Limites et continuité des fonctions

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1 TD Limites et cotiuité des foctios La défiitio Eercice : E utilisat la défiitio de la limite, motrer ue : a lim 0 +4 = ; b lim ++3 = +. + Eercice : Étudier la limite de la foctio suivate e0 : { R R f : +. Eercice 3 : O cosidère la foctio défiie par : { R R f : si Q Détermier deu suitesu etv covergeat vers0telle ue N, fu = ; fv =. Q Supposos uef admette ue limite fiie l e 0. Quelle est alors la limite de la suitefu 0? de la suitefv 0? Q 3 La foctio f admet-elle ue limite e0? Eercice 4 : [corrigé] Motrer ue la foctio suivate admet pas de limite ea = + : f : { R R cos+si. Eercice 5 : ** Soitf : R R défiie par f = si Q etf = + si R Q. Motrer ue la foctio admet pas de limite e0. Si la foctio admet ue limite e, uelle est-elle? E reveat à la défiitio, motrer ue la foctio a ue limite e. Eercice 6 : [corrigé] Soit f ue foctio T périodiue défiie sur R possédat ue limite fiie e +. Motrer ue R, N;f = f+t. Motrer uef est costate.

2 Limites usuelles Eercice 7 : [corrigé] Calculer les limites suivates : lim + l l l lim sh3 + sh6 3 lim cosl lim l + 5 lim + 5 e Eercice 8 : [corrigé] Détermier les limites e+ des foctios suivates : a f = ; b f = + ; Eercice 9 : [corrigé] Soit f : R R cossi. Calculer la limite def ea = +. Eercice 0 : O ote F la primitive sur R + de la foctio défiie par f = ui s aule e 0, +3 dt c est à dire F = 0 +t 3. Q Motrer uef est strictemet croissate surr +. E déduire uef admet ue limite e+. Q Q a Motrer ue :, Q b E déduire ue pour, dt +t 3 arcta π 4. Q c E déduire pour tout 0 : F + π, puis uef admet ue limite fiie e+. Eercice :. Éocer le théorème de la limite mootoe.. Soitf : R + R telle ue : f est croissate et f est décroissate. Motrer uef est cotiue. Cotiuité d ue foctio sur u itervalle Eercice : [corrigé] Détermier les valeurs deaetbpour ue la foctio défiie par : +a si < 0 f = +b si = 0 b+a sio soit cotiue e0. Eercice 3 : [corrigé] Étudier la cotiuité sur R des foctios ci-dessous : a f = cos si 0, etf0 = 0 ; b f = sisi si 0, etf0 = 0. Eercice 4 : [corrigé] Soit ue foctio f défiie sur u itervalle I. Ue foctio est k-lipschitziee si elle vérifie :,y I, f fy k y. Q O rappelle ue R, si. Motrer ue si est lipschitziee sur[0; + [. Q Motrer u ue foctio k lipschitziee est cotiue.

3 Prologemet par cotiuité Eercice 5 : Les foctios suivates sot-elles prologeables par cotiuité au poitaidiué :. f = ea = 0 +e. f = 3 3 ea = 3 puisa = 3. f = l ea = f = e 5. f = ea = e a =. Eercice 6 : Soit f la foctio défiie par : { f = si > f = 3+si < Q Étudier les limites def e + et e. Peut-o prologerf par cotiuité e? Q Mêmes uestios e. Éuatios foctioelles. Eercice 7 : [corrigé] * Trouver toutes les foctios f : R R cotiues e 0 et telles ue R,f3 = f. + Eercice 8 : [corrigé] Soit f : R R cotiue et telle ue pour tout R, f = f. Soit la suiteu 0 défiie par : N;u + = u + etu 0 =. Détermier ue epressio simple deu e foctio deet, puis calculer lim u. + Motrer ue pour tout N,f = fu. Coclure. Das les eercices sur les suites de ombres réels, o a motré ue pour tout réel, il eiste ue suite de ombres ratioels ui coverge vers. Autremet dit, pour tout réel, il eiste ue suite de ratioels ui coverge vers ce réel. Eercice 9 : [corrigé] ** Soiet f et g deu foctios cotiues défiies sur R et coicidat sur Q. Motrer uef = g. Eercice 0 : [corrigé] * Soitf : R R ue foctio cotiue telle ue Soita = f. Q Détermierf0. ;y R f+y = f+fy E. Q Calculer f pour tout N, puis pour Z. Q 3 Calculer fr pour toutr Q. Q 4 Soitu ombre réel. E cosidérat ue suiter de ratioels covergeat vers, démotrer ue f = a. Q 5 E déduire l esemble des foctios vérifiat E. 3

4 Théorèmes des valeurs itermédiaires et autres. Eercice : [corrigé] Démotrer ue toute foctio polyomiale réelle de degré 3 admet au mois ue racie réelle. Eercice : Motrer ue l éuatio ta = admet ue ifiité de racies réelles. Eercice 3 : S Soitf : [a,b] [a,b] cotiue, motrer uef possède u poit fie, c est à dire : α [a;b];fα = α. Soitf : [a,b] R cotiue. Motrer u il eistec [a,b] tel ue5fc = fa+3fb 3 Soitf : [0,] R cotiue et vérifiatf0 = f Motrer u il eisteα [0, ] tel uefα+ = fα. Eercice 4 : Ue voiture part de Bordeau à l istat t = 0 et atteit Moissac à l istat t = après avoir parcouru 80km. O ote f la foctio ui à t [0; ] associe la distate parcourue par la voiture. O suppose uef est cotiue. Démotrer u il eiste deu villesaetb distates de90km telles ue la voiture mette eactemet ue heure pour aller deaàb. Pour cela, o cosidère la foctio :g : t ft+ ft. O distiguera les cas :f = 90 ouf > 90 etf < 90. Eercice 5 : [corrigé] Motrer u ue foctio défiie surr, cotiue et périodiue est borée. Eercice 6 : [corrigé] Soit f : R R ue foctio borée et g : R R ue foctio cotiue. Motrer uef g est borée. Motrer ueg f est borée. Eercice 7 : [corrigé] Soit f : [a; b] R ue foctio cotiue et strictemet positive. Motrer u il eistec > 0 tel ue : [a;b],f c. Eercice 8 : * Soit f : R + R cotiue. O suppose ue lim + f = l R. Motrer ue f est borée surr. Foctios à valeurs dasc. Eercice 9 : Soit f : R C ue foctio à valeurs complees. Démotrer si f est cotiue alors la foctio f : R R est cotiue. Démotrer ue la réciproue est fausse. Eercice 30 : [idicatios] t Si est u réel strictemet positif, calculer lim. t 0 t r t e iθt Soitz u ombre complee de module o-ulr et d argumetθ. Démotrer ue la limitel = lim t 0 t eiste et la calculer. Que vaut e l? 4

5 Idicatios et solutios du TD Idicatios t Eercice 30 : = l etl et peser tl au calcul de limites par tau d accroissemet. Calculer les limites des parties réelles et imagiaires. Pour la partie réelle, o l écrira sous la forme r t cost + cost. E utilisat la uestio précédete et e pesat à ouveau au calcul t t de limite par tau d accroissemet, o e déduit ue l = lr+iθ et doc e l = z. Correctio de l eercice 4 : Comme d habitude, preos les deu suites π 0 et π+π 0 admettat+ comme limite. De plus,fπ = + et fπ +π = +. Par la caractérisatio séuetielle de la limite, o e déduit ue f admet pas de limite e+. Correctio de l eercice 6 : Ce résultat est immédiat puisue si f est T périodiue alorsf estt périodiue. NotosL = lim + f. O sait ue la suite+t admet + comme limite e +. Par propriété, la suite f + T 0 ted alors vers L. Cepedat, cette suite est costate égale àf. Doc f = L. Ceci état vrai pour tous les réels, o e déduit ue f est costate. Correctio de l eercice 7 : l l l = e [l] = el elll l ll e l l/ l Or lim + /l = 0 par croissaces comparées. Par compositio, o e déduit : lim + l/ l = +. Par produit : lim + l l/ l = +. Efi, par compositio,lim + l l l = +. sh3 = e3 e 3 sh6 e 6 e = 6 e 3 e 6 e. e Par limites usuelles,lim 6 + =. Par coséuet, lim = 0. e sh3 + sh6 3 lim cosl = par produit de limites usuelles l = l. Par croissaces = l comparées, lim + = 0. Par produit de limites,lim + l = e est ue croissace comparée : 0 e. O sait { lim + = + ue X lim 0 X + = 0parCC. e X Aisi,lim + 5 e = 0. Correctio de l eercice 8 : a Pour tout, et d autre part : < + >, d où l ecadremet : <. Ce ui doe e divisat par > 0 : ]0; + [, <. Or lim = doc par théorème d e- =. cadremet, b f = lim + + lim + +. Toujours par ecadremet, = 0 ce ui doe : lim Correctio de l eercice 9 : + f =. Le problème de cette foctio est la foctio cos. O remarue ue R, f si. Or cette derière admet0pour limite e+. Par le théorème de l ecadremet,f admet ue limite e+, égale à0. Correctio de l eercice : Par opératios usuelles, lim 0 f = a,lim 0+ f = a. La foctio f est cotiue e 0 si et seulemet si f admet ue limite e 0 ce ui éuivaut ici à a = a = + b a = 0,b =. Correctio de l eercice 3 :. Cette foctio est cotiue sur R e tat ue produit de foctios cotiues ui le sot. De plus, R, cos. Par le théorème de l ecadremet, lim 0 cos = 0 = f0. La foctio f admet doc ue limite fiie e 0 et elle est par défiitio cotiue e 0. Fialemet, elle est cotiue surr.. Même pricipe. Cette foctio est cotiue sur R e tat ue produit de foctios cotiues ui le sot. De plus, R, sisi si. Par le théorème de l ecadremet,lim 0si/ si = 0 = f0. La foctiof admet doc ue limite fiie e0et elle est cotiue e 0. Fialemet, elle est cotiue surr. Correctio de l eercice 4 :

6 Idicatios et solutios du TD g coverge versg.. O calcule si siy = cos +y si y. E passat à la limite das l égalité, o obtiet f = g. Par coséuet, Ceci état vraie pour tout réel, o e déduit ue les foctios f et g sot égales. y. si siy si y Aisi,si estlipschitziee. y. Soit a I. Motros ue f est cotiue e a, autremet dit u elle admet ue limite e a. O remarue ue I, f fa a. Par le théorème de l ecadremet, f admet ue limite eaégale àfa. Par défiitio,f est cotiue e a. Ceci état vrai pour tout a apparteat à I,f est cotiue suri. Correctio de l eercice 7 : O vérifie ue R, N,f = f. Par cotiuité de la foctiof e0et puisue 0, par passage 3 3 à la limite das l égalité, o obtietf = f0. O a doc motré ue si f vérifie les coditios demadées alors f est ue foctio costate. La réciproue est immédiate, mais ecore faut-il le dire. L esemble des foctios est : { R R a ;a R } Correctio de l eercice 0 : Soita = f. Q E utilisat la relatio vérifiée parf, o a R,f+ 0 = f+f0 f0 = 0. Q O motre par récurrece ue N,P : f = f. P 0 est vraie par. Supposos ue P est vraie pour u rag N. Motros alors ue P + est vraie. O a f + = f +f d après la relatio E. Par P, o e déduit uef+ = f+f = + f. AisiP + est vraie. Par le théorème de Récurrece, o e déduit 0,f = f. Soit alors Z N. Alors N et f = f. De plus, d ue part, f = f + f et d autre part, f = f0 = 0. Aisi, f = f = f = f. Correctio de l eercice 8 : O recoait ue suite liéaire d ordre. Le poit fie est l = l+ l =. O pose N,v = u. u + Alors, N,v + = = u = v. Cette suite est doc géométriue de raiso/. Par v0 [ ] propriété, N,v = / = / [ ]. u = + / Puisue la raiso positive est strictemet iférieure à, o e déduit u. Par récurrece, o établit ce résultat. Puisue f est cotiue surr, elle est cotiue e. Par propriété,fu coverge doc vers f. Par passage à la limite das l égalité précédete, o obtiet f = f. Ceci état vrai pour tous les réels, o e déduit ue la foctio est costate. Correctio de l eercice 9 : Soiet f et g deu foctios cotiues défiies sur R et coicidat surq. Motrer uef = g. Soit R. O sait ue la suite est ue suite de ratioelles covergeat vers. Or,f = g. De plus, les foctios f et g sot cotiues. Par propriété, f coverge versf et Fialemet, Z, f = f. Q 3 Soit r Q. Alors p; Z N,r = p. O obtiet :fr = f p = p f par la uestio précé- dete. Reste à calculer f. O utilise ue f = f = a d ue part ou f = f. Fialemet, f = a et o e déduit ue fr = p f = ra. Q 4 Soit u ombre réel. Soit r 0 ue suite de ratioels covergeat vers. O a fr = r f. Puisue f est ue foctio cotiue et ue r, o e déduit par propriété ue fr f. Par passage à la limite das l égalité précédete, o obtiet f = a. Q 5 ANALYSE. Si f est cotiue et vérifie E alors a R, R,f = a. SYNTHESE. Il est immédiat de vérifier ue les foctios liéaires précédetes vérifiet l éuatioe. CONCLUSION. L esemble des foctios solutios dee est : Correctio de l eercice : { R R a ;a R }

7 Idicatios et solutios du TD Fios Z et étudios l éuatio sur l itervalle] π + π; π +π[. O pose :g = ta. HYPO O a lim π +π + g = et lim g = +. Doc, π +π par propriété, g est égative au voisiage de π +π et aisi il eiste A > + π +π tel uega 0. De même,g est positive au voisiage de π +π et aisi il eisteb < π +π tel ue gb 0. HYPO g est cotiue sur l itervalle] π +π; π +π[. Par le théorème des valeurs itermédiaires, il eiste doc u réelc ] π +π; π +π[ tel uegc = 0. Ceci état vraie pour tout Z, et état doé ue Z,c < π + π < c+, o e déduit u il eiste ue ifiité de solutios de l éuatiota =. Puisue f est cotiue sur le segmet [a; b], d après le théorème de Weierstrass ou des bores atteites, o sait u il eisteα [a; b] tel ue :fα = if{f; [a; b]}. Aisi, [a; b], f fα. Or fα > 0 car f est strictemet positive sur [a; b] par hypothèse. E posat : c = fα o e déduit le résultat demadé. Correctio de l eercice 3 : Soit f : [a,b] R cotiue. O cherche si il eiste c [a,b] tel ue5fc = fa+3fb fc fa+ 5 3 fc = 0. O poseg : f. fa+ 3 fc Puis, utilisez le théorème des valeurs itermédiaires. 3 De même, o pose : g : f + f. Puis, utilisez le théorème des valeurs itermédiaires. Correctio de l eercice 5 : SoitT la période def. Alorsf est cotiue sur le segmet [0;T]. Par le théorème de Weierstrass, la foctio est borée et atteit ses bores. Aisi M R, f M. De plus, R, Z, T [0;T]. Doc, f = f T M. Ceci état vraie pour tout réel, o e déduit uef est borée surr. Correctio de l eercice 6 : Q La foctio f est borée, doc : M R, y R, fy M. Aisi, R,g R fg M. O a motré : M R, R, f g M. Par propriété, la foctiof g est doc borée. Q La foctio f est borée, doc : M R, y R, fy M etfr [ M;M] ce ui impliue ue : gfr g[ M;M]. Par le théorème de Weierstrass, g état cotiue sur [ M;M], o e déduit ue : g[ M; M] est u itervalle fermé boré. Doc : m,m R, [ M;M],m g M. Par coséuet, g f est ue foctio borée. Correctio de l eercice 7 :