Introduction aux ondes gravitationnelles

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1 Université de Caen Introduction LMNO aux ondes gravitationnelles C. LONGUEMARE 20 mai 2014 version 2.0. ce modeste travail, malgré ses imperfections, est dédié à ma très chère compagne de toujours dont c est l anniversaire aujourd hui.

2 Plan 1. Electrostatique et gravitation statique 2. Action des forces électriques et gravitationnelles 3. Généralisations relativistes 4. Géodésiques 5. Les sources des champs EM et GR 6. Les ondes électromagnétiques 7. Les ondes gravitationnelles 8. Vers une théorie lagrangienne de la gravitation 9. Le photon et le graviton (d après Feynman) 10. Extensions - conclusions 11. Annexe 1 Constantes et conventions 12. Annexe 2 Equation des ondes gravitationnelles 13. Annexe 3 Géodésiques 0-a

3 Electrostatique et gravitation-statique Modalités de l interaction classique Le champ de la source V = K ρ pour une source ponctuelle figure 1 E ou g = grad V V = K 4πr Q ou M L action sur la cible : la force classique K = ϵ 1 0 ou = G F = q E = q grad V ou F = m g = m grad V Le lagrangien du principe de moindre action : A = L dt L = 1 2 mv2 (U(x) + mc 2 ) U(x) = qv ou = mv da = L dt = mc ds avec ds = (c 2 2U m ) dt2 dx 2 1

4 Action des forces relativistes La force électromagnétique de Lorentz sur la charge q d p = F = qe + q v B dt Equations relativistes avec c = 1 ds 2 = dτ 2 = dt 2 dx 2 L intervalle de temps "propre" sur une trajectoire dτ = 1 v 2 dt soit dt = γdτ La 4-vitesse sur une trajectoire v µ = dx µ = (γ, γ v) : p µ = m v µ dτ La loi dynamique : dp µ dτ = F µ avec F µ v µ = O 2

5 Action des forces électromagnétiques Le potentiel électromagnétique A µ = (V (x), A(x)) Le tenseur électromagnétique à 6 composantes ( E et B) : F µν = µ A ν ν A µ (1) E i = (F i0 ) B k = ( F ij ) si ϵ ijk = 1 La force électromagnétique dp µ dτ = F µ = q F µν v ν (2) ẍ µ = ( q m F µν) ẋ ν avec ẋ = dx dτ formulation non covariante (dans le laboratoire) F i = q (F i0.v 0 + F ij.v j ) d p dt = q ( E + v B) 3

6 Action des forces gravitationnelles Hypothèses : celles de la géométrie différentielle de Riemann : une métrique symétrique définie en tout point M de la variété. ds 2 = g µν (x) dx µ dx ν 0 dm = e µ dx µ Notation : µ O = O,µ Le symbole de Christoffel Γ µ νρ de µ = Γ ρ µν dx ν e ρ ou ė ρ = Γ µ ρν ẋ ν e µ noté également Γ µ ρν = 1 2 gσµ ( g σν,ρ + g σρ,ν g ρν,σ ) = Γ µ νρ et obéissant à l équation 2 g σµ Γ µ ρν = ( g σν,ρ + g σρ,ν g ρν,σ ) 4

7 Equation des géodésiques : annexe 3 Equation d Euler-Lagrange : soit A = 2 1 f(x, ẋ, τ) dτ dτ La distance parcourue d f = ( f ẋ ) = f x g µν (x) x µ x ν L équation de Euler-Lagrange g µν ẍ ν ( g ρν,µ + g µν,ρ + g µρ,ν ) ẋ ν ẋ ρ = d ln(f) dτ g µν ẋ ν Si τ s alors f = 1 g µν ẍ ν = 1 2 ( g ρν,µ + g µν,ρ + g µρ,ν ) ẋ ν ẋ ρ ẍ µ = Γ µ ρν ẋ ν ẋ ρ 5

8 En résumé L action des forces E M avec ẋ = dx dτ ẍ µ = ( q m F µν) ẋ ν (3) q m F q A m x q m (A ν,µ A µ,ν ) L action des forces G R ẍ µ = g µσ Γ σ ρν ẋν ẋ ρ (4) g Γ g(x) x 1 2 ( g ρν,µ + g µν,ρ + g µρ,ν ) En conséquence : A µ (x) interaction E M vecteur (4 D) g µν (x) interaction G R tenseur-sym (10 D) 6

9 Exemple : le cas statique 0 = 0 EM A 0 = V ( x) x = q m grad V GR g 00 = 2 V ( x) x = grad V. V ( x) a la dimension d une vitesse au carré (pour G R). équation indépendante de m

10 Les sources des champs EM et GR classiques Les 8 équations de Maxwell qui portent sur A µ,ρσ = ρ σ (A µ (x)) J µ est la source du champ EM (5) ν F νµ = J µ ( m 2 A µ ) [1] λ F µν + µ F νλ + ν F λµ = 0 [2] Les 10 équations d Einstein sur g µν,ρσ = ρ σ (g µν (x)) T µν est la source de gravité et Λ? la masse des ondes G? (6) R µν 1 2 g µνtr (R) = a T µν + Λ g µν [3] Tr (R) = R µ µ R µν = tenseur de Ricci a = 8πG c 4 mais un facteur entre GR et EM!!! 7

11 Les ondes électromagnétiques Potentiels retardés et la condition de Lorentz 1. équation [5-1] : dynamique des ondes EM ν F νµ = 2 A ν µ ν A µ = J ν 2. condition de Lorentz (invariance de jauge) µ A µ = 0 Equation de d Alembert + équation [5-2] A ν = J ν = 2 recherche des solutions par transformation de Fourier Â ν (q 2 ) = 1 q Ĵν(q 2 ) 2 Les potentiels retardés : A ν (t, r) = 1 4π J ν ( t r r c, r ) r r dr 8

12 Une image Les Ondes de gravité à la surface globalement courbe de l océan. g µν (x) = g µν + h µν (x) avec h << g g µν,ρ = 0 9

13 Les ondes gravitationnelles Les 10 équations de la gravitation relativiste réf[6] R µν 1 2 g µνtr R = a T µν + Λ g µν (7) avec les éléments de géométrie différentielle Γ ρ µν = 1 2 gσρ (g σν,µ + g σµ,ν g µν,σ ) R ρ σµν = µ Γ ρ σν + Γ ρ µλ Γλ νσ [µ ν] Riemann R σν = ρ Γ ρ σν + Γ ρ ρλ Γλ νσ ν Γ ρ σρ Γ ρ νλ Γλ ρσ Ricci Les ondes h µν (x) avec h << g g µν,ρ = 0 (Annexe 2) g µν (x) = g µν + h µν (x) R σν = ρ Γ ρ σν ν Γ ρ σρ = h νσ +... Equation des ondes gravitationnelles S µν T µν est la source des ondes Λ 0 est la "masse" des ondes gravitationnelles (cte cosmologique)? 1 2 h µν = a S µν + Λ h µν (8) 10

14 Vers une théorie Lagrangienne de la gravitation Equation d Euler-Lagrange : soit A = 2 L(x, ẋ, τ) dτ 1 ( ) d L = L dτ ẋ x Le lagrangien complet inclut le Lagrangien libre + interaction : L = L 0 (ẋ) + L i (x, ẋ) L 0 décrit la propagation libre L i décrit l interaction Avec Feynman réf [2] page 243 :. L (hµν,λ h µν,λ ) + ρ 2 g µν ẋ µ ẋ ν L i a ρ h µν ẋ µ ẋ ν Soit très grossièrement pour l interaction L h µν a ρ ẋ µ ẋ ν a S µν L x ρ a (h µν ),ρ ẋ µ ẋ ν a Γ ρ µν ẋ µ ẋ ν. Feynman envisage le cas d une interaction avec un boson neutre (ici nous prenons le point de vue d une interaction non-relativiste) 11

15 Le photon et le graviton (d après Feynman réf[2]) L exemple de l électromagnétisme (invariance de Jauge) A µ = ϵ µ exp(ikx) Ĵ µ (p) exp(ipx) i i e A L i = J µ A µ La gravitation h µν = ϵ µν exp(ikx) Ŝ µν (p) exp(ipx) etc... L i =? 12

16 La gravité quantique figure 3 tout un programme autour du graviton. 13

17 La gravité quantique et les théories de jauge figure 4. http ://en.wikipedia.org/wiki/file :Quantum gravity.png 14

18 Conclusions Pour poursuivre l étude : Quantification de l interaction des ondes gravitationnelles avec la matière? tout un programme...? Rôle de la "constante cosmologique" dans la physique des ondes gravitationnelles classiques? références? Faire le calcul complet du premier ordre : équation 8 (annexe 2 en travaux). 15

19 références 1 L. Landau & E. Lifchitz, Théorie des champs, Ed MIR R. Feynman, Leçons sur la gravitation, Ed Odile Jacob C. Missner & al, Gravitation, Ed W.H. Freeman & Co C.D. Walecka, Introduction to general relativity, Ed World Scientific P. Dirac, Général theory of relativity, Ed Princeton paperback , http ://scienceworld.wolfram.com/physics/, www 10 -, http ://en.wikipedia.org/wiki/einstein field equations /, www 16

20 Annexe 1 : notations, formulaire et constantes c vitesse de la lumière 1 par déf ħ cte de Planck (bar) 1 idem ϵ 0 permitivité du vide 1 idem µ 0 perméabilité du vide 1 idem g µν métrique + A l action H Constante de Hubble 72, ± 10, km.s 1.Mpc 1 G cte de gravitation 6, m 3.kg 1.s 2 Mpc méga parsec 3, km A.L. année lumière 9, m a 8πG c 4 2, m J 1 L(x) la densité lagrangienne c vitesse de la lumière 2, m.s 1 ħc cte de la MQ realtiviste 197, MeV.fm N Nombre d Avogadro 6,

21 Annexe 2 : Equation des ondes gravitationnelles développement au premier ordre Les 10 équations de la gravitation relativiste réf[6] R µν 1 2 g µνtr R = a T µν + Λ g µν (9) avec les éléments de géométrie différentielle µ σν = g ν µ σ + Γ µ νσ Γ ρ µν = 1 2 gσρ (g σν,µ + g σµ,ν g µν,σ ) Rσµν ρ = µ Γ ρ σν + Γ ρ µλ Γλ νσ [µ ν] Riemann R σν = µ µργ ρ σν σ νρ Γρ µσ = ρ Γ ρ σν + Γ ρ ρλ Γλ νσ ν Γ ρ σρ Γ ρ νλ Γλ ρσ Ricci Les ondes h µν (x) avec h << g g µν,ρ = 0 au 1er ordre g µν (x) = g µν + h µν (x) g µλ h µν (x) = 0 Γ ρ σν = 1 2 gµρ (h µν,σ + h µσ,ν h σν,µ ) µ σν = g µ ν σ R σν = ρ Γ ρ σν ν Γ ρ σρ = h νσ 18

22 Equation des ondes gravitationnelles 8 S µν T µν est associé à la source des ondes h νσ = 1 2 h νσ = a S νσ + Λ h νσ (10) Transformation de Fourier de l équation d onde ( 1 2 k2 Λ) ĥ µν = a Ŝ µν (11) Propagation dans le vide et "masse" du "graviton" 1 2 h µν Λ h µν = 0 soit k 2 = k 2 0 k 2 = 2Λ La "masse" quantique des ondes gravitationnelles (graviton) est définie par la constante cosmologique : m G c 2 = ħc 2Λ dimension physique de Λ L 2 (12)

23 application numérique : Applications numériques 8πG a 3, m.ev 1 c 4 densité critique ω c 5, ev m 3 2Λ a ω c 1, m 2 Remarque : la densité critique d énergie ω c : kg m 3 9, J m 3 paramètre a voir table annexe 1 = 5, ev m 3 2, m.j 1 3, m.ev 1 la "masse" des ondes graves avec ħc = 0, ev.m La longueur compton est m G c 2 = 2Λ (ħc) 0, ev λ G = 1 2Λ = 7, m = 7, A.L. Pour comparaison, l électron et le proton m e c 2 = ev m p c 2 = ev λ e = 3, m λ p = 2, m 19

24 Annexe 3 : Equation des géodésiques Hypothèses :celles de la géométrie différentielle de Riemann 1. une métrique symétrique définie en tout point M de la variété q µ g µν(q) ds 2 = g µν (q) dq µ dq ν 0 dm = e µ dq µ 2. Le symbole de Christoffel Γ µ νρ de µ = Γ ρ µν dq ν e ρ ou ė ρ = Γ µ ρν q ν e µ noté également Γ µ ρν = 1 2 gσµ ( g σν q ρ + g σρ g ρν q ν q σ ) = Γ µ νρ et obéissant à l équation Γ µ ρν = 1 2 gσµ ( g σν,ρ + g σρ,ν g ρν,σ ) 2 g σµ Γ µ ρν = ( g σν,ρ + g σρ,ν g ρν,σ ) 20

25 3. soit un segment de courbe (paramètre τ) limité par les points M 1 et M 2 on définit l action A et la "longueur" D de l élément de trajectoire A = 2 1 g µν q µ q ν dτ avec q = dq dτ q = d 2q dτ 2 gµν D = 2 q µ q ν dτ 1 on recherche par les méthodes variationnelles les courbes extrémales pour A et D? 4. si τ est l abscisse curviligne sur la courbe : dτ 2 = g µν dq µ dq ν g µν q µ q ν = 1 A D A min D min 5. A cause du théorème de Cauchy-Schwartz, en général, on a : D 2 (τ 2 τ 1 ) A

26 Equation d Euler-Lagrange Equation d Euler-Lagrange sur une fonction f(x, ẋ, τ) : changement de notation q x ( ) d f A = f dτ = f dτ ẋ x La dérivation par τ : Introduisons d dτ U = ẍ ẋ + ẋ x + τ = g µν (x) ẋ µ ẋ ν Application à l "action" A Alors f = U 2 = g µν (x) ẋ µ ẋ ν L équation d Euler - Lagrange dans ce cas : soit 2 g µν ẍ ν + 2 g µν,ρ ẋ ν ẋ ρ = g ρν,µ ẋ ν ẋ ρ g µν ẍ ν = 1 2 ( g ρν,µ + g µν,ρ + g µρ,ν ) ẋ ν ẋ ρ = g µσ Γ σ ρν ẋ ν ẋ ρ ẍ µ + Γ µ ρν ẋ ν ẋ ρ = 0 (13) 21

27 Application à la "distance" D (réf ) Alors La dérivation de U : f = U = g µν (x) ẋ µ ẋ ν du 2 = 2 U du L équation d Euler - Lagrange sur D devient dans ce cas : ( ) d U U dτ ẋ x = d ) 1 U 2 1 U 2 ((2 U) (2 U) dτ ẋ x soit (2 U)( d dτ ( ) U ẋ U Ln(U) ) = d x dτ ( ) U 2 +( d ẋ dτ ( U 2 L équation de la géodésique s écrira donc ( ) ( ) d U 2 U 2 = 1 ( ) d Ln(U 2 ) U 2 dτ ẋ ẋ 2 dτ ẋ soit ẍ µ + Γ µ ρν ẋν ẋ ρ = d Ln(U) dτ ẋ µ ou encore plus explicitement si τ s (car U 2 = 1) : ẋ ) U 2 x ) ẍ µ + Γ µ ρν ẋν ẋ ρ = 0 (14). http : en.wikipedia.org/wiki/geodesics ou http : en.wikipedia.org/wiki/geodesics in general relativity