Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques

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1 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques MPSI-Cauchy Prytanée National Militaire Pascal Delahaye 23 septembre 206 Si le cours de maths de CPGE insiste beaucoup sur la pratique du raisonnement mathématique, celui-ci ne peut se faire sans passer par des étapes de calcul algébrique Il est donc impératif de maîtriser les techniques usuelles de calcul avec les fractions, les puissances, les factorisations et développements, les fonctions logarithme et exponentielle Pour compléter les techniques précédentes, nous allons apprendre dans ce chapitre : à maîtriser l utilisation de la notation usuelle des ensembles, à maîtriser l utilisation du symbole Σ pour la manipulation des sommes simples et doubles, quelques formules utilisées tout au long de l année, à maîtriser les propriétés et l utilisation des coefficients binomiaux, à maîtriser la technique de Gauss pour la résolution des systèmes linéaires Sommes et Produits Ensembles et familles La notion d ensemble est une notion primitive de mathématique et donc ne se définit pas : elle est intuitive C est à partir de cette notion que l ensemble N est construit Exemple Quelques ensembles mathématiques :, {}, N, R, C, M n (R), F(E, F), R N, S n, O(E) Définition : Notation des ensembles Les ensembles sont très souvent notés de la façon suivante : {nature des éléments de l ensemble Condition d appartenance} Exemple 2 A = {x R cosx > 2 } 2 B = {p2 p est un nombre premier} Remarque Vous avez remarqué que l ensemble A n est autre que l ensemble des solutions de l équation cosx > 2 Définition 2 : Ensembles produits Soient A, B deux ensembles non vides Le produit cartésien A B est alors l ensemble défini par : A B = {(a, b) a A, b B}

2 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Exemple 3 L ensemble des solutions sur R 2 du système Exemple 4 ( ) Déterminer C D lorsque C = {, 3, 7} et D = {, 2, 5} { x+y = 2x y = 0 est : S = {(x, y) R2 { x+y = 2x y = 0 } Exemple 5 Les ensembles produits usuels : R 2 (le plan cartésien), Z 2 (quadrillage du plan cartésien), R n (où n N) Définition 3 : Famille d éléments Soit I un ensemble fini non vide et A un ensemble non vide L ensemble {a i A i I} est appelé : famille finie des éléments a i de l ensemble A indexée sur I et est noté (a i ) i I Souvent, on prendra I = [[,n]] avec n N On aura alors : (a i ) i I = {a, a 2,, a n } Exemple 6 P est l ensemble des nombres premiers E = {i 2 i [[,0]]} = (i 2 ) i [[,0]] 2 F = {p(p+) p P} = (p(p+)) p P Remarque 2 La suite (u n ) n N est une famille de nombres indexée sur N Travail à effectuer : Prenez une feuille de brouillon et vérifiez que vous êtes capables de développer chacun des points suivants : Définitions Exercices Notations usuelles des ensembles - Ensemble produit - Famille d éléments indexée sur I { { { 0 A (, 5) C D 4 E Justifier que 3 B, que (0, i) R C et que F 2 Sommes Définition 4 : Sommes Soit (a i ) i I une famille finie de nombres complexes (ces nombres peuvent aussi être entiers, rationnels ou réels) On notera : a i la somme des nombres a i Lorsque I = [[m,n]] avec m n Z, cette quantité sera notée : i I a i = a m +a m+ + +a n i=m La variable i est dite muette Cela signifie qu on peut la remplacer par n importe quelle autre lettre i est aussi appelé l indice courant Remarque 3 Retenez que u est la somme de n m+ termes! =m Exemple 7 ( ) Pour p, q N : p 2 = (p q +)2 i=q 2

3 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Proposition : Sommes à connaître IMPERATIVEMENT! Pour n N et a C i = +2+ +n = n(n+) 2 i= i 2 = n 2 = n(n+)(2n+) 6 i= a i = an+ (si a ) a i=0 a i = n+ (si a = ) i=0 Preuve : Facile par récurrence! Proposition 2 : Linéarité de la somme Soit I un ensemble fini non vide, (a i ) i I, (a i ) i I deux familles de nombres complexes et λ, µ C On a alors : i +µb i ) = i I(λa λ a i +µ b i i I i I Preuve 2 : Il suffit de l écrire Remarque 4 On ne peut mettre en facteur de la somme que les coefficients qui ne dépendent pas de l indice courant 0 Exemple 8 ( ) Calculer : S = ( ) =2 Exercice : ( ) Pour n N, calculer la somme : S n = n+2(n )+3(n 2)+ +(n )2+n Définition 5 : Sommes télescopiques Une somme télescopique est une somme de la forme : Ces sommes se simplifient facilement : (a + a ) ou =m (a a + ) =m a + a = a n+ a m =m Exemple 9 ( ) Soit n N Calculer les sommes suivantes : S = ( +) S 2 = ln(+ ) S 3 =! Proposition 3 : Chasles Lorsque p q < n N, nous avons la propriété suivante : Preuve 3 : Il suffit de l écrire a = =p q a + =p Exemple 0 ( ) Pour n N, calculer les sommes suivantes : S = 2 =q+ min(,n) 2 S 2 = a 2 max(, n) 3

4 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Remarque 5 Il est aussi possible de regrouper les termes d indices pairs et les termes d indices impairs : a = a + =p =p (pairs) =p (impairs) a 00 Exemple ( ) Calculer S = où x représente la partie entière d un réel x 2 Proposition 4 : Décalage d indices Soit p, q N, n Z et (a i ) i N une famille de nombres complexes On a alors : q a i = i=p q+n i=p+n a i n Preuve 4 : Il suffit de l écrire en posant éventuellement j = i+n Exemple 2 ( ) Calculer les sommes suivantes à l aide de changements d indice : S = ( +) 2 S 2 = 2 ( +)( +2) 3 S 3 = ( ) n+ Remarque 6 On ne peut faire que des décalages d indice ou éventuellement des inversions d indice (i = n j) Impossible par contre de poser j = 2i ou j = i 3 Proposition 5 : Formule de factorisation Pour n N et a, b C n a n b n = (a b) a (n ) b ou a n b n = (a b)(a n +a n 2 b+ +ab n 2 +b n ) Que donne cette formule lorsque b =? Preuve 5 : Il suffit de développer en effectuant un changement d indice Exemple 3 ( ) Factoriser a 5 +b 5 lorsque a, b C Exercice : 2 ( ) Pour tout n N, prouver que N = 5 n+ 3 n+ n est pas un nombre premier Travail à effectuer : Prenez une feuille de brouillon et vérifiez que vous êtes capables de développer chacun des points suivants : Définitions Connaître les notations b a i et a i i I i=a Propriétés Linéarité de la somme - Relation de Chasles - Changement d indices - Décomposition selon la parité de l indice - nombre d éléments d une somme Formules i - i 2 - a i - Sommes télescopiques - Formule de factorisation i= i= i=0 Exercices Etre capable de refaire chacun des exercices précédents Démonstrations Savoir justifier chacune des propriétés précédentes Méthodes Savoir rédiger proprement une récurrence simple 4

5 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Définition 6 : Sommes doubles rectangulaires Soit I et J des ensembles finis et (a i,j ) (i,j) I J une famille finie de nombres complexes On remarque que l on peut noter : i,j = (i,j) I Ja ( ) a i,j qui est aussi égale à = ( ) a i,j i I j J j J i I Dans le cas où I = [[p,n]] et J = [[q,m]], on peut aussi noter : ( m ) a i,j = a i,j (i,j) [[p,n]] [[q,m]] i=p j=q (par ligne) = m ( n ) a i,j j=q i=p (par colonne) Remarque 7 I J représente l ensemble des couples de la forme (i,j) où i I et j J i \ j r r+ j s p a p,r X X a p,s p+ X X X X i X X a i,j X q a q,r X X a q,s Tableau des termes généraux d une somme rectangulaire Exemple 4 ( ) Soit n N Calculer : S = ij 2 S 2 = (i+j) 2 i,j n i,j n 3 S 3 = i,j n min(i, j) Proposition 6 : Produit de deux sommes rectangulaires finies Soit I et J deux ensembles finis non vides et (a i ) i I, (b j ) j J deux familles de nombres complexes On a alors : ( )( ) a i b j = a i b j = ( )( ) b j a i i I j J (i, j) I J j J i I Preuve 6 : Il suffit de l écrire Remarque 8 Ne surtout pas écrire que les quantités i I a i b i et a i b i sont égales! Contre-exemple? i I i I Exemple 5 ( ) Soient p, q N et (a i ) i [[,p]], (b i ) i [[,q]] deux familles finies de complexes { A(x) = a0 +a Exprimer sous la forme d une somme, le produit des deux expressions polynômiales suivantes: x+ +a p x p B(x) = b 0 +b x+ +b q x q Proposition 7 : Sommes triangulaires Soit n N et (a i,j ) (i,j) [[p,q]] 2 une famille de nombres complexes On distingue 2 types de sommes triangulaires : q ( i ) n ( q ) En incluant la diagonale : a i,j = a i,j (par ligne) = a i,j (par colonne) 2 En excluant la diagonale : p j i q p j<i q a i,j = i=p q i=p+ j=p ( i j=p i=j ) q ( a i,j (par ligne) = j=p j=p q i=j+ a i,j ) (par colonne) 5

6 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques i \ j p p+ i q p a p,p p+ a p+,p a p+,p+ i a i,p a i,i q a q,p a q,q Tableau des termes généraux d une somme triangulaire Preuve 7 : Dans un cas, on additionne par colonne et dans l autre cas par ligne Exemple 6 ( ) Pour n N, calculer : S n = Exemple 7 ( ) Pour n N, vérifierque Exercice : 3 ( ) Soit n N Calculer S n = i j n i j Exercice : 4 ( ) Pour n N, on considère C n = 2 = p<q n (p+q) i j n ij ( 2 ) et en déduire une évaluation simple de cette somme Prouver par un calcul direct que : C n = 2 (n )n(n+) 2 Retrouver le résultat précédent en remarquant que : l= p, q n Travail à effectuer : (p+q) = 2C n +2 p p= Prenez une feuille de brouillon et vérifiez que vous êtes capables de développer chacun des points suivants : Définitions Signification et calcul de a i,j et de Propriétés Formules Exercices (i,j) I J 0 j i n a i,j Produit de deux sommes Calcul des sommes doubles et des sommes triangulaires Calculer : S = i et S 2 = ij j i j n i j n 6

7 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques 3 Produits Définition 7 : Produit Soit(a i ) i I unefamillefiniedenombrescomplexes (cesnombrespeuventaussiêtreentiers,rationnelsouréels) On notera : a i le produit des nombres a i de la famille (a i ) i I i I Lorsque I = [[m,n]] avec m n Z, cette quantité sera notée : Ce produit comporte n m+ facteurs Exemple 8 ( ) Pour p, q, n N : n a i = a m a m+ a n i=m p 2 = 2 p q+ i=q 000 = 000 ln(+ ) = 0 Remarque 9 Un produit est nul dès lors qu un de ses facteurs est nul Définition 8 : Soit n N On note factorielle n la quantité suivante : n! = 2 3 n = n et on admettra que 0! = Exemple 9 ( ) Soit n N Ecrire les produits suivants à l aide de factorielles : P = p (n +) 2 P 2 = 2n+ pair 3 P 3 = 2n+ impair Définition 9 : Produits télescopiques Un produit télescopique est un produit de la forme : Ces sommes se simplifient facilement : n =m Exemple 20 ( ) Calculer les produits suivantes : n =m a + a a + a = a n+ a m n i i+ i= n 2+ 2 Exercice : 5 ( ) Pour n N, calculez le produit : P n = n =2 ( 2 ) Proposition 8 : Comment se ramener à une somme? Lorsque tous les a sont strictement positifs et m n Z : Exemple 2 ( ) Calculer : n 2 (+) ln ( n ) n a = ln(a ) =m =m 7

8 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Proposition 9 : Règles de calcul Lorsque tous les a et les b sont des complexes, n N et I un ensemble fini non nul : a b = ( )( ) a b et a n = ( ) n a Preuve 9 : Il suffit de l écrire I I I I I Remarque 0 Contrairement au cas des sommes, on a : n n λa = λ n m+ =m =m a Travail à effectuer : Prenez une feuille de brouillon et vérifiez que vous êtes capables de développer chacun des points suivants : Propriétés Produits de produits - Puissance d un produit Formules Produits télescopiques p Exercices Savoir exprimer à l aide de factorielles : (n +) - Méthodes Comment transformer un produit en somme 2n+ pair - 2n+ impair 2 Les coefficients binomiaux Définition 0 : Coefficients binomiaux Soient n, p N Le coefficient binomial (n, p) ou p parmi n est noté Il est défini par : Lorsque p n : 2 Lorsque p > n : n! = p p!(n p)! = 0 p p Remarque ( n p) représente le nombre de façons de choisir p éléments parmi n sans ordre ni remise Il s agit donc en particulier d un entier naturel (cf la démonstration utilisant la formule d additivité) Théorème 0 : Propriétés des coefficients binômiaux Soient 0 p n deux entiers Les coefficients binômiaux vérifient les propriétés suivantes : Premiers termes : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n = = 2 = = n 3 = = n(n ) 0 n n 2 n 2 2 ( ) n Symétrie : = p n p Evolution : (( ) n ) est strict t croissante jusqu à = n 2 [[,n]] strict t décroissante de = n 2 + à = n Preuve 0 : Simples calculs Pour l évolution, on s intéresse au rapport ( ) ( n / n ) dans les cas où n est pair et où n est impair 8

9 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Structure des coefficients binômiaux (cas pair) Structure des coefficients binômiaux (cas impair) Proposition : Formules Pour tout n N et p N : Factorisation : = n p p (si p ) 2 Additivité : p ( ) n + = p p+ + p+ Preuve : Simples calculs Exemple 22 A l aide de la formule d additivité et d un raisonnement par récurrence, retrouver le fait que les coefficients binomiaux sont des entiers naturels Exercice : 6 ( ) Soit n N Soit p [[0,n]] A l aide de la formule d additivité, trouver une suite (a n ) telle que ( p) = a+ a En déduire la formule de Pascal : ( ) ( ) n+ = p p+ Interpréter cette formule en utilisant le triangle de Pascal 2 En déduire la somme des n premiers entiers 3 En recherchant a et b tels que 2 = a ( 2) +b ( ), déterminer la somme des carrés des n premiers entiers Remarque 2 De l additivité, on obtient le triangle de Pascal qui permet de calculer de proche en proche tous les coefficients binômiaux n n p p Figure Triangle de Pascal et Expérience de Galton Théorème 2 : Formule du binôme de Newton Soient deux réels a, b R et un entier n N Alors : (a+b) n = a b n = a n b 9

10 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Preuve 2 : Méthode : Par récurrence (Bon entraînement au calcul sur des sommes) 2 Méthode 2 : Par dénombrement (Facile) Remarque 3 La formule du binôme de Newton est très souvent utilisées Comme le montre les exemples suivants, elle permet en particulier, de calculer des sommes faisant intervenir des coefficients binômiaux Théorème 3 : Nombre de parties d un ensemble Soit n N Le nombre de parties d un ensemble à n éléments est donné par la formule : p=0 = 2 n p Preuve 3 : Application simple de la formule du binôme Exemple 23 ( ) Soit n N Calculer : S = p = n2 n et S 2 = p p=0 ( ) n 3 Exercice : 7 ( ) Soit n N Calculer 3 en utilisant la quantité u = ( +) 4 4 En déduire une méthode générale pour déterminer Exercice : 8 ( ) Calculer les sommes : S = 0 n pair p avec p N 2 S 2 = 0 n impair { S +S On s intéressera à 2 S S 2 Exercice : 9 ( ) Soit n N Calculer : ( ) n p 0, p n 2 j=0 i=0 p ( n i j ) ( 2) j Exercice : 0 ( ) Soit n N Montrer que : ( i ) = 2 n 2 n(n+) A [[,n]] i A Travail à effectuer : Prenez une feuille de brouillon et vérifiez que vous êtes capables de développer chacun des points suivants : ( Définitions n ) : formule + nombre de combinaisons Propriétés Symétrie - Evolution Formules Formules de factorisation, d addition, de Pascal, du binôme de Newton et donnant le nombre de parties d un ensemble Exercices Savoir calculer : - - p - 2 p 0 n pair 0 n impair Démonstrations La formule du binôme de Newton par récurrence Méthodes Savoir utiliser le traingle de pascal pour calculer rapidement des coefficients binômiaux p=0 0

11 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques 3 Calcul de déterminants Proposition 4 : Expression d un déterminant 2x2 ( ) x x Le déterminant de la matrice y y est : x x y y = xy yx Exemple 24 ( ) Vérifiez que : = 3 Proposition 5 : Expression d un déterminant 3x3 Le déterminant de la matrice x x x x x x y y y est : y y y z z z z z z = xy z +yz x +zx y zy x xz y yx z x x x y y y z z z x x x y y y Règle de Sarrus : Autre Méthode de calcul : Exemple 25 ( ) Prouver que : = = = 0 Applications usuelles du déterminant : Le déterminant sert en particulier : A vérifier si une matrice est inversible et éventuellement, à calculer l inverse de cette matrice 2 A vérifier si un système linéaire carré admet une unique solution 3 A vérifier si n vecteurs d un espace vectoriel de dimension n sont linéairement indépendants colinéaires en dimension 2 coplanaires en dimension 3 Exemple 26 Pour quelle(s) valeur(s) de λ le système suivant admet une unique solution? x λz = 0 y +λz = x y +z = 2 Remarque 4 Nous verrons en cours d année comment calculer des déterminants de taille supérieure

12 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Travail à effectuer : Prenez une feuille de brouillon et vérifiez que vous êtes capables de développer chacun des points suivants : Formules Exercices Méthodes Calcul d un déterminant 2x2 et 3x3 Refaire les calculs de l exemple précédent Utiliser le déterminant pour savoir si un système linéaire admet une unique solution 4 Systèmes linéaires On considère le système linaire de n équations à p inconnues : (S) a x +a 2 x 2 + +a p x p = b a n x +a n2 x 2 + +a np x p = b n a a p On appelle alors A = a n a np M np (K), B = b b n M n (K) et X = x x n M n (K) Ainsi, on pourra plus simplement noter le système (S) : AX = B (cf le cours sur la multiplication des matrices) Ou encore : a a 2 a p b (S) a 2 a 2p b 2 a n a n2 a np b n Définition : Vocabulaire lié aux systèmes Résoudre (S) consiste à trouver l ensemble S de tous les p-uplets (x,, x p ) K p vérifiant (S) 2 Le vecteur B M n (K) s appelle le vecteur second membre du système 3 Le vecteur X M n (K) s appelle le vecteur inconnu du système 4 On appelle système homogène (S 0 ) associé à (S), le système obtenu en prenant B = 0 On note S 0 l ensemble des solutions du système homogène 5 La matrice A s appelle la matrice du système 6 Le déterminant de A s appelle le déterminant du système 7 On dit que le système est compatible si l ensemble des solutions est non-vide Remarque 5 Dans R 2 : les solutions du système 2 Dans R 3 : les solutions du système { ax+by = c dx+ey = f sont les points d intersection des deux droites { D : ax+by = c D 2 : dx+ey = f { ax+by +cz = d ex+fy +gz = h sontlespointsd intersectiondesdeuxplans { P : ax+by+cz = d P 2 : ex+fy +gz = h Que pouvez-vous dire des différents ensembles de solutions possibles? 2

13 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Proposition 6 : Structure de l ensemble des solutions Soit AX = B un système compatible de solution particulière X 0 L ensemble des solutions est alors : S = X 0 +S 0 = {X 0 +X X est solution du système homogène associé} Preuve 6 : Par équivalences successives en admettant la factorisation des matrices Remarque 6 Nous venons en fin d année que cet ensemble a une structure de sous-espace affine Proposition 7 : Unicité de la solution Un système carré AX = B admet une unique solution ssi deta 0 Preuve 7 : Admis pour l instant Remarque 7 Un système carré qui n admet qu une solution est appelé un système de Cramer 2 Ce théorème est très souvent utilisé lorsqu on veut prouver l existence d une unique solution sans avoir besoin de la chercher Remarque 8 Lorsqu un système n admet qu une unique solution (a, a 2,,a n ), l ensemble des solutions s écrira de la façon suivante : S = {(a, a 2,, a n )} 4 Pivot de Gauss Un système linéaire se résout à l aide de la méthode du Pivot de Gauss Définition 2 : Soit λ R ou C On appelle << opération élémentaire sur les lignes >> d un système l une des 3 opérations suivantes : Echanger deux lignes : L i L j 2 Remplacer une ligne L i par λl i L i λl i 3 Remplacer une ligne L i par L i +λl j L i L i +λl j Théorème Fondamental 8 : On ne change pas l ensemble des solutions d un système en effectuant une opération élémentaire sur les lignes Preuve 8 : Les solutions d un système sont indépendantes de l ordre des équations 2 X vérifie L i X vérifie λl i 3 X vérifie L i et L j X vérifie L i +λl j et L j Remarque 9 Pour effectuer sans se tromper les opérations précédentes, on veillera à ordonner les inconnues et à les placer les unes au dessous des autres 2 On utilisera le théorème précédent pour transformer le système AX = B en un système simple à résoudre Le plus souvent, on transformera (S) en un système triangulaire Cette technique s appelle la méthode de GAUSS 3

14 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Régles à respecter dans l application de la méthode de GAUSS Ordonner et aligner les inconnues 2 Si possible, choisir pour première équation celle dont le coefficient de la première inconnue est 3 Utiliser l inconnue de la première équation pour éliminer cette inconnue dans les autres équations à l aide des OEL 4 Ré-appliquer la technique précédente au sous-système obtenu et ainsi de suite 5 Une fois le système triangularisé, déterminer les valeurs des inconnues en partant de la dernière Exemple 27 ( ) Résoudre le système suivant : (S) 2x+y +z t = z 2y +x = 0 x 2z +t = y +2t z = Remarque 20 Dans le cas d un système de cramer, on aboutit à un système triangulaire à coefficients diagonaux non nuls de la forme : a a 2 a n b 0 a 22 a 2n b 2 (S) 0 0 a 33 b a nn b n Cas où il y a trop d inconnues Si, après avoir triangularisé le système, le nombre d inconnues est supérieur au nombre d équations, on trouve les solutions du système en attribuant aux inconnues supplémentaires le statut de paramètre On recherche alors les autres inconnues en fonction de ces paramètres Exemple 28 ( ) Résoudre les systèmes suivants : x +x 2 +x 3 +3x 4 = 3 (S) 2x x 2 +x 4 = x +2x 2 +2x 3 +x 4 = 3 2 (S2) mx+y +z +t = x+my +z +t = m x+y +mz +t = m+ Remarque 2 Ensemble des solutions : Lorsque le système admet une infinité de solutions (dépendant par exemple de deux paramètres λ et µ), on pourra écrire son ensemble de solutions sous la forme : S = {(f (λ, µ), f 2 (λ, µ),,f n (λ, µ)) (λ, µ) R 2 } Cas d un système sans solution Dans certains cas, la triangularisation aboutit à une équation impossible Dans ce cas le système n admet pas de solutions Exemple 29 ( ) Résoudre le système suivant : (S) x+2y z = 4 2x+y +z = x y +z = 4 2x 2y +7z = 3 Remarque 22 Ensemble des solutions : Lorsque le système n admet pas de solution, l ensemble des solutions s écrit : S = Remarque 23 Un système peut aussi se résoudre par substitution Cependant, cette méthode n est employée en pratique que pour des systèmes très simples ou très petits 4

15 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques 42 Exercices Exercice : ( ) Résoudre les systèmes suivants : x+z = 2 y z = S x+3y 2z = 0 S 2 x+y +z = 0 x+y z = x+2y = S 3 { x+z = x y +z = 3 S 4 x+y +z = x+y +z = 0 x+y z = 2 Exercice : 2 ( ) Résoudre les systèmes suivants en discutant selon les valeurs des paramètres réels a, b, c : x+y +z = a ax+y +z = x+ay +a 2 z = S x+y 2z = b S 2 x+ay +z = 0 S 3 x+by +b 2 z = 0 S 4 x+y 3z = c x+y +az = x+cy +c 2 z = x+y +z = x y +z = b x+y z = b 2 Exercice : 3 ( ) Déterminer un système d équations paramétriques de la droite de l espace d équations cartésiennes: { x y +2z = x+y z = 0 Exercice : 4 ( ) Soit m R Dans l espace muni d un repère { : mx+2y +3z = 3 Déterminer l intersection de la droite: D : (m )x+my +z = etduplanp : (m+)x+my+(m )z = m Travail à effectuer : Prenez une feuille de brouillon et vérifiez que vous êtes capables de développer chacun des points suivants : Définitions Propriétés Exercices Méthodes Savoir reconnaître un système linéaire - Système de Cramer Savoir utiliser le vocabulaire lié aux systèmes Unicité de la solution d un système carré linéaire à l aide du déterminant Appliquer GAUSS pour résoudre les systèmes traités en classe - Savoir parfaitement appliquer la méthode de Gauss - Recherche d un ensemble par équivalences successives - Preuve de l égalité de 2 ensembles 5

16 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques 5 Exercices de TD Rappel Méthodologique : La résolution d un exercice passe en général par les étapes de réflexion suivantes : Appropriation des données de l exercice : Un exercice commence par introduire des données sur lesquelles vont porter les questions Il faut prendre le temps de bien assimiler ces différentes données et leurs particularités Pour s aider dans ce travail, on pourra en particulier utiliser des schémas ou des représentations graphiques On peut aussi dès cette étape d appropriation, effectuer des déductions immédiates qui seront probablement utiles pour résoudre les questions qui suivent 2 Identification de la forme de la question donnée : Selon la formulation de la question, il existe des méthodes spécifiques de raisonnement Ces méthodes peuvent être générales (voir le tableau distribué en début d année) ou bien spécifiques au chapitre concerné On choisit alors judicieusement une méthode parmi toutes celles qui sont envisageables : ce choix devient de plus en plus facile au fur et à mesure que l on pratique le raisonnement mathématique 3 La méthode générale étant choisie, soit le raisonnement se fait alors naturellement, soit il faut rechercher dans le cours des théorèmes susceptibles de nous aider à répondre à la question 4 On commence alors la rédaction et éventuellement les calculs Codage : Les exercices avec des coeurs sont à traiter en priorité 2 Le nombre d étoiles ou de coeurs correspond à la difficulté des exercices 5 Sommes et Produits Pour le calcul d une somme simple, on dispose des méthodes suivantes : Mise sous la forme d une somme connue : +2+ +n = ou n 2 = ou n = 2 Mise sous la forme d une somme télescopique 3 Effectuer si nécessaire, un changement d indice : translation ou inversion 4 Utiliser si nécessaire, la linéarité de la somme Dans le cas d une somme double, on tente de reconnaître une somme rectangulaire ou une somme triangulaire Exercice de TD : ( ) Soit n N Calculer les sommes : S = 2 3 n et S 2 = Exercice de TD : 2 ( ) Calculer les sommes suivantes pour n N : S = i, j n i j 2 0 i, j n ( +)! (i+j) 3 0 i j n (i+j) Exercice de TD : 3 ( ) Soit n 2 et (x, x 2,, x n, x n+ ) R n+ avec x n+ = x Prouver que : x = x 2 = x n x 2 = Aide pour : on pourra multiplier par 2 l égalité x x + 6

17 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Exercice de TD : 4 ( ) Soit a ]0, [ Pour tout n N, on pose : u n = On souhaite montrer que u n = Procéder par récurrence 2 Procéder en calculant (a )u n a ( a )( a + )) Exercice de TD : 5 ( ) On considère deux suites réelles (a n ) et (b n ) et on pose : A = a, B = Montrer que D = 2 j,n b, C = a b 2 Comparer AB et nc lorsque les suites (a n ) et (b n ) ont la même monotonie ont des monotonie opposée a ( a )( a + )) et D = j< n (a a j )(b b j ) et en déduire que D = nc AB (a a j )(b b j ) Exercice de TD : 6 ( ) Soit n N En effectuant le changement d indice j = n, calculer la somme : Exercice de TD : 7 ( ) Pour n 2, on considère le produit : P n = Démontrer que : P n = 2 n(n+) n =2 S n = n = cos 2( π) 2n 2 En remarquant que = ( +) 2 ( +)+, en déduire une expression simplifiée de P n 52 Coefficients binomiaux Exercice de TD : 8 ( ) Soit n N Etablir l inégalité : 0 i j n! (n+)! Exercice de TD : 9 ( ) Soit n N Calculer les sommes doubles suivantes : ( ) j a i b j i c n j j i 2 S n = 0 i,j n ( ) i j Exercice de TD : 0 ( ) Démontrer que pour tout n : ( ) 2n 4n n 2n+ Exercice de TD : ( ) Soient n, p et q des entiers naturels tels que n p+q En développant de deux manières différentes (+x) p (+x) q, calculer la somme : S n (p,q) = Aide : on rappelle que l égalité de deux fonctions polynomiales entraîne l égalité des coefficients ( )( ) p q n 7

18 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Exercice de TD : 2 ( ) En utilisant le produit : (+x) n (+x) n, démontrer l égalité : Exercice de TD : 3 ( ) Calculer, pour tout n, p N, la somme : Aide : On remarquera que ( p 0 Exercice de TD : 4 ) = ( p+ ( ) Démontrer qu à partir d un certain rang, on a : 0 ( ) p+ ( ) 2n = n ) et on pourra utiliser la formule d addition 2 2n n ( ) 2n 2 2n n Exercice de TD : 5 ( ) Soit n N En dérivant ou en primitivant la fonction x (+x) n, calculer les sommes : S = Exercice de TD : 6 ( ) Soient p,, n N tels que p n 2 S 2 = ( ) n + ( ) p n Calculer : S = p p =p ( ) p n 2(a) En effectuant un calcul direct, montrer que : = p p ( ) (b) En déduire la valeur de : S 2 = ( ) p Exercice de TD : 7 ( ) Soient n, p, q N =p ( n ( ) 2 n S 3 = )( ) p En effectuant une récurrence sur p, démontrer la formule de Vandermonde : 2 En déduire les valeurs des sommes : S n = ( ) 2 n puis T n = ( ) 2 n ( ) 2 n n ( )( ) p q = n ( p+q ( ) 2 n en posant j = n n ) 53 Systèmes linéaires Les sytèmes linéaires se résolvent à l aide de la méthode de Gauss! On peut savoir s ils admettent une unique solution en vérifiant si leur déterminant est bien non nul Exercice de TD : 8 ( ) Notons a, b, c, Â, ˆB et Ĉ les élements caractéristiques d un triangle ABC non trivial a = bcosc +ccos ˆB Montrer que l on a : b = ccosa+acosĉ c = acosb +bcosâ 2 Dans cette question, on considère que les inconnues du système ci-dessus sont cosâ, cos ˆB, cosĉ Cela sous-entend que les longueurs a, b et c sont données (a) Expliquer géométriquement pourquoi ce système admet une unique solution (b) Retrouver ce résultat en calculant le déterminant du système (c) Résoudre le système 8

19 Cours MPSI - 206/207 Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques 3 Maintenant on considère que les inconnues sont a, b, c Les angles sont alors donnés (a) Quel est selon vous la nature de l ensemble des solutions? (b) Prouvez-le en calculant le déterminant (c) Résoudre le système Exercice de TD : 9 +i 2i ( ) Calculer l inverse de la matrice complexe A suivante : A = i 0 i Aide : on note X = x y et Y = y z z Il s agit alors de déterminer la matrice B telle que les systèmes AX = Y et BY = X soient équivalents x Exercice de TD : 20 ( ) Soit n N supérieur ou égal à 2 et a, b R Résoudre dans R n le système suivant : ax +b = x 2 ax 2 +b = x 3 ax n +b = x n ax n +b = x 9