' A IV Emps IV Sig dts d sci séprés Soit f périodiqu d périod défii pr : : f() - / - f() -/ 9 f() / 8f() / y f st pir doc b f st cotiu doc s séri d Fourir covrg prtout vrs f() u f(u)du ( u)du u (d où m ) Si A f(u)cos( u)du ( u)cos( u) du E itégrt pr prtis t post : t u t dy cos( u) du o : ( u) si( u) ( ) si( u)du cos( u) cos( ) Si st pir : p ( A ) ors p cos( ) cos(p ) ) d où: : k si p k (k A ) p p ) 9 p k si p k + 8 (k ) Si st impir : k ors cos( ) d où : k (k ) Fimt : f () k (k ) cos((k ) ) cos((k ) )

6 Uivrsité du Mi - Fcuté ds Scics Rtour Séris d Fourir A / / /9 5 C DC 5 EF spctr d fréquc IV Sig dts d sci à fc vrtic Soit f périodiqu d périod défii pr : $ -,,f() f st impir doc $ f st cotiu pr morcu f() y -/ / : I 8 cos(5u) cos(5u) b 5 9 f(u)si( u)du u ) du H G : I 8 cos( ) si(5u) ) b 9 H 5 5 d où : 8 G ) : f() si(5) 9 8 V Form comp d séri d Fourir si A k si k i5 i5 i5 i5 S cos5 b si5 b i ib i5 ib i5 S ib i5u f(u)(cos(5u) isi(5u))du f(u) du t b- b d où post c ib o c c t c ib f(u) i5u du i 5 d où 5 i c c S, t fimt : VI Egité d Prsv i5 S c VI Eocé Si f t f sot périodiqus d périod t cotius pr morcu sur R ors : (f(u)) du ( b )

7 Uivrsité du Mi - Fcuté ds Scics Rtour Séris d Fourir VI Démostrtio pour ds foctios cotius ous vos dmis qu si f st cotiu t f cotiu pr morcu ors séri d Fourir ssocié à f covrg uiformémt vrs f t qu ors ctt séri st itégrb trm à trm ' ' I résut qu im f() S () d im f() S () d f () S () d f() S() f()s() d S () d d cos(5)d b si(5) d,' ' b ' cos(5)cos(' 5)d b' cos(5)si(' 5)d $ $ J' / (d'près III) si(5)cos(' 5)d bb' si(5)si(' 5)d $ $ J / (d'près III) ' S () d ( b ) f ()S()d f()d f()cos(5)d b f()si(5)d ( b ) S() d I résut qu : d f() d ( b ) () S () d f() S() f L prmir mmbr td vrs zéro qud td vrs ifii d où : f () d ( b ) t égité d Prsv VI Itrpréttio physiqu L puissc P d u sig éctriqu, périodiqu d périod modéisé pr u foctio f st doé pr : P (f(u)) du Ccu d puissc trsporté pr ièm hrmoiqu : - Si P M P K du O L du - Si P cos(5u) b si(5u) cos (5u) b si (5u) b cos(5u)si(5 u) du P ( cos(5u)) b cos(5u)) b si(5 u) du P cos( 5u)du si(5u)du Doc : P ( b )du ( b )

8 Uivrsité du Mi - Fcuté ds Scics Rtour Séris d Fourir D où, d près égité d Prsv : P P L puissc d u sig modéisé pr u foctio f st ég à somm du crré d moy d f t ds puisscs d touts s hrmoiqus Pus géérmt, crré d vur fficc d f st ég à somm ds crrés ds vurs fficcs ds trms d so dévoppmt d Fourir VI Appictios à ds séris umériqus Emp du sig dts d sci à fc vrtic : - f(u) du - ( b ) 8 u du u D où, d près égité d Prsv : 9 VII Dérivtio ds séris d Fourir VII héorèm Soit f u foctio t qu f, f t f soit d périod t cotius pr morcu Soit,,, d- s poits d discotiuités d f ds, t t d Soit Q k f(k ) f(k ) ( / k / d) s suts d foctio sur u périod (évtumt us t ) Si cos(5) b si(5) f( ) f( ) Aors ' cos(5) b' si(5) f'( ) f'( ) ' d d vc: ' 5b Qk cos(5k ) t b' si( ) 5 Qk 5 k k k VII Démostrtio Ls dévoppmts séri d Fourir d f t f istt puisqu f, f t f sot cotius pr morcu ' f'(u)cos(5u) du t b ' f'(u)si(5u) du,, R d, d d où ' d k f(u)cos(5u) 5 k k d k k k f'(u)cos(5u)du k k f(u)si(5u)du d ' 5b f(k ) cos(5k ) f(k ) cos(5k ) k d ' 5b f( k ) f(k ) cos( k ) f( $ d )cos( d ) f( )cos( ) k d d ' 5b k k k k 5 k k k f( ) f( ) cos(5 ) 5b Q cos( ) D mêm pour b

9 Uivrsité du Mi - Fcuté ds Scics Rtour Séris d Fourir VII Appictio u sig dts d sci à fc vrtic Ds,, foctio dmt u su discotiuité :, f ( ), f ( ) doc Q ' Qcos() A ) ) ) ' )cos( ) f'( ) f' ( ) d où : O pouvit obtir c résutt ss ccu cr $ A k,f'() ' Q si( ) b VII Appictio u sig dts d sci séprés L foctio st cotiu sur R doc o put dérivr dirctmt dévoppmt : cos((k ) ) cos((k ) ) f() (k ) k k (k si((k ) ) si((k ) ) ) k (k si((k ) ) si((k ) ) ) f'( ) f' ( ) y VIII Itégrtio ds séris d Fourir VIII héorèm Soit f u foctio t qu f t f soit d périod t cotius pr morcu L séri d Fourir d f cos(5) bsi(5) f( ) f( ) put êtr itégré trm à trm : f(u)du du cos(5u)du + b si(5u)du b ( ) (si( ) - si( )) - (cos( ) - cos( )) VIII Démostrtio Soit f t f périodiqus t cotius pr morcu L dévoppmt d Fourir d f ist Soit f(u)du t F () (f(u) )du

10 Uivrsité du Mi - Fcuté ds Scics Rtour Séris d Fourir F ( ) F() (f(u) )du F st doc périodiqu, cotiu t F'() f() st cotiu pr morcu F st doc dévoppb séri d Fourir t : A F () A cos(5) B si(5) A F () A cos(5) B si(5) F étt cotiu o, pour A, 5B t b 5A d où : F () A (cos(5) cos(5 )) B (si(5) si(5 )) b () (cos(5) cos(5)) (si(5) si(5 )) 5 5 F t ( f(u)du du b (si5 si5) (cos5 cos5 ) 5 5 VIII Appictio u sig dts d sci à fc vrtic ) : f() si(5) 9 8 si A k si k X u $ -,, f(u)du ) si(5u)du ) ) cos(5) ) cos(5) 5 $ -,,g() Soit foctio périodiqu g défii pr : g() / - -/ / / So dévoppmt séri d Fourir st : () ) cos(5) g ( O put vérifir qu cosius ) ) st moy d g O rmrqu qu g st pir t qu so dévoppmt st bi séri d IX Appictio à résoutio d équtio ds cords vibrts IX Probèm O étudi mouvmt ds u p d u cord vibrt éstiqu, fié à ss du trémités t d oguur qud st u rpos L éogtio d cord u poit t à istt t st doé pr foctio u(, t) D pr s sigifictio physiqu, u st u foctio cotiu

11 Uivrsité du Mi - Fcuté ds Scics Rtour Séris d Fourir u(,t) Ls ois d physiqu motrt qu u(,t) st soutio d équtio u dérivés prtis : S u S u c (dit équtio ds cords vibrts) St S où c, st tsio t dsité iéir d cord u(, t) stisfit u coditios u imits : u(, t) u(, t) Su L positio t vitss iitis u(, ) t (,) d chqu poit d cord formt s coditios iitis St IX Résoutio d équtio ds cords vibrts IX ) Séprtio ds vribs O chrch u soutio sous form u (,t) f()g(t) E rportt ds équtio ds cords vibrts, i vit : d g f() (t) c dt d f ()g(t) d d g d f (t) () E divist pr u : dt c d g(t) f() L prmir mmbr st u foctio d t t scod u foctio d t t sot ds vribs idépdts doc s du trms d ctt égité puvt êtr qu costts D où : d f d g () Uf() t (t) Uc g(t) d dt IX b) Itroductio ds coditios u imits détrmitio d f : u(, t) u(, t) V f() f() k k - Si U, U k t f() A B k k Ls coditios u imits impiqut : A B t A B Cci trî A B doc f () Ctt soutio rprést u cord immobi - Si U, f() A+B Cci trî ussi A B doc f() - Si U, U k t f () A si(k) Bcos(k) Ls coditios u imits impiqut : f() B t f() Asi(k) D où : k ( - ) t f() A si( ) détrmitio d g : d g c c (t) c g(t) d où g t) D si( t) (t) C cos( dt détrmitio d u(, t) : c c u (,t) si( ) cos( t) W si( t) out suprpositio ds soutios éémtirs st cor soutio d équtio ds cords vibrts, c-ci étt iéir D où : c c u (,t) si( ) cos( t) W si( t) C st u foctio périodiqu t t :

12 Uivrsité du Mi - Fcuté ds Scics Rtour Séris d Fourir L - périod L st, soit L c - périod t st, soit c c Scht qu : si( )si( t) cos( ( ct)) cos( ( ct)) t c si( )cos( t) si( ( ct)) si( ( ct)) o obtit : u(, t) W si( ( ct)) cos( ( ct)) W si( ( ct)) cos( ( ct)) IX c) Itroductio ds coditios iitis Su u (,) si( ) t c (,) W si( ) St c Su t W sot s cofficits d Fourir rspctifs ds foctios u(, ) t (,) Lur périod st t doc : St u(y,)si( y) dy E post : w () W cos( ) o : u (,t) u( ct,) u( ct,) w( ct) w( ct) Su '() W si( ) (, ) c St Su t W (y,)si( y) dy c St Su w doc w () (y,)dy A c St S d où : ct u u (,t) u( ct,) u( ct,) (y,)dy c ct St L éogtio d cord u poit à istt t st coditioé pr s éogtios iitis u poits -ct t +ct C corrspod à propgtio d du ods à vitss c ds du dirctios opposés