Trigonométrie circulaire

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1 EPF - Lausae Scieces de la Vie Formulaire Aalse II 03 Trigoométrie circulaire Formules d additio : si( + ) = si cos + cos si ta( + ) = cos( + ) = cos cos si si ta + ta ta ta Formules de bissectio : si ( ) = cos cos ( ) = + cos ta ( ) = cos + cos Epressios de si, cos et ta e foctio de ta( ) : si = ta( ) + ta ( ) cos = ta ( ) + ta ( ) ta = ta( ) ta ( ) Formules de trasformatio somme-produit : cos + cos = cos( + si + si = si( + ) cos( ) cos( Formules de trasformatio produit-somme : + ) cos cos = si( ) si( ) + ) si si = cos( ) si( ) cos cos = [ cos( + ) + cos( ) ] cos si = [ si( + ) si( ) ] si si = [ cos( + ) cos( ) ] Trigoométrie hperbolique Défiitios : sih = e e Formules d additio : cosh = e + e tah = e e e + e cosh sih = sih( + ) = sih cosh + cosh sih tah( + ) = cosh( + ) = cosh cosh + sih sih tah + tah + tah tah Formules de bissectio : sih ( ) = cosh cosh ( ) = cosh + tah( ) = cosh sih = sih cosh +

2 EPF - Lausae Scieces de la Vie Formulaire Aalse II 03 Ellipses et Hperboles Das le pla, la courbe d équatio a + b = avec a > b > 0 est ue ellipse de cetre, de grad ae de logueur a et de petit ae de logueur b. La courbe d équatio b + a = avec a > b > 0 est ue ellipse de cetre, de grad ae de logueur a et de petit ae de logueur b. La courbe d équatio a b = est ue hperbole de cetre, d ae réel et d ae imagiaire. La pete des asmptotes vaut ± b a La courbe d équatio a b = est ue hperbole de cetre, d ae réel et d ae imagiaire. La pete des asmptotes vaut ± a b

3 EPF - Lausae Scieces de la Vie Formulaire Aalse II 03 Dérivée de quelques foctios f() f () f() f () f() f () arcsi sih cosh arg sih + arccos cosh sih arg cosh arcta + tah cosh arg tah arccot + coth sih arg coth Développemet limité de quelques foctios f() Développemet limité de f() au voisiage de 0 ( + ) α o ( ) o ( ) e si cos ta sih cosh tah l( + ) + +! + +! + o ( ) 3 3! + 5 5! + + ( ) + ( + )! + o ( +)! + 4 4! ( ) 6! ()! + o ( +) o ( 8) + 3 3! + 5 5! ( + )! + o ( +) +! + 4 4! + 6 6! + + ()! + o ( +) o ( 8) ( )+ 4 + o ( )

4 EPF - Lausae Scieces de la Vie Formulaire Aalse II 03 Séries de Talor de quelques foctios f() Séries de Talor de f() autour de 0 ( + ) α + e si cos sih cosh l( + ) = = ( < ) ( <, α R) + +! + +! + =! ( R) 3 3! + 5 5! ( ) ( + )! + = ( ) + ( + )!! + 4 4! ( ) 6! ()! + = ( ) + 3 3! + 5 5! ( + )! + = + ( + )! +! + 4 4! + 6 6! + + ()! + = ()! ( )+ 4 + = = ()! + ( ) ( R) ( R) ( R) ( R) ( < ) Itégratio : quelques chagemets de variable stadards Soiet R(u) ue epressio ratioelle e u, ou R(u, v) ue epressio ratioelle e u et v. f() R (e ) R (cosh, sih ) R (, a ) R (, + a ) chagemet de variable t := e t := e := a si t := a sih t R (, a ) := a cosh t, a R (si, cos ) t := ta t := si t := cos t := ta ( )

5 EPF - Lausae Scieces de la Vie Formulaire Aalse II 03 Epressio du N jet j N r 0 f( r ) e dimesio j N r 0 f( r ) = f( r 0 ) + f( r 0 ) r + ( r )T H( r 0 ) r + + α =N α! N f α... α ( r 0 ) ( ) α... ( ) α, avec α = (α,, α ), α i N 0, α = α + + α, α! = α! α! α! et r = (,, ). Coordoées clidriques et coordoées sphériques Coordoées clidriques Epressio des coordoées cartésiees e foctio des coordoées clidriques : = ρ cos ϕ ϕ ρ P (,, ) P (ρ, ϕ, ) = ρ si ϕ =. Epressio de dv = d d d e coordoées clidriques : dv = d d d = ρ dρ dϕ d. Coordoées sphériques Epressio des coordoées cartésiees e foctio des coordoées sphériques : = r cos ϑ cos ϕ ϕ r ϑ P (,, ) P (r, ϑ, ϕ) = r cos ϑ si ϕ = r si ϑ. Epressio de dv = d d d e coordoées sphériques : dv = d d d = r cos ϑ dr dϑ dϕ.

6 EPF - Lausae Scieces de la Vie Formulaire Aalse II 03 ED liéaire à coefficiets costats o-homogèe : recherche d ue solutio particulière à l aide du bo asat Notatio : p(λ) : polôme caractéristique p k (t), q l (t) : des polômes de degré k respectivemet l doés r k (t) = ρ k t k + + ρ t + ρ 0 respectivemet s l (t) = σ l t l + + σ t + σ 0 : des polômes de degré k (respectivemet l ) dot il faut détermier les coefficiets A, B : C, D : des costates doées des costates à détermier b(t) bo asat p k (t) si p(0) 0 : r k (t) = ρ k t k + + ρ t + ρ 0 si 0 est u éro de p(λ) de multiplicité m : t m r k (t) A e α t si p(α) 0 : C e α t si α est u éro de multiplicité m de p : C t m e α t e α t p k (t) si p(α) 0 : e α t r k (t) = e [ ] α t ρ k t k + + ρ t + ρ 0 si α est u éro de multiplicité m de p : t m e α t r k (t) A cos(β t) si p(iβ) 0 : C cos(β t) + D si(β t) A si(β t) si iβ est u éro de multiplicité m de p : A cos(β t) + B si(β t) t m [ C cos(β t) + D si(β t) ] A e α t cos(β t) si p(α ± iβ) 0 : C e α t cos(β t) + D e α t si(β t) A e α t si(β t) si α ± iβ est u éro de multiplicité m de p : A e α t cos(β t) + B e α t si(β t) t m [ C e α t cos(β t) + D e α t si(β t) ] [ e α t p k (t) cos(β t) + si p(α ± iβ) 0 : e α t [ r N (t) cos(β t) + s N (t) si(β t) ] ] + q l (t) si(β t) où N = ma{k, l} si α ± iβ est u éro de multiplicité m de p : t m e α t [ r N (t) cos(β t) + s N (t) si(β t) ] où N = ma{k, l}

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