CH I Diviseurs d un entier. PGCD. Algorithme d Euclide.

Transcription

1 CH I Diviseurs d un entier. PGCD. Algorithme d Euclide. A) Diviseurs d un entier naturel Les diviseurs de 35 sont 1 ; 5 35 ; 7 1. Diviseurs d un nombre entier non nul Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 72 ; 36 ; 24 ; 18 ; 12 ; 9 B) Division euclidienne dividende D diviseur d quotient entier q On écrit la division euclidienne en ligne : 89 = 7 x Soit Dividende = Diviseur x quotient + reste reste r reste < diviseur C) Remarques 1. Vocabulaire 5 est un diviseur de 35 5 divise est un multiple de 5 35 est divisible par 5 2. Propriété Tout nombre entier autre que 0 et 1 a au moins 2 diviseurs : 1 et lui même. 3. Critères de divisibilité Il faut savoir reconnaître vite un nombre divisible par 2 ; par 3 ; par 5 ; par 9 ; par 10 ou 100 ou (voir page 2) Sinon, il faut faire la division euclidienne.

2 Divisibilité Par 2 : Un nombre est divisible par 2 lorsqu il se termine par 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou est divisible par = 2 x n est pas divisible par 2. Par 3 : Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table des est divisible par 3. ( = 3 ) et 102 = 3 x n est pas divisible par 3. ( = 13 ) Par 4 : Un nombre est divisible par 4 lorsque le nbre formé par les 2 derniers chiffres est dans la table des est divisible par 4. ( en effet, 24 est dans la table des 4 ) Pour trouver le quotient, on divise le nombre deux fois de suite par : 2 = 62 et 62 : 2 = 31 donc 124 = 4 x n est pas divisible par 4. ( 34 n est pas dans la tables des 4 ) Par 5 : Un nombre est divisible par 5 lorsqu il se termine par 0 ou est divisible par = 5 x n est pas divisible par 5. Par 9 : Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table des est divisible par 9. ( = 18 ) et = 9 x n est pas divisible par 9. ( = 10 ) Par 10 ou 100 : Un nombre est divisible par 10 ou 100 ou lorsqu il se termine par 0 ou 00 ou ou par est divisible par = 10 x est divisible par 10 et aussi par = 10 x = 100 x 35 Par 25 : Un nombre est divisible par 25 lorsqu il se termine par 00 ou 25 ou 50 ou est divisible par 25. Pour trouver le quotient, on utilise le fait qu il faut 4 fois 25 pour faire = / 300 = 12 fois 25 et 50 = 2 fois 25 donc 350 = 14 x 25

3 2. Diviseurs communs à deux entiers A) Exemple Diviseurs de 48 : Diviseurs de 72 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 48 ; 24 ; 16 ; 12 ; 8 72 ; 36 ; 24 ; 18 ; 12 ; 9 Diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 B) Définition 1 Parmi les diviseurs communs, il en existe un plus grand que les autres qu'on appelle le PGCD. Notation : PGCD ( 72 ; 48 ) = 24 Les autres diviseurs communs sont les nombres qui divisent le PGCD. C) Définition 2 Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Exemple : 48 et 72 ne sont pas premiers entre eux. 13 et 14 sont premiers entre eux D) Propriété Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux est une fraction irréductible. Pour obtenir directement la fraction irréductible égale à une fraction donnée, on divise ses termes par leur PGCD.

4 3. Savoir trouver le PGCD par soustractions successives. Savoir trouver le PGCD par divisions successives A) Propriété 5 est un diviseur de 35 et est aussi un diviseur de = 65 Si un entier en divise deux autres, il divise aussi leur différence. B) Utiliser l algorithme par soustractions Quel est le PGCD de 646 et 187? Raisonnement : Le PGCD est un diviseur de 646 et 187. Il divise aussi leur différence : = 459 Le PGCD est donc un diviseur de 459 et 187. Il divise aussi leur différence : = etc... Voici les soustractions : Ligne = 459 Ligne = 272 Ligne = 85 Ligne = 102 Ligne = 17 Ligne = 68 Ligne = 51 Ligne = 34 Ligne = 17 Ligne = 0 On s arrête lorsque le reste devient 0. PGCD ( 646 ; 187 ) = = 17 x = 17 x 11 C) Utiliser l algorithme par divisions Les lignes 1 ; 2 et 3 peuvent se remplacer par la division euclidienne de 646 par : 187 = 3 ( reste 85 ) ou 646 = 187 x Voici les divisions euclidiennes : Ligne = 187 x Ligne = 85 x Ligne 3 85 = 17 x On s arrête lorsque le reste devient 0. Le PGCD est le dernier reste non nul. PGCD ( 646 ; 187 ) = = 17 x = 17 x 11 Cette fois-ci, 3 lignes suffisent. La méthode est plus rapide. Cette méthode s appelle l algorithme d Euclide.

5 4. Savoir utiliser le PGCD pour réduire une fraction dont les termes sont très grands Calculons le PGCD par l algorithme d Euclide : Simplifier la fraction = 324 x = 234 x = 90 x = 54 x = 36 x PGCD ( 558 ; 324 ) = = 18 x = 18 x 18 Donc : = = = 18 x Savoir résoudre un problème nécessitant la recherche d un PGCD Pierre a gagné 336 sucettes et 238 caramels à un jeu. N étant pas gourmand de bonbons, il décide de les donner à des amis. Il ne veut pas faire de jaloux : même nombre de sucettes et même nombre de caramels. Et il veut tout donner. Combien d amis, au maximum, pourront bénéficier de sa générosité? Réponse Les amis reçoivent le même nombre de sucettes et il n'en reste plus, donc leur nombre est un diviseur de 336. Les amis reçoivent le même nombre de caramels et il n'en reste plus, donc leur nombre est aussi un diviseur de 238. Ils doivent être un maximum donc leur nombre est le PGCD de 336 et 238. Cherchons ce PGCD à l aide de l algorithme d Euclide. Ligne = 238 x Ligne = 98 x Ligne 3 98 = 42 x PGCD( 336 ; 238 ) = = 14 x = 14 x 17 Ligne 4 42 = 14 x Pierre peut distribuer ses bonbons entre 14 de ses amis. Chacun recevra 24 sucettes et 17 caramels.