Devoir de contrôle n 1. 4 ème Maths 1 Radès. Répondre par Vrai au Faux aux questions propositions suivantes. Aucune justification n est demandée.

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1 Lycée Ib Khaldou Devor de cotrôle ème Maths Radès ( heure) Mr ABIDI Fard Mathématques Mercred 9 Novembre 0 Exercce : ( pots) Répodre par Vra au Faux aux questos propostos suvates Aucue justfcato est demadée S f est mpare et g est pare alors g f est mpare S f est strctemet décrossate sur u tervalle I et g est strctemet décrossate sur f(i) alors g f est strctemet crossate sur I Ue race quatrème du ombre complexe S z est u complexe tel que Exercce : ( pots) 8 est z z 8 0 alors z = 6 Le pla est rapporté à u repère orthoormé (C) est la courbe représetatve d ue focto f défe sur et ( ) est celle d ue focto g défe sur *La drote d équato y = est asymptote à ( ) au vosage de + et la drote d équato y = - est asymptote à ( ) au vosage de - Page -

2 Mr ABIDI Fard Devor de cotrôle - 0 M Par lecture graphque, Détermer : lm g f x, lm g f x, lm g f x, lm g f x et lm g f x x x x x x gof,, gof, et gof, Exercce : (6 pots) Pour tout eter supéreur ou égal à, o déft la focto f sur f x x 9x par Motrer que l équato f x 0 admet ue uque soluto postve, otée u Calculer u et u ; pus vérfer que pour tout, Motrer que, pour tout x de ]0, [, o a : f x f x E évaluat l égalté précédete e x = Quelle est alors la mootoe de la sute u? 0u u, détermer le sge de f u 5 Motrer que la sute u est covergete O ote sa lmte 6 a) A l ade de la questo, ecadrer b) E dédure lm 9u et précser Exercce : (6 pots) α état u réel de l tervalle u pus détermer lm u 0,, o cosdère l équato (E): a) Motrer que : s z est ue soluto de (E) alors z est ue soluto de (E) b) Vérfer que z z e e z 0 e est ue soluto de (E) E dédure l autre soluto z de (E) Le pa complexe est rapporté à u repère orthoormé drect O,u, v, o pred das toute la sute et o désge par M et M les pots d affxe respectves z et z a) Vérfer que M et M apparteet à u même cercle (C ) de cetre O dot o précsera le rayo 7 b) Sot B le pot d affxe zb Motrer que B appartet à (C ) 5 5 Sot C le pot dot l affxe zc zb OM e D La drote BM recoupe le cercle (C ) de damètre Détermer z C Motrer que le tragle BCM est socèle et rectagle e M et que D est mleu du segmetbm Page - 5

3 Mr ABIDI Fard Devor de cotrôle - 0 M CORRIGE Exercce : Faux ; Vra ; Vra ; Vra Exercce : lmf x 0 et lm g(x) doc l m g f x x x0 x x x x lm f x et lm g(x) doc lm g f x x x x lm f x et lm g(x) doc lm g f x x x0 x lm f x 0 et lm g(x) doc l m g f x x x0 x lm f x 0 et lm g(x) doc l m g f x f,,0 et g,0, doc g f,, f, 0, et g0, g, doc g f, g, f, 0, et g0,, doc g f,, Exercce : Pour tout eter supéreur ou égal à, o déft la focto f sur f x x 9x par Pour tout eter o ul, f est cotue et dérvable sur S =, alors Pour tout x réel postf, f x 9x x doc f x 8x 0 S >, alors pour tout x réel postf, f x x 8x 0 et Doc f est strctemet crossate sur x f f 0, lm f x, 0 f Doc l équato f x 0 admet ue uque soluto u sur u est l uque soluto postve de f x 0 x 0 f x 0 9x x 0 ; Les solutos de de cette équato sot : x 0 et x 0 d'où u u est l uque soluto postve de f x 0 0x 0 x d 'où u 5 5 Page - 5

4 Mr ABIDI Fard Devor de cotrôle - 0 M O a : pour tout, f 0 f u f f0 et f doc Et comme f est strctemet crossate alors 0u Pour tout x de ]0, [, o a : f x f x x x x x 0 doc f x f x Pour tout eter o ul, u 0, doc f u f u Comme fu 0, alors f u 0 Comme pour tout eter aturel o ul, f u 0, l e résulte : f u f u Or la focto f est strctemet crossate, par sute la sute u 5 La sute u est crossate et majorée par doc 6 Sot de la lmte u a) Pour tout eter aturel o ul, pus détermer lm 0 doc lm u 0 0 u 0 u est crossate u est covergete O ote sa lmte Comme, alors f u 0 u 9u 0 9u u doc b) lm 9u lm u 0 Il e résulte : d'où 9 Exercce : α état u réel de l tervalle a) s z est ue soluto de (E) alors b) Sot Doc 0,, o cosdère l équato (E): z e e z 0 doc z e e z 0 d où As z est ue soluto de (E) z e, z e e z 0 z e e z 0 z e e z e e e e e e 0 z e est ue soluto de (E) Page - 5

5 Mr ABIDI Fard Devor de cotrôle - 0 M L autre soluto z Remarque : ou ecore Pour de (E) vérfe z z z z e e z vérfe z z e e z z e e z e et les affxes respectves des pots M et M sot z et z a) OM z et OM z doc les pots M et M apparteet au cercle (C ) de cetre O et de rayo 7 b) Sot B le pot d affxe zb, 5 5 appartet à (C ) OB doc B Sot C le pot dot l affxe zc zb et que D le pot damétralemet opposé à C sur (C ) le cercle de damètre OM 7 7 zc zb z e CM z zc z z 7 6 BM z B 7 e D où z z CM CM BM rectagle e M z CM CM BM z BM Doc le tragle BCM est socèle et BM Ue équato de la drote BM : x y 0 et l équato cartésee du cercle (C ) est x y x y 0 x y x x 5 ou x y 5x 7x 0 y y 5 doc D, 5 5 Page 5-5

6 Mr ABIDI Fard Devor de cotrôle - 0 M Les coordoées du mleu du segmet BM sot : de BM 5 et Doc D est mleu 5 Page 6-5

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