ÉQUATIONS DE DROITES. 1 Activités

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1 Activités Équations de droites Seconde Activités ÉQUATIONS DE DROITES ACTIVITÉ Le plan est uni d un repère (O i, orthogonal.. (a Placer les points : A ( 3 B ( et C (3,. (b Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC. (c Les points A, B et C seblent alignés. Est-ce vraient le cas? Justifier.. Soit N le point de la droite (AB de coordonnées ( b. (a Placer N et lire graphiqueent une valeur approchée de b. (b Exprier les coordonnées du vecteur AN en fonction de b. (c Que peut-on dire des vecteurs AN et AB? En déduire la valeur exacte de b. 3. Soit P le point de la droite (AB de coordonnées (a. (a Placer P et lire graphiqueent une valeur approchée de a. (b Exprier les coordonnées du vecteur AP en fonction de a. (c Que peut-on dire des vecteurs AP et AB? En déduire la valeur exacte de a.. Soit M (x y un point de la droite (AB. (a Exprier les coordonnées du vecteur AM en fonction de x et y. ACTIVITÉ (b En déduire la relation entre x et y qui traduit que M est un point de (AB. (c Transforer cette relation pour obtenir une relation équivalente, de la fore y = x + p. Le plan est rapporté au repère (O i,.. (a Placer les points A (, B ( 5 et E (. (b Lire l ordonnée p du point d intersection de l axe (O y et de la droite (AB. (c Déteriner les coordonnées (α β du vecteur AB puis calculer = β α.. Soit M un point de la droite (AB de coordonnées (x y. (a Exprier les coordonnées du vecteur AM en fonction de x et y. (b En déduire la relation entre x et y qui traduit que M est un point de (AB. (c Transforer cette relation pour obtenir une relation équivalente, de la fore y = x + p. 3. (a Déduire du. et du. une autre éthode pour obtenir une équation de la fore y = x + p associée à une droite. (b À l aide de cette éthode déteriner une équation associée à la droite (AE.. (a Tracer la droite (BE. Que constate-t-on? (b Essayer d appliquer la éthode du 3. pour obtenir une équation associée à (BE. Que constate-t-on? (c À quelles conditions sur x et y un point P de coordonnées (x y appartient-il à (BE? Prouvez-le à l aide des vecteurs BE et BP. ACTIVITÉ 3 Soit D, D,, D, D 5 et D 6 les droites associées aux équations respectives suivantes : y = 3x+ y = x+ y = 0,5x+ y = 0x+ y = x+ y = x+. Montrer que le point (0 appartient à toutes ces droites.. Déteriner, pour chacune de ces droites, un autre point lui appartenant. 3. Placer ces points dans un repère orthogonal puis tracer les droites.. Quelle seble être l influence du coefficient du x sur «l allure» de ces droites? ACTIVITÉ Le plan est uni d un repère (O i, orthogonal.. Soit deux droites D et D d équations respectives : y = 0,5x+ et y = 0,5x (a Indiquer si les points suivants appartiennent à la droite D, puis à la droite D. A ( B (,5 C ( 3 D ( (b Tracer D et D en utilisant les résultats de la question précédente. (c Calculer les coordonnées du point d intersection des deux droites D et D en résolvant le systèe : { y = 0,5x+ y = 0,5x. On considère le systèe : { 5x y = 3x+y = 5 (a Les couples (x y suivants vérifient-ils la preière équation? la seconde? le systèe? (b Écrire chacune des deux équations sous la fore y = x+ p. Tracer les deux droites D et D correspondant aux deux équations obtenues. (c Lire les coordonnées du point F, intersection de ces deux droites. Les coordonnées de F sont-elles identitques au résultat trouvé à la preière question? Cobien le systèe a-t-il de solutions? 3. On considère le systèe : { 3x+y = 5 6x y = a (a Représenter sur un graphique les deux équations du systèe pour a = puis pour a = 0. Coent sont situées les droites tracées? Cobien le systèe a-t-il de solutions? (b Quelle valeur donner à a pour que les deux droites soient confondues? Cobien le systèe a-t-il alors de solutions? Donnez-en trois. Page sur??

2 Définitions et propriétés Équations de droites Seconde Définitions et propriétés Le plan est uni d un repère (O i,. THÉORÈME Toute droite D non parallèle à l axe des ordonnées est caractérisée par une relation de la fore y = x+ p, où et p sont deux nobres réels constants. Cela signifie que : tout point M appartenant à la droite D a ses coordonnées (x y qui vérifient l équation y = x+ p tout point M dont les coordonnées (x y vérifient l équation y = x + p appartient à la droite D. On dit que y = x + p est l équation réduite de D. Toute droite D parallèle à l axe des ordonnées est caractérisée par une relation de la fore x = k, où k est un nobre réel constant. Rearque. Il peut y avoir plusieurs équations associées à une droite D telles que les points M ont leurs coordonnées (x y qui vérifient ces équations. Par exeple si y = x+ 3 est l équation réduite de D, les points de D ont aussi leurs coordonnées qui vérifient l équation : y = x+6 puisque cette équation est équivalente à la précédente. Cependant toutes ces équations peuvent se raener à y = x+3 qui est unique pour une droite D donnée. Déonstration. Déontrons le théorèe. Soit D une droite non parallèle à l axe des ordonnées et A (x A y A et B (x B y B deux points distincts connus de cette droite, soit enfin M (x y un point quelconque. Si M appartient à D, coe A, B et M appartiennent tous les trois à D, ils sont alignés et les vecteurs AB = ( xb x A y B y A colinéaires donc x y x y = 0 et AM = ( x x A y y A ( (y y A (y B y A (x x A =0 ( y ( y A sont (y B y A x+ (y B y A x A = 0 ( y = (y B y A x + ( y A + (y B y A x A y = y B y A x + ( x A + (y B y A y A car, coe la droite n est pas parallèle à l axe des ordonnées, 0 En posant = y B y A x B x et p = (x B x A x A +(y B y A y A A x B x A on a donc : les coordonnées de M vérifient bien y = x + p. Supposons aintenant que les coordonnées de A, B et M vérifient une équation de la fore y = x + p. Montrons que, dans ce cas, ils sont alignés. On a donc y A = x A +p, y B = x B +p et y = x+p et ( ( xb x A AB = = y B y A x B + p (x A + p ( = ( et, de êe, ( x x A AM =. (x x A Or x y x y = ( (x x A ( x x A = 0. Donc les points sont alignés et M appartient à (AB. On laisse en exercice la déonstration qu une droite parallèle à l axe des ordonnées adet une équation de la fore x = k. Propriété non parallèle à l axe des ordonnées, et A (x A y A et B (x B y B deux points distincts quelconques de D. Alors on a : = y B y A le point de coordonnées (0 p appartient à D. Déonstration. On l a vu le preier point de la déonstration précédente. Par ailleurs, le point d abscisse 0 appartenant à D a pour ordonnée y = 0+ p = p. Définition non parallèle à l axe des ordonnées, et A (x A y A et B (x B y B deux points distincts quelconques de D. = y B y A x B x A est appelé coefficient directeur de D. p est appelé ordonnée à l origine de D. Définition non parallèle à l axe des ordonnées, et A (x A y A et B (x B y B deux points distincts quelconques de D. Tout vecteur non nul colinéaire à AB est appelé vecteur directeur de D (en particulier AB lui-êe. Propriété 3 non parallèle à l axe des ordonnées. Le vecteur ( u = est un vecteur directeur de D. Déonstration. Soit D une droite d équation réduite y = x + p, donc non parallèle à l axe des ordonnées, et A (x A y A et B (x B y B deux points distincts quelconques de D. On a vu que ( AB = ( Montrons que AB et u sont colinéaires : x y x y = ( (( =0 Donc AB et u sont colinéaires et u est bien un vecteur directeur de D.. Page sur??

3 3 Applications Équations de droites Seconde Propriété non parallèle à l axe des ordonnées, et A (a b un point quelconque de D. Alors le point B (a+ b+ appartient à D. x+ p et A (a b un point de D et B (a+ b+. Montrons que B appartient à D. On sait que le vecteur ( u = est un vecteur directeur de D. Or ( xb x A AB = y B y A Donc B appartient à D. ( a+ a = b+ b ( = = u. B (a+ b+ A (a b Déonstration. Soit D une droite d équation réduite y = Propriété 5 Soit D et D deux droites d équations réduites respectives y = x+ p et y = x+ p, donc non parallèles à l axe des ordonnées. D et D sont parallèles (éventuelleent confondues si et seuleent si =. et ( v = sont des vec- ( Déonstration. u = teurs directeurs de D et D. D et D sont parallèles (éventuelleent confondues u et v colinéaires x y x y = 0 = 0 = 0 =. 3 Applications 3. Tracer une droite Les propriétés. et. donnent un oyen siple de représenter une droite quand p n est pas trop grand et quand l axe des ordonnées est disponible : Pour construire la droite D d équation y = x + p :. on place le point P (0 p. on place le point Q ( p+ 3. on trace la droite D = (PQ. Exeple. Pour tracer D et D d équations respectives : Si l axe des ordonnées n est pas accessible, ou si p est trop grand pour que le point (0 p apparaisse dans la fenêtre, on déterine par le calcul deux points quelconques en fixant arbitraireent deux valeurs de x. Exeple. Pour tracer la droite d équation réduite y = 3x+ 0, on peut déteriner, par exeple, les coordonnées des points d abscisses et : y = 3+0= donc ( y = 3+0= donc (. On place ensuite les deux points et on trace la droite. y = x+ et y = x+ on sait que P (0 D ainsi que Q (0+ +0,5 = (,5 (ainsi que R (+,5+0,5=( 3, etc. on sait que P (0 D ainsi que Q (0+ =( (ainsi que R (+ =( 3, etc. On obtient alors le schéa de la présente page. Rearque. On peut aussi lire de la façon suivante : = y où y = y B y A est la variation des ordonnées et = est la variation des abscisses entre les deux points. Ainsi si = = = y cela signifie que quand on augente x de, y augente de, ou bien si = 3= 3 cela signifie = y que quand on augente x de, y augente de 3, c est-à-dire diinue de 3. De êe si = = y cela signifie que quand on augente x de, y augente de, ou bien si = 3 = 3 = y cela si- gnifie que quand on augente x de, y augente de 3, c està-dire diinue de 3. D D 3 3 O ı 3 3 P P Q R Q R Page 3 sur??

4 3. Retrouver l équation réduite Équations de droites Seconde 3. Retrouver l équation réduite Inverseent, ces propriétés perettent aussi de déteriner rapideent et p et donc l équation réduite de D : Pour déteriner l équation y = x + p d une droite D donnée :. si c est possible, on lit l ordonnée x P du point P, intersection de D avec l axe des ordonnées et on a p = x P. si l on dispose de deux points A et B appartenant à D, on a = y où y = y B y A est la variation des ordonnées et = est la variation des abscisses entre les deux points. 3. on a alors D : y = x+ p. Exeple. On donne le schéa suivant : 3 D D 3 O ı 3 3 Déterinons l équation réduite de D : y = x+ p : D coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 donc p =. Par ailleurs les points de coordonnées (0 et ( appartiennent à D donc, quand x augente de, y augente de, donc = y = =. 3.3 Solutions d un systèe Finaleent D : y = x Déterinons l équation réduite de D : y = x+ p : D coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 donc p =. Par ailleurs les points de coordonnées (0 et ( appartiennent à D donc, quand x augente de, y diinue de 3, donc = y = 3 = 3. Finaleent D : y = 3 x+ Lorsque le point d intersection avec l axe des ordonnées n est pas visible, on dispose de deux éthodes.. Preière éthode (a On déterine à l aide de deux points coe précédeent (b On replace x et y par les coordonnées d un des deux points pour trouver p. Exeple. Déterinons l équation réduite de : y = x+ p de cette anière. Les points ( 3 et ( appartiennent à donc = y = = donc : y = x+ p. Il ne reste qu à trouver p. ( 3 donc ses coordonnées vérifient l équation de : 3= + p 3+= p 7= p. Finaleent : y = x+ 7. Deuxièe éthode On trouve deux points appartenant à la droite et on résoud le systèe où et p sont les inconnues. Exeple. Déterinons l équation réduite de : y = x + p de cette anière. Les points ( 3 et ( appartiennent à donc leurs coordonnées vérifient l équation de. On obtient le systèe suivant : { { 3= + p 3=+ p = + p =+ p Résolvons le. D après la preière ligne, p = 3. Replaçons p dans la seconde ligne : =+ (3 =+ 3 = et p = 3 = 3 ( =7. Finaleent : y = x Rappels Un systèe linéaire de deux équations à deux inconnues est un systèe de la fore : { ax+ by = c a x+ b y = c où a, b, c, a, b, c sont des réels donnés. Le résoudre, c est trouver l enseble des couples (x y qui vérifient les deux équations en êe teps. On peut procèder : par substitution, c est-à-dire en isolant l une des deux inconnues dans une des lignes et en la replaçant (en la substituant dans l autre par cobinaisons linéaires, c est-à-dire en ultipliant éventuelleent les lignes par des réels bien choisis puis en les ajoutant ou en les soustrayant l une à l autre pour faire disparaître une inconnue. Tout cela a déjà été vu au collège. Page sur??

5 Exercices Équations de droites Seconde 3.3. Systèes et droites Toute équation de la fore ax+ by = c peut s écrire sous la fore x = k si b= 0 ou y = x+ p si b 0. On peut donc associer toute équation de ce type à une droite. Le nobre de solutions d un systèe est exacteent le nobre d intersections des droites associées à chacune des équations, à savoir : une infinité de solutions si les droites sont confondues aucune solution si les droites sont parallèles et non confondues une unique solution (x y si les droites sont sécantes. Exercices Dans tous les exercices le plan est uni d un repère (O i, orthogonal. EXERCICE La droite D est d équation réduite y = 3x + 0, 5. Déteriner si A (50,5 5 ou B ( 73,5 9,5 appartiennent à D. EXERCICE Dans chacun des cas suivants, dire si le point A appartient à la droite D :. A ( et D : y = 6x+ 6. A ( 7 et D : y = 3 (x A ( 5 et D : x = 5. A ( 3 6 et D : y = 6 EXERCICE 3 La droite D est d équation réduite : y = 5 x.. A est le point de D d abscisse. Quelle est son ordonnée?. B est le point de D d ordonnée. Quelle est son abscisse? EXERCICE 7 Dans chacun des cas suivants, déteriner l équation de la droite (AB :. A ( et B (3. A ( et B ( 3. A (0 et B ( 3. A ( et B (3 5. A ( 3 et B ( 6. A ( et B (3 5. EXERCICE 8 Déteriner graphiqueent les équations réduites des droites représentées sur le schéa suivant : D D 6 3 D EXERCICE Dans un êe repère, tracer les droites dont les équations sont les suivantes : D : y = x+ 5 D : y = x : y = 3 D : y = 3 x D 5 : x = 6 EXERCICE 5 Dans un êe repère, tracer les droites dont les équations sont les suivantes : D : y = 5x+ 0 D : y = 6x : y = 3x 6 D : y = x+ D 5 : x 5y = 3 EXERCICE 6 Dans un êe repère, tracer les droites suivantes : D passant par A (3 et de coefficient directeur D passant par B ( 3 et de coefficient directeur passant par C ( 0 et de coefficient directeur 3 D passant par D (0 et de coefficient directeur 3 D 5 passant par E ( et de coefficient directeur 0 3 O ı 3 3 D 5 D Page 5 sur??

6 Exercices Équations de droites Seconde EXERCICE 9 Déteriner graphiqueent les équations réduites des droites représentées sur le schéa suivant :. déteriner sans le résoudre le nobre de solutions du systèe. résoudre ensuite le systèe. D 5 D S { x 6y = 6 5x+ y = S { y+ 6x = 5 9x+ 3y = 7,5 S 3 { 3x = 6y+ 7 8,5,5x+ 5y = 6 S { 3x+ y = 9 5x x+ 5y = 5 S 5 { x y = 3x+ 7y = 5 5 O ı 5 D 5 EXERCICE On donne les points A (3, B ( et C (5.. Déteriner une équation de chacune des édianes du triangle ABC.. En déduire les coordonnées de son centre de gravité G. EXERCICE. Dans un êe repère, tracer les droites D, D, et D d équations respectives : y =, y = 3x, y = + 3 et y = 3x +5.. Quelle est la nature du quadrilatère qui apparaît alors? Justifer. EXERCICE 0 Pour chacun des systèes suivants : 3. Déteriner par le calcul les éventuelles intersections entre chaque couple de droite. Page 6 sur??